Theorem cmpsublem 20026

Description: Lemma for cmpsub 20027. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jun-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmpsub.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
cmpsublem	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )

Distinct variable groups:   c, d, s, t, J   S, c, d, s, t   X, c, d, s, t

Proof of Theorem cmpsublem

Dummy variables x y u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabexg 4606	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V )
2	1	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V )
3		ssrab2 3581	. . . . . . 7 |- { y e. J | ( y i^i S ) e. s } C_ J
4		elpwg 4023	. . . . . . 7 |- ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V -> ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J <-> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } C_ J ) )
5	3, 4	mpbiri 233	. . . . . 6 |- ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. _V -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J )
6	2, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J )
7		unieq 4259	. . . . . . . 8 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> U. c = U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
8	7	sseq2d 3527	. . . . . . 7 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( S C_ U. c <-> S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
9		pweq 4018	. . . . . . . . 9 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ~P c = ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
10	9	ineq1d 3695	. . . . . . . 8 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ~P c i^i Fin ) = ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) )
11	10	rexeqdv 3061	. . . . . . 7 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d <-> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
12	8, 11	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( c = { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) <-> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
13	12	rspcva 3208	. . . . 5 |- ( ( { y e. J | ( y i^i S ) e. s } e. ~P J /\ A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
14	6, 13	sylan 471	. . . 4 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
15	14	ex 434	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) ) )
16		cmpsub.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
17	16	restuni 19790	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
18	17	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
19	18	eqeq1d 2459	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s <-> U. ( J ↾t S ) = U. s ) )
20		selpw 4022	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. ~P ( J ↾t S ) <-> s C_ ( J ↾t S ) )
21		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S = U. s -> ( t e. S <-> t e. U. s ) )
22		eluni 4254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t e. U. s <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) )
23	21, 22	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S = U. s -> ( t e. S <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) ) )
24	23	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S <-> E. u ( t e. u /\ u e. s ) ) )
25		ssel 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> u e. ( J ↾t S ) ) )
26	16	sseq2i 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( S C_ X <-> S C_ U. J )
27		uniexg 6596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
28		ssexg 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( S C_ U. J /\ U. J e. _V ) -> S e. _V )
29	28	ancoms 453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( U. J e. _V /\ S C_ U. J ) -> S e. _V )
30	27, 29	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> S e. _V )
31	26, 30	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> S e. _V )
32		elrest 14845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( J e. Top /\ S e. _V ) -> ( u e. ( J ↾t S ) <-> E. w e. J u = ( w i^i S ) ) )
33	31, 32	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. ( J ↾t S ) <-> E. w e. J u = ( w i^i S ) ) )
34		inss1 3714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( w i^i S ) C_ w
35		sseq1 3520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = ( w i^i S ) -> ( u C_ w <-> ( w i^i S ) C_ w ) )
36	34, 35	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( u = ( w i^i S ) -> u C_ w )
37	36	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( u = ( w i^i S ) /\ t e. u ) -> t e. w )
38	37	3ad2antl3 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ t e. u ) -> t e. w )
39	38	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> t e. w )
40		simp12 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> w e. J )
41		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( u = ( w i^i S ) -> ( u e. s <-> ( w i^i S ) e. s ) )
42	41	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( u = ( w i^i S ) /\ u e. s ) -> ( w i^i S ) e. s )
43	42	3ad2antl3 1160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s ) -> ( w i^i S ) e. s )
44	43	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> ( w i^i S ) e. s )
45		ineq1 3689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = w -> ( y i^i S ) = ( w i^i S ) )
46	45	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = w -> ( ( y i^i S ) e. s <-> ( w i^i S ) e. s ) )
47	46	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> ( w e. J /\ ( w i^i S ) e. s ) )
48	40, 44, 47	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
49		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- w e. _V
50		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = w -> ( t e. v <-> t e. w ) )
51		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( v = w -> ( v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
52	50, 51	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = w -> ( ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) <-> ( t e. w /\ w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
53	49, 52	spcev 3201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( t e. w /\ w e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
54	39, 48, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) /\ u e. s /\ t e. u ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
55	54	3exp 1195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ w e. J /\ u = ( w i^i S ) ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
56	55	rexlimdv3a 2951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. w e. J u = ( w i^i S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
57	33, 56	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
58	57	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( u e. s -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( t e. u -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
59	58	com4l 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( u e. s -> ( u e. ( J ↾t S ) -> ( t e. u -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
60	25, 59	sylcom 29	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( u e. s -> ( t e. u -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
61	60	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s C_ ( J ↾t S ) -> ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( t e. u -> ( u e. s -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) ) )
62	61	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( t e. u -> ( u e. s -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
63	62	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
64	63	exlimdv 1725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( E. u ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( E. u ( t e. u /\ u e. s ) -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
66	24, 65	sylbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
67	66	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s C_ ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
68	20, 67	sylan2b 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) ) )
69	68	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) ) )
70		eluni 4254	. . . . . . . . 9 |- ( t e. U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> E. v ( t e. v /\ v e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
71	69, 70	syl6ibr 227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( t e. S -> t e. U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
72	71	ssrdv 3505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
73		pm2.27 39	. . . . . . . . 9 |- ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) )
74		elin 3683	. . . . . . . . . . 11 |- ( d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) <-> ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) )
75		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- t e. _V
76		eqeq1 2461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = t -> ( x = ( z i^i S ) <-> t = ( z i^i S ) ) )
77	76	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( E. z e. d x = ( z i^i S ) <-> E. z e. d t = ( z i^i S ) ) )
78	75, 77	elab 3246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t e. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } <-> E. z e. d t = ( z i^i S ) )
79		selpw 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } )
80		ssel 3493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( z e. d -> z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } ) )
81		ineq1 3689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = z -> ( y i^i S ) = ( z i^i S ) )
82	81	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y = z -> ( ( y i^i S ) e. s <-> ( z i^i S ) e. s ) )
83	82	elrab 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } <-> ( z e. J /\ ( z i^i S ) e. s ) )
84		eleq1a 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z i^i S ) e. s -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
85	84	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. J /\ ( z i^i S ) e. s ) -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
86	83, 85	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
87	80, 86	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) )
88	87	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) )
89	88	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
90	89	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( d C_ { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
91	79, 90	sylanb 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) ) ) )
92	91	3imp 1190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( z e. d -> ( t = ( z i^i S ) -> t e. s ) ) )
93	92	rexlimdv 2947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( E. z e. d t = ( z i^i S ) -> t e. s ) )
94	78, 93	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> ( t e. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> t e. s ) )
95	94	ssrdv 3505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } C_ s )
96		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- d e. _V
97	96	abrexex 6773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. _V
98	97	elpw 4021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ~P s <-> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } C_ s )
99	95, 98	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ~P s )
100		abrexfi 7838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. Fin -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
101	100	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
102	101	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. Fin )
103	99, 102	elind 3684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ( ~P s i^i Fin ) )
104		dfss 3486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S C_ U. d <-> S = ( S i^i U. d ) )
105	104	biimpi 194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S C_ U. d -> S = ( S i^i U. d ) )
106		uniiun 4385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. d = U_ z e. d z
107	106	ineq2i 3693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S i^i U. d ) = ( S i^i U_ z e. d z )
108		iunin2 4396	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ z e. d ( S i^i z ) = ( S i^i U_ z e. d z )
109		incom 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( S i^i z ) = ( z i^i S )
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. d -> ( S i^i z ) = ( z i^i S ) )
111	110	iuneq2i 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U_ z e. d ( S i^i z ) = U_ z e. d ( z i^i S )
112	107, 108, 111	3eqtr2i 2492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( S i^i U. d ) = U_ z e. d ( z i^i S )
113	105, 112	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S C_ U. d -> S = U_ z e. d ( z i^i S ) )
114	113	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U_ z e. d ( z i^i S ) )
115	18	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
116	115	3adant1 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> S = U. ( J ↾t S ) )
117		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. _V
118	117	inex1 4597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z i^i S ) e. _V
119	118	dfiun2 4366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U_ z e. d ( z i^i S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) }
120	119	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> U_ z e. d ( z i^i S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
121	114, 116, 120	3eqtr3d 2506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
122		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> U. t = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } )
123	122	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } -> ( U. ( J ↾t S ) = U. t <-> U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } ) )
124	123	rspcev 3210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } e. ( ~P s i^i Fin ) /\ U. ( J ↾t S ) = U. { x | E. z e. d x = ( z i^i S ) } ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t )
125	103, 121, 124	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) /\ S C_ U. d /\ ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t )
126	125	3exp 1195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( d e. ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } /\ d e. Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
127	74, 126	sylbi 195	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) -> ( S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
128	127	rexlimiv 2943	. . . . . . . . 9 |- ( E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
129	73, 128	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
130	129	com3r 79	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
131	72, 130	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) /\ S = U. s ) -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) )
132	131	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( S = U. s -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
133	19, 132	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
134	133	com23 78	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( ( S C_ U. { y e. J | ( y i^i S ) e. s } -> E. d e. ( ~P { y e. J | ( y i^i S ) e. s } i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
135	15, 134	syld 44	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ s e. ~P ( J ↾t S ) ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )
136	135	ralrimdva 2875	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( A. c e. ~P J ( S C_ U. c -> E. d e. ( ~P c i^i Fin ) S C_ U. d ) -> A. s e. ~P ( J ↾t S ) ( U. ( J ↾t S ) = U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) U. ( J ↾t S ) = U. t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   U_ciun 4332  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   ↾_t crest 14838   Topctop 19521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539  df-fi 7889  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529

This theorem is referenced by:  cmpsub  20027