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Theorem cmtbr4N 29738
Description: Alternate definition for the commutes relation. (cmbr4i 23056 analog.) (Contributed by NM, 10-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cmtbr4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr4.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr4.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr4N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )

Proof of Theorem cmtbr4N
StepHypRef Expression
1 cmtbr4.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr4.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cmtbr4.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cmtbr4.o . . 3  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
5 cmtbr4.c . . 3  |-  C  =  ( cm `  K
)
61, 2, 3, 4, 5cmtbr3N 29737 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
7 omllat 29725 . . . . 5  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
8 cmtbr4.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
91, 8, 3latmle2 14461 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
107, 9syl3an1 1217 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
11 breq1 4175 . . . 4  |-  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  Y ) )
1210, 11syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
1373ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
14 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
15 omlop 29724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
16153ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
171, 4opoccl 29677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
1816, 14, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
19 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
201, 2latjcl 14434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y )  e.  B
)
2113, 18, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )
221, 8, 3latmle1 14460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X )
2313, 14, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X )
2423anim1i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
2524ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) ) )
261, 3latmcl 14435 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  e.  B
)
2713, 14, 21, 26syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B )
281, 8, 3latlem12 14462 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
2913, 27, 14, 19, 28syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  X  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y ) ) )
3025, 29sylibd 206 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
311, 8, 2latlej2 14445 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
3213, 18, 19, 31syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )
331, 8, 3latmlem2 14466 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3413, 19, 21, 14, 33syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .<_  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y )  ->  ( X  ./\ 
Y )  .<_  ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) ) ) )
3532, 34mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3630, 35jctird 529 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  (
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) ) ) )
371, 3latmcl 14435 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
387, 37syl3an1 1217 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
391, 8latasymb 14438 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  Y ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4013, 27, 38, 39syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( ( X 
./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) 
.<_  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
4136, 40sylibd 206 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )  =  ( X  ./\  Y )
) )
4212, 41impbid 184 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  <->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  .<_  Y ) )
436, 42bitrd 245 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  .<_  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   occoc 13492   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   OPcops 29655   cmccmtN 29656   OMLcoml 29658
This theorem is referenced by:  lecmtN  29739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-lat 14430  df-oposet 29659  df-cmtN 29660  df-ol 29661  df-oml 29662
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