Theorem cmpsublem 20463

Description: Lemma for cmpsub 20464. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmpsub.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cmpsublem	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, s, t, J   S, c, d, s, t   X, c, d, s, t

Proof of Theorem cmpsublem

Dummy variables x y u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabexg 4567	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V )
2	1	ad2antrr 737	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V )
3		ssrab2 3526	. . . . . . 7 |- { y e. J | ( y i^i S ) e. s } C_ J
4		elpwg 3971	. . . . . . 7 |- ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V -> ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J <-> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } C_ J ) )
5	3, 4	mpbiri 241	. . . . . 6 |- ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J )
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J )
7		unieq 4220	. . . . . . . 8 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> U. c = U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
8	7	sseq2d 3472	. . . . . . 7 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( S C_ U. c <-> S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
9		pweq 3966	. . . . . . . . 9 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ~P c = ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
10	9	ineq1d 3645	. . . . . . . 8 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) )
11	10	rexeqdv 3006	. . . . . . 7 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d <-> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
12	8, 11	imbi12d 326	. . . . . 6 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) <-> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
13	12	rspcva 3160	. . . . 5 |- ( ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J /\ A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
14	6, 13	sylan 478	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
15	14	ex 440	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
16		cmpsub.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
17	16	restuni 20227	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
18	17	adantr 471	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	18	eqeq1d 2464	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s <-> U. ( J ↾t S ) = U. s ) )
20		selpw 3970	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ~P ( J ↾t S ) <-> s C_ ( J ↾t S ) )
21		eleq2 2529	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S = U. s -> ( t e. S <-> t e. U. s ) )
22		eluni 4215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. U. s <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) )
23	21, 22	syl6bb 269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S = U. s -> ( t e. S <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) ) )
24	23	adantl 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) ) )
25		ssel 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> u e. ( J ↾t S ) ) )
26	16	sseq2i 3469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S C_ X <-> S C_ U. J )
27		uniexg 6615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
28		ssexg 4563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ U. J /\ U. J e. _V ) -> S e. _V )
29	28	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( U. J e. _V /\ S C_ U. J ) -> S e. _V )
30	27, 29	sylan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> S e. _V )
31	26, 30	sylan2b 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S e. _V )
32		elrest 15375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( u e. ( J ↾t S ) <-> E. w e. J u = ( w i^i S ) ) )
33	31, 32	syldan 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. ( J ↾t S ) <-> E. w e. J u = ( w i^i S ) ) )
34		inss1 3664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w i^i S ) C_ w
35		sseq1 3465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = ( w i^i S ) -> ( u C_ w <-> ( w i^i S ) C_ w ) )
36	34, 35	mpbiri 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = ( w i^i S ) -> u C_ w )
37	36	sselda 3444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( u = ( w i^i S ) /\ t e. u ) -> t e. w )
38	37	3ad2antl3 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ t e. u ) -> t e. w )
39	38	3adant2 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> t e. w )
40		simp12 1045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> w e. J )
41		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = ( w i^i S ) -> ( u e. s <-> ( w i^i S ) e. s ) )
42	41	biimpa 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( u = ( w i^i S ) /\ u e. s ) -> ( w i^i S ) e. s )
43	42	3ad2antl3 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s ) -> ( w i^i S ) e. s )
44	43	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> ( w i^i S ) e. s )
45		ineq1 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = w -> ( y i^i S ) = ( w i^i S ) )
46	45	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = w -> ( ( y i^i S ) e. s <-> ( w i^i S ) e. s ) )
47	46	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> ( w e. J /\ ( w i^i S ) e. s ) )
48	40, 44, 47	sylanbrc 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
49		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- w e. _V
50		eleq2 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = w -> ( t e. v <-> t e. w ) )
51		eleq1 2528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = w -> ( v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
52	50, 51	anbi12d 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = w -> ( ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) <-> ( t e. w /\ w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
53	49, 52	spcev 3153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( t e. w /\ w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
54	39, 48, 53	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
55	54	3exp 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
56	55	rexlimdv3a 2893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. w e. J u = ( w i^i S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
57	33, 56	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
58	57	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. s -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
59	58	com4l 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. s -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( t e. u -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
60	25, 59	sylcom 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
61	60	com24 90	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( t e. u -> ( u e. s -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
62	61	impcom 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( t e. u -> ( u e. s -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
63	62	impd 437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
64	63	exlimdv 1790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( E. u ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
65	64	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( E. u ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
66	24, 65	sylbid 223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
67	66	ex 440	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
68	20, 67	sylan2b 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
69	68	imp 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
70		eluni 4215	. . . . . . . . 9 |- ( t e. U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
71	69, 70	syl6ibr 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> t e. U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
72	71	ssrdv 3450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
73		pm2.27 40	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
74		elin 3629	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) <-> ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) )
75		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- t e. _V
76		eqeq1 2466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = t -> ( x = ( z i^i S ) <-> t = ( z i^i S ) ) )
77	76	rexbidv 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( E. z e. d x = ( z i^i S ) <-> E. z e. d t = ( z i^i S ) ) )
78	75, 77	elab 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t e. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } <-> E. z e. d t = ( z i^i S ) )
79		selpw 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
80		ssel 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( z e. d -> z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
81		ineq1 3639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = z -> ( y i^i S ) = ( z i^i S ) )
82	81	eleq1d 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( y = z -> ( ( y i^i S ) e. s <-> ( z i^i S ) e. s ) )
83	82	elrab 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> ( z e. J /\ ( z i^i S ) e. s ) )
84		eleq1a 2535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z i^i S ) e. s -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
85	84	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. J /\ ( z i^i S ) e. s ) -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
86	83, 85	sylbi 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
87	80, 86	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) )
88	87	2a1d 27	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
89	88	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
90	79, 89	sylanb 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
91	90	3imp 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) )
92	91	rexlimdv 2889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( E. z e. d t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
93	78, 92	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( t e. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> t e. s ) )
94	93	ssrdv 3450	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } C_ s )
95		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- d e. _V
96	95	abrexex 6794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. _V
97	96	elpw 3969	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ~P s <-> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } C_ s )
98	94, 97	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ~P s )
99		abrexfi 7900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. Fin -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
100	99	ad2antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
101	100	3adant3 1034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
102	98, 101	elind 3630	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ( ~P s i^i Fin ) )
103		dfss 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S C_ U. d <-> S = ( S i^i U. d ) )
104	103	biimpi 199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. d -> S = ( S i^i U. d ) )
105		uniiun 4345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. d = U_ z e. d z
106	105	ineq2i 3643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S i^i U. d ) = ( S i^i U_ z e. d z )
107		iunin2 4356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ z e. d ( S i^i z ) = ( S i^i U_ z e. d z )
108		incom 3637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S i^i z ) = ( z i^i S )
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. d -> ( S i^i z ) = ( z i^i S ) )
110	109	iuneq2i 4311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ z e. d ( S i^i z ) = U_ z e. d ( z i^i S )
111	106, 107, 110	3eqtr2i 2490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S i^i U. d ) = U_ z e. d ( z i^i S )
112	104, 111	syl6eq 2512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ U. d -> S = U_ z e. d ( z i^i S ) )
113	112	3ad2ant2 1036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U_ z e. d ( z i^i S ) )
114	18	ad2antrl 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
115	114	3adant1 1032	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
116		vex 3060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
117	116	inex1 4558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z i^i S ) e. _V
118	117	dfiun2 4326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ z e. d ( z i^i S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) }
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> U_ z e. d ( z i^i S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
120	113, 115, 119	3eqtr3d 2504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
121		unieq 4220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> U. t = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
122	121	eqeq2d 2472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> ( U. ( J ↾t S ) = U. t <-> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } ) )
123	122	rspcev 3162	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ( ~P s i^i Fin ) /\ U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t )
124	102, 120, 123	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t )
125	124	3exp 1214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
126	74, 125	sylbi 200	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
127	126	rexlimiv 2885	. . . . . . . . 9 |- ( E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
128	73, 127	syl6 34	. . . . . . . 8 |- ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
129	128	com3r 82	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
130	72, 129	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
131	130	ex 440	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
132	19, 131	sylbird 243	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
133	132	com23 81	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
134	15, 133	syld 45	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
135	134	ralrimdva 2818	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   {cab 2448   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057   i^i cin 3415   C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   U.cuni 4212   U_ciun 4292  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   ↾_t crest 15368   Topctop 19966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951  df-rest 15370  df-topgen 15391  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972

This theorem is referenced by:  cmpsub  20464