Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmvth Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cmvth 23022
 Description: Cauchy's Mean Value Theorem. If are real continuous functions on differentiable on , then there is some such that ' ' . (We express the condition without division, so that we need no nonzero constraints.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cmvth.a
cmvth.b
cmvth.lt
cmvth.f
cmvth.g
cmvth.df
cmvth.dg
Assertion
Ref Expression
cmvth
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cmvth
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmvth.a . . 3
2 cmvth.b . . 3
3 cmvth.lt . . 3
4 eqid 2471 . . . 4 fld fld
54subcn 21976 . . . 4 fld fld fld
64mulcn 21977 . . . . 5 fld fld fld
7 cmvth.f . . . . . . . . 9
8 cncff 22003 . . . . . . . . 9
97, 8syl 17 . . . . . . . 8
101rexrd 9708 . . . . . . . . 9
112rexrd 9708 . . . . . . . . 9
121, 2, 3ltled 9800 . . . . . . . . 9
13 ubicc2 11775 . . . . . . . . 9
1410, 11, 12, 13syl3anc 1292 . . . . . . . 8
159, 14ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
16 lbicc2 11774 . . . . . . . . 9
1710, 11, 12, 16syl3anc 1292 . . . . . . . 8
189, 17ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
1915, 18resubcld 10068 . . . . . 6
20 iccssre 11741 . . . . . . . 8
211, 2, 20syl2anc 673 . . . . . . 7
22 ax-resscn 9614 . . . . . . 7
2321, 22syl6ss 3430 . . . . . 6
2422a1i 11 . . . . . 6
25 cncfmptc 22021 . . . . . 6
2619, 23, 24, 25syl3anc 1292 . . . . 5
27 cmvth.g . . . . . . . 8
28 cncff 22003 . . . . . . . 8
2927, 28syl 17 . . . . . . 7
3029feqmptd 5932 . . . . . 6
3130, 27eqeltrrd 2550 . . . . 5
32 remulcl 9642 . . . . 5
334, 6, 26, 31, 22, 32cncfmpt2ss 22025 . . . 4
3429, 14ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
3529, 17ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
3634, 35resubcld 10068 . . . . . 6
37 cncfmptc 22021 . . . . . 6
3836, 23, 24, 37syl3anc 1292 . . . . 5
399feqmptd 5932 . . . . . 6
4039, 7eqeltrrd 2550 . . . . 5
41 remulcl 9642 . . . . 5
424, 6, 38, 40, 22, 41cncfmpt2ss 22025 . . . 4
43 resubcl 9958 . . . 4
444, 5, 33, 42, 22, 43cncfmpt2ss 22025 . . 3
4519recnd 9687 . . . . . . . . . 10
4645adantr 472 . . . . . . . . 9
4729ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
4847recnd 9687 . . . . . . . . 9
4946, 48mulcld 9681 . . . . . . . 8
5036adantr 472 . . . . . . . . . 10
519ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
5250, 51remulcld 9689 . . . . . . . . 9
5352recnd 9687 . . . . . . . 8
5449, 53subcld 10005 . . . . . . 7
554tgioo2 21899 . . . . . . 7 fldt
56 iccntr 21917 . . . . . . . 8
571, 2, 56syl2anc 673 . . . . . . 7
5824, 21, 54, 55, 4, 57dvmptntr 23004 . . . . . 6
59 reelprrecn 9649 . . . . . . . 8
6059a1i 11 . . . . . . 7
61 ioossicc 11745 . . . . . . . . 9
6261sseli 3414 . . . . . . . 8
6362, 49sylan2 482 . . . . . . 7
64 ovex 6336 . . . . . . . 8
6564a1i 11 . . . . . . 7
6662, 48sylan2 482 . . . . . . . 8
67 fvex 5889 . . . . . . . . 9
6867a1i 11 . . . . . . . 8
6930oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
70 dvf 22941 . . . . . . . . . . 11
71 cmvth.dg . . . . . . . . . . . 12
7271feq2d 5725 . . . . . . . . . . 11
7370, 72mpbii 216 . . . . . . . . . 10
7473feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
7524, 21, 48, 55, 4, 57dvmptntr 23004 . . . . . . . . 9
7669, 74, 753eqtr3rd 2514 . . . . . . . 8
7760, 66, 68, 76, 45dvmptcmul 22997 . . . . . . 7
7862, 53sylan2 482 . . . . . . 7
79 ovex 6336 . . . . . . . 8
8079a1i 11 . . . . . . 7
8151recnd 9687 . . . . . . . . 9
8262, 81sylan2 482 . . . . . . . 8
83 fvex 5889 . . . . . . . . 9
8483a1i 11 . . . . . . . 8
8539oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
86 dvf 22941 . . . . . . . . . . 11
87 cmvth.df . . . . . . . . . . . 12
8887feq2d 5725 . . . . . . . . . . 11
8986, 88mpbii 216 . . . . . . . . . 10
9089feqmptd 5932 . . . . . . . . 9
9124, 21, 81, 55, 4, 57dvmptntr 23004 . . . . . . . . 9
9285, 90, 913eqtr3rd 2514 . . . . . . . 8
9336recnd 9687 . . . . . . . 8
9460, 82, 84, 92, 93dvmptcmul 22997 . . . . . . 7
9560, 63, 65, 77, 78, 80, 94dvmptsub 23000 . . . . . 6
9658, 95eqtrd 2505 . . . . 5
9796dmeqd 5042 . . . 4
98 ovex 6336 . . . . 5
99 eqid 2471 . . . . 5
10098, 99dmmpti 5717 . . . 4
10197, 100syl6eq 2521 . . 3
10215recnd 9687 . . . . . . . 8
10335recnd 9687 . . . . . . . 8
104102, 103mulcld 9681 . . . . . . 7
10518recnd 9687 . . . . . . . 8
10634recnd 9687 . . . . . . . 8
107105, 106mulcld 9681 . . . . . . 7
108105, 103mulcld 9681 . . . . . . 7
109104, 107, 108nnncan2d 10040 . . . . . 6
110102, 106mulcld 9681 . . . . . . 7
111110, 107, 104nnncan1d 10039 . . . . . 6
112109, 111eqtr4d 2508 . . . . 5
113102, 105, 103subdird 10096 . . . . . 6
11493, 105mulcomd 9682 . . . . . . 7
115105, 106, 103subdid 10095 . . . . . . 7
116114, 115eqtrd 2505 . . . . . 6
117113, 116oveq12d 6326 . . . . 5
118102, 105, 106subdird 10096 . . . . . 6
11993, 102mulcomd 9682 . . . . . . 7
120102, 106, 103subdid 10095 . . . . . . 7
121119, 120eqtrd 2505 . . . . . 6
122118, 121oveq12d 6326 . . . . 5
123112, 117, 1223eqtr4d 2515 . . . 4
124 fveq2 5879 . . . . . . . 8
125124oveq2d 6324 . . . . . . 7
126 fveq2 5879 . . . . . . . 8
127126oveq2d 6324 . . . . . . 7
128125, 127oveq12d 6326 . . . . . 6
129 eqid 2471 . . . . . 6
130 ovex 6336 . . . . . 6
131128, 129, 130fvmpt3i 5968 . . . . 5
13217, 131syl 17 . . . 4
133 fveq2 5879 . . . . . . . 8
134133oveq2d 6324 . . . . . . 7
135 fveq2 5879 . . . . . . . 8
136135oveq2d 6324 . . . . . . 7
137134, 136oveq12d 6326 . . . . . 6
138137, 129, 130fvmpt3i 5968 . . . . 5
13914, 138syl 17 . . . 4
140123, 132, 1393eqtr4d 2515 . . 3
1411, 2, 3, 44, 101, 140rolle 23021 . 2
14296fveq1d 5881 . . . . . 6
143 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
144143oveq2d 6324 . . . . . . . 8
145 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
146145oveq2d 6324 . . . . . . . 8
147144, 146oveq12d 6326 . . . . . . 7
148147, 99, 98fvmpt3i 5968 . . . . . 6
149142, 148sylan9eq 2525 . . . . 5
150149eqeq1d 2473 . . . 4
15145adantr 472 . . . . . 6
15273ffvelrnda 6037 . . . . . 6
153151, 152mulcld 9681 . . . . 5
15493adantr 472 . . . . . 6
15589ffvelrnda 6037 . . . . . 6
156154, 155mulcld 9681 . . . . 5
157153, 156subeq0ad 10015 . . . 4
158150, 157bitrd 261 . . 3
159158rexbidva 2889 . 2
160141, 159mpbid 215 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  cpr 3961   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   cmul 9562  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cioo 11660  cicc 11663  ctopn 15398  ctg 15414  ℂfldccnfld 19047  cnt 20109  ccncf 21986   cdv 22897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901 This theorem is referenced by:  mvth  23023  lhop1lem  23044
 Copyright terms: Public domain W3C validator