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Theorem cmpsublem 19705
Description: Lemma for cmpsub 19706. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpsublem  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
s, t, J    S, c, d, s, t    X, c, d, s, t

Proof of Theorem cmpsublem
Dummy variables  x  y  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 4597 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  e.  _V )
21ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  _V )
3 ssrab2 3585 . . . . . . 7  |-  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  C_  J
4 elpwg 4018 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  e.  _V  ->  ( { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } 
C_  J ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  e.  _V  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  e.  ~P J )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J
)
7 unieq 4253 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  U. c  =  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } )
87sseq2d 3532 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( S  C_  U. c  <->  S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
9 pweq 4013 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ~P c  =  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } )
109ineq1d 3699 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin ) )
1110rexeqdv 3065 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d  <->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
128, 11imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  <->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) ) )
1312rspcva 3212 . . . . 5  |-  ( ( { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J  /\  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )  -> 
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
146, 13sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  A. c  e.  ~P  J
( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )  ->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) )
1514ex 434 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) ) )
16 cmpsub.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
1716restuni 19469 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1918eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. s ) )
20 selpw 4017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ~P ( Jt  S )  <->  s  C_  ( Jt  S ) )
21 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  =  U. s  -> 
( t  e.  S  <->  t  e.  U. s ) )
22 eluni 4248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  U. s  <->  E. u
( t  e.  u  /\  u  e.  s
) )
2321, 22syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  U. s  -> 
( t  e.  S  <->  E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s ) ) )
2423adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  <->  E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s ) ) )
25 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( u  e.  s  ->  u  e.  ( Jt  S ) ) )
2616sseq2i 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S 
C_  X  <->  S  C_  U. J
)
27 uniexg 6582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
28 ssexg 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  U. J  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3027, 29sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3126, 30sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
32 elrest 14686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( Jt  S )  <->  E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S ) ) )
3331, 32syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  ( Jt  S )  <->  E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S ) ) )
34 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  i^i  S )  C_  w
35 sseq1 3525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  (
u  C_  w  <->  ( w  i^i  S )  C_  w
) )
3634, 35mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  u  C_  w )
3736sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( u  =  ( w  i^i  S )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
38373ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
39383adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
40 simp12 1027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  w  e.  J )
41 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  (
u  e.  s  <->  ( w  i^i  S )  e.  s ) )
4241biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( u  =  ( w  i^i  S )  /\  u  e.  s )  ->  ( w  i^i  S
)  e.  s )
43423ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s )  ->  (
w  i^i  S )  e.  s )
44433adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  (
w  i^i  S )  e.  s )
45 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  w  ->  (
y  i^i  S )  =  ( w  i^i 
S ) )
4645eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  i^i  S
)  e.  s  <->  ( w  i^i  S )  e.  s ) )
4746elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  ( w  e.  J  /\  (
w  i^i  S )  e.  s ) )
4840, 44, 47sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  w  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } )
49 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  w  e. 
_V
50 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  w  ->  (
t  e.  v  <->  t  e.  w ) )
51 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  w  ->  (
v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  w  e.  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  w  ->  (
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )  <->  ( t  e.  w  /\  w  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) )
5349, 52spcev 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( t  e.  w  /\  w  e.  { y  e.  J  |  (
y  i^i  S )  e.  s } )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) )
5439, 48, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
55543exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  w  e.  J  /\  u  =  (
w  i^i  S )
)  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) )
5655rexlimdv3a 2957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S )  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) ) )
5733, 56sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  ( Jt  S )  ->  (
u  e.  s  -> 
( t  e.  u  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
5857com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  s  ->  ( u  e.  ( Jt  S )  ->  (
t  e.  u  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
5958com4l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  s  ->  (
u  e.  ( Jt  S )  ->  ( t  e.  u  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6025, 59sylcom 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6160com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (
t  e.  u  -> 
( u  e.  s  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6261impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  (
t  e.  u  -> 
( u  e.  s  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) )
6362impd 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  (
( t  e.  u  /\  u  e.  s
)  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6463exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  ( E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6624, 65sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  ( S  =  U. s  ->  ( t  e.  S  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) )
6820, 67sylan2b 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) )
6968imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
70 eluni 4248 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
7169, 70syl6ibr 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  t  e. 
U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } ) )
7271ssrdv 3510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )
73 pm2.27 39 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
74 elin 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin )  <->  ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  /\  d  e.  Fin ) )
75 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  e. 
_V
76 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( z  i^i  S )  <->  t  =  ( z  i^i  S
) ) )
7776rexbidv 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  ( E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S )  <->  E. z  e.  d  t  =  ( z  i^i  S
) ) )
7875, 77elab 3250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  <->  E. z  e.  d 
t  =  ( z  i^i  S ) )
79 selpw 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  d  C_  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )
80 ssel 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
z  e.  d  -> 
z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } ) )
81 ineq1 3693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  z  ->  (
y  i^i  S )  =  ( z  i^i 
S ) )
8281eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  i^i  S
)  e.  s  <->  ( z  i^i  S )  e.  s ) )
8382elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  ( z  e.  J  /\  (
z  i^i  S )  e.  s ) )
84 eleq1a 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  i^i  S )  e.  s  ->  (
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
8584adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  e.  J  /\  ( z  i^i  S
)  e.  s )  ->  ( t  =  ( z  i^i  S
)  ->  t  e.  s ) )
8683, 85sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
8780, 86syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
z  e.  d  -> 
( t  =  ( z  i^i  S )  ->  t  e.  s ) ) )
8887a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  = 
U. s )  -> 
( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i  S
)  ->  t  e.  s ) ) ) )
8988a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
9089adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  C_  { y  e.  J  |  (
y  i^i  S )  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
9179, 90sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
92913imp 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  (
z  e.  d  -> 
( t  =  ( z  i^i  S )  ->  t  e.  s ) ) )
9392rexlimdv 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  ( E. z  e.  d 
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
9478, 93syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  (
t  e.  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  t  e.  s ) )
9594ssrdv 3510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) } 
C_  s )
96 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  d  e. 
_V
9796abrexex 6759 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  _V
9897elpw 4016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) }  e.  ~P s 
<->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  C_  s )
9995, 98sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  ~P s )
100 abrexfi 7821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  Fin  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  Fin )
101100ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  e.  Fin )
1021013adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  Fin )
10399, 102elind 3688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )
104 dfss 3491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  U. d  <->  S  =  ( S  i^i  U. d
) )
105104biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. d  ->  S  =  ( S  i^i  U. d ) )
106 uniiun 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. d  =  U_ z  e.  d  z
107106ineq2i 3697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  i^i  U. d )  =  ( S  i^i  U_ z  e.  d  z )
108 iunin2 4389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ z  e.  d  ( S  i^i  z )  =  ( S  i^i  U_ z  e.  d  z )
109 incom 3691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  i^i  z )  =  ( z  i^i  S
)
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  d  ->  ( S  i^i  z )  =  ( z  i^i  S
) )
111110iuneq2i 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ z  e.  d  ( S  i^i  z )  =  U_ z  e.  d  (
z  i^i  S )
112107, 108, 1113eqtr2i 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  i^i  U. d )  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i 
S )
113105, 112syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  U. d  ->  S  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S
) )
1141133ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  S  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S
) )
11518ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. d  /\  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  = 
U. s ) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1161153adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
117 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
118117inex1 4588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  i^i  S )  e. 
_V
119118dfiun2 4359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
121114, 116, 1203eqtr3d 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
122 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  U. t  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
123122eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. t 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) } ) )
124123rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) } )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )
125103, 121, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )
1261253exp 1195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( d  e.  ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
12774, 126sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin )  -> 
( S  C_  U. d  ->  ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
128127rexlimiv 2949 . . . . . . . . 9  |-  ( E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
12973, 128syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
130129com3r 79 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( S  C_ 
U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13172, 130mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
132131ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s  ->  ( ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13319, 132sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  ( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
134133com23 78 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13515, 134syld 44 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
136135ralrimdva 2882 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   ↾t crest 14679   Topctop 19201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-fin 7521  df-fi 7872  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209
This theorem is referenced by:  cmpsub  19706
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