Theorem cmtcomlem 16969

Description: Lemma for cmtcom 16970. (Th. cmcmlem 11167 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtcom.b	|- B = (base` K)
cmtcom.c	|- C = (cm` K)

Assertion

Ref	Expression
cmtcomlem	|- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY -> YCX))

Proof of Theorem cmtcomlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omllat 16963	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. OML -> K e. LatNEW)
2	1	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. LatNEW)
3		cmtcom.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = (base` K)
4		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (oc` K) = (oc` K)
5	3, 4	opoccl 16921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> ((oc` K)` X) e. B)
6		omlop 16962	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K e. OML -> K e. OP)
7	5, 6	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. OML /\ X e. B) -> ((oc` K)` X) e. B)
8	7	3adant3 896	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` X) e. B)
9		simp3 878	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> Y e. B)
10		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- (le` K) = (le` K)
11		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- (join` K) = (join` K)
12	3, 10, 11	latlej2 16862	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ Y e. B) -> Y(le` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y))
13	2, 8, 9, 12	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> Y(le` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y))
14	3, 11	latjcl 16852	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` X)(join` K)Y) e. B)
15	2, 8, 9, 14	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` X)(join` K)Y) e. B)
16		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- (meet` K) = (meet` K)
17	3, 10, 16	latleeqm2 16875	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. LatNEW /\ Y e. B /\ (((oc` K)` X)(join` K)Y) e. B) -> (Y(le` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y) <-> ((((oc` K)` X)(join` K)Y)(meet` K)Y) = Y))
18	2, 9, 15, 17	syl111anc 1100	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (Y(le` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y) <-> ((((oc` K)` X)(join` K)Y)(meet` K)Y) = Y))
19	13, 18	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((((oc` K)` X)(join` K)Y)(meet` K)Y) = Y)
20	19	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)((((oc` K)` X)(join` K)Y)(meet` K)Y)) = ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)Y))
21		omlol 16961	. . . . . . . . . 10 |- (K e. OML -> K e. OL)
22	21	3ad2ant1 897	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. OL)
23	6	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. OP)
24	3, 4	opoccl 16921	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OP /\ Y e. B) -> ((oc` K)` Y) e. B)
25	23, 9, 24	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` Y) e. B)
26	3, 11	latjcl 16852	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ ((oc` K)` Y) e. B) -> (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)) e. B)
27	2, 8, 25, 26	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)) e. B)
28	3, 16	olmass 16954	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OL /\ ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)) e. B /\ (((oc` K)` X)(join` K)Y) e. B /\ Y e. B)) -> (((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y))(meet` K)Y) = ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)((((oc` K)` X)(join` K)Y)(meet` K)Y)))
29	22, 27, 15, 9, 28	syl13anc 1102	. . . . . . . 8 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y))(meet` K)Y) = ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)((((oc` K)` X)(join` K)Y)(meet` K)Y)))
30	3, 11, 16, 4	oldmm1 16946	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (X(meet` K)Y)) = (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))
31	30, 21	syl3an1 1130	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (X(meet` K)Y)) = (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))
32	31	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y) = ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)Y))
33	20, 29, 32	3eqtr4rd 1939	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y) = (((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y))(meet` K)Y))
34	33	adantr 425	. . . . . 6 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> (((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y) = (((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y))(meet` K)Y))
35	3, 11, 16, 4	oldmj4 16953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))) = (X(meet` K)Y))
36	35, 21	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))) = (X(meet` K)Y))
37	3, 11, 16, 4	oldmj2 16951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. OL /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y)) = (X(meet` K)((oc` K)` Y)))
38	37, 21	syl3an1 1130	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y)) = (X(meet` K)((oc` K)` Y)))
39	36, 38	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))(join` K)((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y))) = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y))))
40	39	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X = (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))(join` K)((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y))) <-> X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))))
41	40	biimpar 461	. . . . . . . . 9 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> X = (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))(join` K)((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y))))
42	41	fveq2d 4685	. . . . . . . 8 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> ((oc` K)` X) = ((oc` K)` (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))(join` K)((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y)))))
43	3, 11, 16, 4	oldmj4 16953	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OL /\ (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)) e. B /\ (((oc` K)` X)(join` K)Y) e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))(join` K)((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y)))) = ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y)))
44	22, 27, 15, 43	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((oc` K)` (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))(join` K)((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y)))) = ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y)))
45	44	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> ((oc` K)` (((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y)))(join` K)((oc` K)` (((oc` K)` X)(join` K)Y)))) = ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y)))
46	42, 45	eqtr2d 1926	. . . . . . 7 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> ((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y)) = ((oc` K)` X))
47	46	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> (((((oc` K)` X)(join` K)((oc` K)` Y))(meet` K)(((oc` K)` X)(join` K)Y))(meet` K)Y) = (((oc` K)` X)(meet` K)Y))
48	34, 47	eqtrd 1925	. . . . 5 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> (((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y) = (((oc` K)` X)(meet` K)Y))
49	48	opreq2d 4898	. . . 4 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> ((X(meet` K)Y)(join` K)(((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y)) = ((X(meet` K)Y)(join` K)(((oc` K)` X)(meet` K)Y)))
50		simp1 876	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. OML)
51	3, 16	latmcl 16853	. . . . . . . 8 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(meet` K)Y) e. B)
52	51, 1	syl3an1 1130	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(meet` K)Y) e. B)
53	50, 52, 9	3jca 1050	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (K e. OML /\ (X(meet` K)Y) e. B /\ Y e. B))
54	3, 10, 16	latmle2 16872	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(meet` K)Y)(le` K)Y)
55	54, 1	syl3an1 1130	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(meet` K)Y)(le` K)Y)
56	3, 10, 11, 16, 4	omllaw2 16965	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ (X(meet` K)Y) e. B /\ Y e. B) -> ((X(meet` K)Y)(le` K)Y -> ((X(meet` K)Y)(join` K)(((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y)) = Y))
57	53, 55, 56	sylc 83	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((X(meet` K)Y)(join` K)(((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y)) = Y)
58	57	adantr 425	. . . 4 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> ((X(meet` K)Y)(join` K)(((oc` K)` (X(meet` K)Y))(meet` K)Y)) = Y)
59	3, 16	latmcom 16870	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(meet` K)Y) = (Y(meet` K)X))
60	59, 1	syl3an1 1130	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X(meet` K)Y) = (Y(meet` K)X))
61	3, 16	latmcom 16870	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ ((oc` K)` X) e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` X)(meet` K)Y) = (Y(meet` K)((oc` K)` X)))
62	2, 8, 9, 61	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((oc` K)` X)(meet` K)Y) = (Y(meet` K)((oc` K)` X)))
63	60, 62	opreq12d 4900	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((X(meet` K)Y)(join` K)(((oc` K)` X)(meet` K)Y)) = ((Y(meet` K)X)(join` K)(Y(meet` K)((oc` K)` X))))
64	63	adantr 425	. . . 4 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> ((X(meet` K)Y)(join` K)(((oc` K)` X)(meet` K)Y)) = ((Y(meet` K)X)(join` K)(Y(meet` K)((oc` K)` X))))
65	49, 58, 64	3eqtr3d 1934	. . 3 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))) -> Y = ((Y(meet` K)X)(join` K)(Y(meet` K)((oc` K)` X))))
66	65	ex 402	. 2 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y))) -> Y = ((Y(meet` K)X)(join` K)(Y(meet` K)((oc` K)` X)))))
67		cmtcom.c	. . 3 |- C = (cm` K)
68	3, 11, 16, 4, 67	cmtval 16938	. 2 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> X = ((X(meet` K)Y)(join` K)(X(meet` K)((oc` K)` Y)))))
69	3, 11, 16, 4, 67	cmtval 16938	. . 3 |- ((K e. OML /\ Y e. B /\ X e. B) -> (YCX <-> Y = ((Y(meet` K)X)(join` K)(Y(meet` K)((oc` K)` X)))))
70	69	3com23 1074	. 2 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (YCX <-> Y = ((Y(meet` K)X)(join` K)(Y(meet` K)((oc` K)` X)))))
71	66, 68, 70	3imtr4d 602	1 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY -> YCX))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  joincjn 16766  meetcmee 16767  LatNEWclat 16834  occoc 16836  OPcops 16837  cmccmt 16838  OLcol 16839  OMLcoml 16840

This theorem is referenced by:  cmtcom 16970

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-cmt 16906  df-ol 16907  df-oml 16908

Copyright terms: Public domain