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Theorem cmpsublem 20463
Description: Lemma for cmpsub 20464. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpsublem  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
Distinct variable groups:    c, d,
s, t, J    S, c, d, s, t    X, c, d, s, t

Proof of Theorem cmpsublem
Dummy variables  x  y  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabexg 4567 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  e.  _V )
21ad2antrr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  _V )
3 ssrab2 3526 . . . . . . 7  |-  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  C_  J
4 elpwg 3971 . . . . . . 7  |-  ( { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  e.  _V  ->  ( { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J  <->  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } 
C_  J ) )
53, 4mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  e.  _V  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  e.  ~P J )
62, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J
)
7 unieq 4220 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  U. c  =  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } )
87sseq2d 3472 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( S  C_  U. c  <->  S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
9 pweq 3966 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ~P c  =  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } )
109ineq1d 3645 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( ~P c  i^i  Fin )  =  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin ) )
1110rexeqdv 3006 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d  <->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
128, 11imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( c  =  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  <->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) ) )
1312rspcva 3160 . . . . 5  |-  ( ( { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  e.  ~P J  /\  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )  -> 
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
146, 13sylan 478 . . . 4  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  A. c  e.  ~P  J
( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )  ->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) )
1514ex 440 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) ) )
16 cmpsub.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
1716restuni 20227 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1817adantr 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1918eqeq1d 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. s ) )
20 selpw 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  ~P ( Jt  S )  <->  s  C_  ( Jt  S ) )
21 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  =  U. s  -> 
( t  e.  S  <->  t  e.  U. s ) )
22 eluni 4215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  e.  U. s  <->  E. u
( t  e.  u  /\  u  e.  s
) )
2321, 22syl6bb 269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  =  U. s  -> 
( t  e.  S  <->  E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s ) ) )
2423adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  <->  E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s ) ) )
25 ssel 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( u  e.  s  ->  u  e.  ( Jt  S ) ) )
2616sseq2i 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( S 
C_  X  <->  S  C_  U. J
)
27 uniexg 6615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
28 ssexg 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  U. J  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
2928ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3027, 29sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3126, 30sylan2b 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
32 elrest 15375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( u  e.  ( Jt  S )  <->  E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S ) ) )
3331, 32syldan 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  ( Jt  S )  <->  E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S ) ) )
34 inss1 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  i^i  S )  C_  w
35 sseq1 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  (
u  C_  w  <->  ( w  i^i  S )  C_  w
) )
3634, 35mpbiri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  u  C_  w )
3736sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( u  =  ( w  i^i  S )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
38373ad2antl3 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
39383adant2 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  t  e.  w )
40 simp12 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  w  e.  J )
41 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  ( w  i^i 
S )  ->  (
u  e.  s  <->  ( w  i^i  S )  e.  s ) )
4241biimpa 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( u  =  ( w  i^i  S )  /\  u  e.  s )  ->  ( w  i^i  S
)  e.  s )
43423ad2antl3 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s )  ->  (
w  i^i  S )  e.  s )
44433adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  (
w  i^i  S )  e.  s )
45 ineq1 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  w  ->  (
y  i^i  S )  =  ( w  i^i 
S ) )
4645eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  i^i  S
)  e.  s  <->  ( w  i^i  S )  e.  s ) )
4746elrab 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( w  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  ( w  e.  J  /\  (
w  i^i  S )  e.  s ) )
4840, 44, 47sylanbrc 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  w  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } )
49 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  w  e. 
_V
50 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  w  ->  (
t  e.  v  <->  t  e.  w ) )
51 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( v  =  w  ->  (
v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  w  e.  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
5250, 51anbi12d 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  w  ->  (
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )  <->  ( t  e.  w  /\  w  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) )
5349, 52spcev 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( t  e.  w  /\  w  e.  { y  e.  J  |  (
y  i^i  S )  e.  s } )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) )
5439, 48, 53syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  w  e.  J  /\  u  =  ( w  i^i  S ) )  /\  u  e.  s  /\  t  e.  u )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
55543exp 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  w  e.  J  /\  u  =  (
w  i^i  S )
)  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) )
5655rexlimdv3a 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. w  e.  J  u  =  ( w  i^i  S )  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) ) )
5733, 56sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  ( Jt  S )  ->  (
u  e.  s  -> 
( t  e.  u  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
5857com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( u  e.  s  ->  ( u  e.  ( Jt  S )  ->  (
t  e.  u  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
5958com4l 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  s  ->  (
u  e.  ( Jt  S )  ->  ( t  e.  u  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6025, 59sylcom 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( u  e.  s  ->  ( t  e.  u  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e. 
{ y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6160com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s 
C_  ( Jt  S )  ->  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (
t  e.  u  -> 
( u  e.  s  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) ) )
6261impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  (
t  e.  u  -> 
( u  e.  s  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) )
6362impd 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  (
( t  e.  u  /\  u  e.  s
)  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6463exlimdv 1790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  ( E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6564adantr 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( E. u ( t  e.  u  /\  u  e.  s )  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6624, 65sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
6766ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  C_  ( Jt  S ) )  ->  ( S  =  U. s  ->  ( t  e.  S  ->  E. v ( t  e.  v  /\  v  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s } ) ) ) )
6820, 67sylan2b 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) ) )
6968imp 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) ) )
70 eluni 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  E. v
( t  e.  v  /\  v  e.  {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } ) )
7169, 70syl6ibr 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( t  e.  S  ->  t  e. 
U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } ) )
7271ssrdv 3450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )
73 pm2.27 40 . . . . . . . . 9  |-  ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
74 elin 3629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin )  <->  ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  /\  d  e.  Fin ) )
75 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  t  e. 
_V
76 eqeq1 2466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( z  i^i  S )  <->  t  =  ( z  i^i  S
) ) )
7776rexbidv 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  t  ->  ( E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S )  <->  E. z  e.  d  t  =  ( z  i^i  S
) ) )
7875, 77elab 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  <->  E. z  e.  d 
t  =  ( z  i^i  S ) )
79 selpw 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  d  C_  { y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s } )
80 ssel 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
z  e.  d  -> 
z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s } ) )
81 ineq1 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  z  ->  (
y  i^i  S )  =  ( z  i^i 
S ) )
8281eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  i^i  S
)  e.  s  <->  ( z  i^i  S )  e.  s ) )
8382elrab 3208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  <->  ( z  e.  J  /\  (
z  i^i  S )  e.  s ) )
84 eleq1a 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( z  i^i  S )  e.  s  ->  (
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
8584adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  J  /\  ( z  i^i  S
)  e.  s )  ->  ( t  =  ( z  i^i  S
)  ->  t  e.  s ) )
8683, 85sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
8780, 86syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
z  e.  d  -> 
( t  =  ( z  i^i  S )  ->  t  e.  s ) ) )
88872a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( d 
C_  { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  ( S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
8988adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( d  C_  { y  e.  J  |  (
y  i^i  S )  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
9079, 89sylanb 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( d  e.  ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( z  e.  d  ->  ( t  =  ( z  i^i 
S )  ->  t  e.  s ) ) ) ) )
91903imp 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  (
z  e.  d  -> 
( t  =  ( z  i^i  S )  ->  t  e.  s ) ) )
9291rexlimdv 2889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  ( E. z  e.  d 
t  =  ( z  i^i  S )  -> 
t  e.  s ) )
9378, 92syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  (
t  e.  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  t  e.  s ) )
9493ssrdv 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) } 
C_  s )
95 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  d  e. 
_V
9695abrexex 6794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  _V
9796elpw 3969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) }  e.  ~P s 
<->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  C_  s )
9894, 97sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  ~P s )
99 abrexfi 7900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  e.  Fin  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  Fin )
10099ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  e.  Fin )
1011003adant3 1034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  Fin )
10298, 101elind 3630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )
103 dfss 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S 
C_  U. d  <->  S  =  ( S  i^i  U. d
) )
104103biimpi 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. d  ->  S  =  ( S  i^i  U. d ) )
105 uniiun 4345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. d  =  U_ z  e.  d  z
106105ineq2i 3643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  i^i  U. d )  =  ( S  i^i  U_ z  e.  d  z )
107 iunin2 4356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ z  e.  d  ( S  i^i  z )  =  ( S  i^i  U_ z  e.  d  z )
108 incom 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( S  i^i  z )  =  ( z  i^i  S
)
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  d  ->  ( S  i^i  z )  =  ( z  i^i  S
) )
110109iuneq2i 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ z  e.  d  ( S  i^i  z )  =  U_ z  e.  d  (
z  i^i  S )
111106, 107, 1103eqtr2i 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  i^i  U. d )  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i 
S )
112104, 111syl6eq 2512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  U. d  ->  S  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S
) )
1131123ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  S  =  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S
) )
11418ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. d  /\  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  = 
U. s ) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
1151143adant1 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
116 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
_V
117116inex1 4558 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  i^i  S )  e. 
_V
118117dfiun2 4326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  U_ z  e.  d  ( z  i^i  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
120113, 115, 1193eqtr3d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
121 unieq 4220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  U. t  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) } )
122121eqeq2d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) }  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. t 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S ) } ) )
123122rspcev 3162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i 
S ) }  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. z  e.  d  x  =  ( z  i^i  S
) } )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )
124102, 120, 123syl2anc 671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( d  e.  ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  /\  d  e. 
Fin )  /\  S  C_ 
U. d  /\  (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
) )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )
1251243exp 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( d  e.  ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  /\  d  e.  Fin )  ->  ( S  C_  U. d  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
12674, 125sylbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( ~P {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  i^i  Fin )  -> 
( S  C_  U. d  ->  ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
127126rexlimiv 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d  -> 
( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
12873, 127syl6 34 . . . . . . . 8  |-  ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  ( (
( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
129128com3r 82 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( S  C_ 
U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  (
( S  C_  U. {
y  e.  J  | 
( y  i^i  S
)  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13072, 129mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  /\  S  =  U. s
)  ->  ( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
131130ex 440 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( S  =  U. s  ->  ( ( S 
C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13219, 131sylbird 243 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  ( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
133132com23 81 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( ( S  C_  U. { y  e.  J  |  ( y  i^i 
S )  e.  s }  ->  E. d  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ( y  i^i  S )  e.  s }  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
13415, 133syld 45 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  s  e.  ~P ( Jt  S ) )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
135134ralrimdva 2818 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   U_ciun 4292  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   ↾t crest 15368   Topctop 19966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951  df-rest 15370  df-topgen 15391  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972
This theorem is referenced by:  cmpsub  20464
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