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Theorem cmtbr3N 29737
Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 23. (cmbr3 23063 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmtbr2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cmtbr2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cmtbr2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cmtbr2.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
cmtbr2.c  |-  C  =  ( cm `  K
)
Assertion
Ref Expression
cmtbr3N  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )

Proof of Theorem cmtbr3N
StepHypRef Expression
1 cmtbr2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cmtbr2.c . . . . 5  |-  C  =  ( cm `  K
)
31, 2cmtcomN 29732 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y C X ) )
4 cmtbr2.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 cmtbr2.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
6 cmtbr2.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
71, 4, 5, 6, 2cmtbr2N 29736 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OML  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
873com23 1159 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y C X  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
93, 8bitrd 245 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
Y  =  ( ( Y  .\/  X ) 
./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X )
) ) ) )
10 oveq2 6048 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
1110adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =  ( X 
./\  ( ( Y 
.\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
12 omlol 29723 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OL )
13123ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OL )
14 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
15 omllat 29725 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  Lat )
16153ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
17 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
181, 4latjcl 14434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
1916, 17, 14, 18syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  e.  B )
20 omlop 29724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  OML  ->  K  e.  OP )
21203ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
221, 6opoccl 29677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
2321, 14, 22syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
241, 4latjcl 14434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) )  e.  B
)
2516, 17, 23, 24syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  e.  B )
261, 5latmassOLD 29712 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  X
)  e.  B  /\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) ) )
2713, 14, 19, 25, 26syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) ) )
281, 4latjcom 14443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  Y ) )
2916, 17, 14, 28syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  Y ) )
3029oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  =  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) ) )
311, 4, 5latabs2 14472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )
3215, 31syl3an1 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( X  .\/  Y ) )  =  X )
3330, 32eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  =  X )
341, 4latjcom 14443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
.\/  Y ) )
3516, 17, 23, 34syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  Y
) )
3633, 35oveq12d 6058 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( Y  .\/  X ) )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  =  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )
3727, 36eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3837adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  ( ( Y  .\/  X )  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  =  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
) )
3911, 38eqtr2d 2437 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  Y  =  (
( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) ) )  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y ) )
4039ex 424 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  =  ( ( Y  .\/  X
)  ./\  ( Y  .\/  (  ._|_  `  X
) ) )  -> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
419, 40sylbid 207 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y ) ) )
42 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OML )
431, 6opoccl 29677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
4421, 17, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
451, 5latmcl 14435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
4616, 14, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
4742, 46, 143jca 1134 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( K  e.  OML  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B ) )
48 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
491, 48, 5latmle1 14460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) ( le
`  K ) X )
5016, 14, 44, 49syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) X )
511, 48, 4, 5, 6omllaw2N 29727 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) X  ->  (
( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) 
.\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )
)  =  X ) )
5247, 50, 51sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
) )  =  X )
531, 6opoccl 29677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  e.  B
)
5421, 46, 53syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B )
551, 5latmcl 14435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B  /\  X  e.  B
)  ->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  e.  B )
5616, 54, 14, 55syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  e.  B )
571, 4latjcom 14443 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  ( ( 
._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  e.  B )  ->  ( ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) )  .\/  (
(  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X
) )  =  ( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
5816, 46, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
)  .\/  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
) )  =  ( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
5952, 58eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  =  ( ( (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
6059adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  X  =  ( ( ( 
._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
611, 4, 5, 6oldmm3N 29702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
6212, 61syl3an1 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)
6362oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) ) )
641, 5latmcom 14459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B
)  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )
)
6516, 14, 54, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X ) )
6663, 65eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X ) )
6766eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  <->  ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  ./\  X
)  =  ( X 
./\  Y ) ) )
68 oveq1 6047 . . . . . . 7  |-  ( ( (  ._|_  `  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
6967, 68syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  ./\  X )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
7069imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  (
( (  ._|_  `  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  ./\  X )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X 
./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
7160, 70eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) )  ->  X  =  ( ( X 
./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
7271ex 424 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  ->  X  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
731, 4, 5, 6, 2cmtvalN 29694 . . 3  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X  =  ( ( X  ./\  Y )  .\/  ( X  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) ) )
7472, 73sylibrd 226 . 2  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  Y )
)  =  ( X 
./\  Y )  ->  X C Y ) )
7541, 74impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  OML  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  ./\  (
(  ._|_  `  X )  .\/  Y ) )  =  ( X  ./\  Y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   occoc 13492   joincjn 14356   meetcmee 14357   Latclat 14429   OPcops 29655   cmccmtN 29656   OLcol 29657   OMLcoml 29658
This theorem is referenced by:  cmtbr4N  29738  omlfh1N  29741
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-poset 14358  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-lat 14430  df-oposet 29659  df-cmtN 29660  df-ol 29661  df-oml 29662
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