Theorem cmtbr4 16976

Description: Alternate definition for the commutes relation. (Th. cmbr4i 11177 analog.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmtbr4.b	|- B = (base` K)
cmtbr4.l	|- L = (le` K)
cmtbr4.j	|- J = (join` K)
cmtbr4.m	|- M = (meet` K)
cmtbr4.o	|- O = (oc` K)
cmtbr4.c	|- C = (cm` K)

Assertion

Ref	Expression
cmtbr4	|- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> (XM((O` X)JY))LY))

Proof of Theorem cmtbr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmtbr4.b	. . 3 |- B = (base` K)
2		cmtbr4.j	. . 3 |- J = (join` K)
3		cmtbr4.m	. . 3 |- M = (meet` K)
4		cmtbr4.o	. . 3 |- O = (oc` K)
5		cmtbr4.c	. . 3 |- C = (cm` K)
6	1, 2, 3, 4, 5	cmtbr3 16975	. 2 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> (XM((O` X)JY)) = (XMY)))
7		breq1 3341	. . . 4 |- ((XM((O` X)JY)) = (XMY) -> ((XM((O` X)JY))LY <-> (XMY)LY))
8		cmtbr4.l	. . . . . 6 |- L = (le` K)
9	1, 8, 3	latmle2 16872	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XMY)LY)
10		omllat 16963	. . . . 5 |- (K e. OML -> K e. LatNEW)
11	9, 10	syl3an1 1130	. . . 4 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XMY)LY)
12	7, 11	syl5cbir 228	. . 3 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XM((O` X)JY)) = (XMY) -> (XM((O` X)JY))LY))
13	10	3ad2ant1 897	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. LatNEW)
14		simp2 877	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> X e. B)
15		omlop 16962	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. OML -> K e. OP)
16	15	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> K e. OP)
17	1, 4	opoccl 16921	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. OP /\ X e. B) -> (O` X) e. B)
18	16, 14, 17	syl11anc 524	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (O` X) e. B)
19		simp3 878	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> Y e. B)
20	1, 2	latjcl 16852	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. LatNEW /\ (O` X) e. B /\ Y e. B) -> ((O` X)JY) e. B)
21	13, 18, 19, 20	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((O` X)JY) e. B)
22	1, 8, 3	latmle1 16871	. . . . . . . . 9 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ ((O` X)JY) e. B) -> (XM((O` X)JY))LX)
23	13, 14, 21, 22	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XM((O` X)JY))LX)
24	23	anim1i 361	. . . . . . 7 |- (((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) /\ (XM((O` X)JY))LY) -> ((XM((O` X)JY))LX /\ (XM((O` X)JY))LY))
25	24	ex 402	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XM((O` X)JY))LY -> ((XM((O` X)JY))LX /\ (XM((O` X)JY))LY)))
26	1, 3	latmcl 16853	. . . . . . . 8 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ ((O` X)JY) e. B) -> (XM((O` X)JY)) e. B)
27	13, 14, 21, 26	syl111anc 1100	. . . . . . 7 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XM((O` X)JY)) e. B)
28	1, 8, 3	latlem12 16873	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ ((XM((O` X)JY)) e. B /\ X e. B /\ Y e. B)) -> (((XM((O` X)JY))LX /\ (XM((O` X)JY))LY) <-> (XM((O` X)JY))L(XMY)))
29	13, 27, 14, 19, 28	syl13anc 1102	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((XM((O` X)JY))LX /\ (XM((O` X)JY))LY) <-> (XM((O` X)JY))L(XMY)))
30	25, 29	sylibd 219	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XM((O` X)JY))LY -> (XM((O` X)JY))L(XMY)))
31	1, 8, 2	latlej2 16862	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ (O` X) e. B /\ Y e. B) -> YL((O` X)JY))
32	13, 18, 19, 31	syl111anc 1100	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> YL((O` X)JY))
33	1, 8, 3	latmlem2 16877	. . . . . . 7 |- ((K e. LatNEW /\ (Y e. B /\ ((O` X)JY) e. B /\ X e. B)) -> (YL((O` X)JY) -> (XMY)L(XM((O` X)JY))))
34	13, 19, 21, 14, 33	syl13anc 1102	. . . . . 6 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (YL((O` X)JY) -> (XMY)L(XM((O` X)JY))))
35	32, 34	mpd 29	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XMY)L(XM((O` X)JY)))
36	30, 35	jctird 663	. . . 4 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XM((O` X)JY))LY -> ((XM((O` X)JY))L(XMY) /\ (XMY)L(XM((O` X)JY)))))
37	1, 3	latmcl 16853	. . . . . 6 |- ((K e. LatNEW /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XMY) e. B)
38	37, 10	syl3an1 1130	. . . . 5 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XMY) e. B)
39	1, 8	latasymb 16856	. . . . 5 |- ((K e. LatNEW /\ (XM((O` X)JY)) e. B /\ (XMY) e. B) -> (((XM((O` X)JY))L(XMY) /\ (XMY)L(XM((O` X)JY))) <-> (XM((O` X)JY)) = (XMY)))
40	13, 27, 38, 39	syl111anc 1100	. . . 4 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (((XM((O` X)JY))L(XMY) /\ (XMY)L(XM((O` X)JY))) <-> (XM((O` X)JY)) = (XMY)))
41	36, 40	sylibd 219	. . 3 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XM((O` X)JY))LY -> (XM((O` X)JY)) = (XMY)))
42	12, 41	impbid 574	. 2 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> ((XM((O` X)JY)) = (XMY) <-> (XM((O` X)JY))LY))
43	6, 42	bitrd 587	1 |- ((K e. OML /\ X e. B /\ Y e. B) -> (XCY <-> (XM((O` X)JY))LY))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  basecbs 16758  lecple 16759  joincjn 16766  meetcmee 16767  LatNEWclat 16834  occoc 16836  OPcops 16837  cmccmt 16838  OMLcoml 16840

This theorem is referenced by:  lecmt 16977

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-tru 1262  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-mpt2 5007  df-iota 5089  df-er 5318  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-struct 16708  df-poset 16772  df-pge 16792  df-lub 16799  df-glb 16800  df-join 16801  df-meet 16802  df-lat 16847  df-oposet 16905  df-cmt 16906  df-ol 16907  df-oml 16908

Copyright terms: Public domain