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Theorem cmpsub 19136
Description: Two equivalent ways of describing a compact subset of a topological space. Inspired by Sue E. Goodman's Beginning Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpsub  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, J    S, c, d    X, c, d

Proof of Theorem cmpsub
Dummy variables  x  y  f  s  t  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
21iscmp 19124 . . 3  |-  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  (
( Jt  S )  e.  Top  /\ 
A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
4 cmpsub.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54topopn 18652 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
6 ssexg 4547 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
73, 5, 6syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
8 resttop 18897 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
97, 8syldan 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( Jt  S )  e.  Top )
10 ibar 504 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <-> 
( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) ) )
1110bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
132, 12syl5bb 257 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
14 vex 3081 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
15 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( y  i^i  S )  <->  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
1615rexbidv 2868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S )  <->  E. y  e.  c  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
1714, 16elab 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S ) )
18 selpw 3976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  ~P J  <->  c  C_  J )
19 ssel2 3460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  C_  J  /\  y  e.  c )  ->  y  e.  J )
20 ineq1 3654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  y  ->  (
d  i^i  S )  =  ( y  i^i 
S ) )
2120eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  y  ->  (
t  =  ( d  i^i  S )  <->  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
2221rspcev 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  J  /\  t  =  ( y  i^i  S ) )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  J  ->  (
t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
2419, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  C_  J  /\  y  e.  c )  ->  ( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  J  ->  (
y  e.  c  -> 
( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) ) )
2618, 25sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
( y  e.  c  ->  ( t  =  ( y  i^i  S
)  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S
) ) ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
y  e.  c  -> 
( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) ) )
2827rexlimdv 2946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
29 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  J  e.  Top )
304sseq2i 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  X  <->  S  C_  U. J
)
31 uniexg 6488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
32 ssexg 4547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  U. J  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
3331, 32sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  J  e.  Top )  ->  S  e.  _V )
3433ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3530, 34sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  S  e.  _V )
37 elrest 14486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( Jt  S )  <->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S
) ) )
3829, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
t  e.  ( Jt  S )  <->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
3928, 38sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S )  -> 
t  e.  ( Jt  S ) ) )
4017, 39syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
t  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  t  e.  ( Jt  S ) ) )
4140ssrdv 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } 
C_  ( Jt  S ) )
42 vex 3081 . . . . . . . . . 10  |-  c  e. 
_V
4342abrexex 6662 . . . . . . . . 9  |-  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  e.  _V
4443elpw 3975 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  e.  ~P ( Jt  S )  <->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } 
C_  ( Jt  S ) )
4541, 44sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  e.  ~P ( Jt  S ) )
46 unieq 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  U. s  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) } )
4746eqeq2d 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } ) )
48 pweq 3972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ~P s  =  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
4948ineq1d 3660 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( ~P s  i^i  Fin )  =  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) )
5049rexeqdv 3030 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t 
<->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
5147, 50imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <-> 
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
5251rspcva 3177 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  e.  ~P ( Jt  S )  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) )
5345, 52sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) )
5453ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) ) )
554restuni 18899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
57 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
5857inex1 4542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  S )  e. 
_V
5958dfiun2 4313 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ y  e.  c  ( y  i^i  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }
60 incom 3652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  S )  =  ( S  i^i  y
)
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  y  e.  c )  ->  ( y  i^i  S )  =  ( S  i^i  y ) )
6261iuneq2dv 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
( y  i^i  S
)  =  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y ) )
6359, 62syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  =  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y ) )
64 iunin2 4343 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y )  =  ( S  i^i  U_ y  e.  c  y )
65 uniiun 4332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. c  =  U_ y  e.  c  y
6665eqcomi 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ y  e.  c  y  =  U. c
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
y  =  U. c
)
6867ineq2d 3661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U_ y  e.  c  y
)  =  ( S  i^i  U. c ) )
69 incom 3652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  i^i  U. c )  =  ( U. c  i^i  S )
70 sseqin2 3678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. c  <->  ( U. c  i^i  S )  =  S )
7170biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  U. c  ->  ( U. c  i^i  S )  =  S )
7269, 71syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  U. c  ->  ( S  i^i  U. c )  =  S )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U. c )  =  S )
7468, 73eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U_ y  e.  c  y
)  =  S )
7564, 74syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
( S  i^i  y
)  =  S )
7663, 75eqtr2d 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  S  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
7756, 76eqeq12d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  =  S  <->  U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) } ) )
7856eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  =  U. t 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
7978rexbidv 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t  <->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
8077, 79imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t )  <-> 
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
81 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  S
8281a1bi 337 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t 
<->  ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t ) )
83 elin 3648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  i^i  Fin ) 
<->  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  /\  t  e.  Fin )
)
84 selpw 3976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <-> 
t  C_  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
85 dfss3 3455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t 
C_  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  A. s  e.  t 
s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
86 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  s  e. 
_V
87 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  s  ->  (
x  =  ( y  i^i  S )  <->  s  =  ( y  i^i  S
) ) )
8887rexbidv 2868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  s  ->  ( E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S )  <->  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
) ) )
8986, 88elab 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  E. y  e.  c 
s  =  ( y  i^i  S ) )
9089ralbii 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. s  e.  t  s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  <->  A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
) )
9184, 85, 903bitri 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  A. s  e.  t  E. y  e.  c 
s  =  ( y  i^i  S ) )
9291anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  /\  t  e.  Fin )  <->  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )
9383, 92bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  i^i  Fin ) 
<->  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin ) )
94 ineq1 3654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( f `  s )  ->  (
y  i^i  S )  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )
9594eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f `  s )  ->  (
s  =  ( y  i^i  S )  <->  s  =  ( ( f `  s )  i^i  S
) ) )
9695ac6sfi 7668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S ) )  ->  E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) ) )
9796ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )  ->  E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) ) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  E. f
( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s )  i^i  S
) ) )
99 frn 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : t --> c  ->  ran  f  C_  c )
10099ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  C_  c )
101 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  f  e. 
_V
102101rnex 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  f  e.  _V
103102elpw 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ran  f  e.  ~P c  <->  ran  f  C_  c )
104100, 103sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  ~P c
)
105 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  t  e.  Fin )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  t  e.  Fin )
107 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : t --> c  -> 
f  Fn  t )
108 dffn4 5735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
109107, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : t --> c  -> 
f : t -onto-> ran  f )
110 fodomfi 7702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  ~<_  t )
111109, 110sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
112111adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
113112adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
114113ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  ~<_  t )
115 domfi 7646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  ran  f  ~<_  t )  ->  ran  f  e.  Fin )
116106, 114, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  Fin )
117104, 116elind 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  =  u  ->  s  =  u )
119 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  =  u  ->  (
f `  s )  =  ( f `  u ) )
120119ineq1d 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  =  u  ->  (
( f `  s
)  i^i  S )  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S ) )
121118, 120eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( s  =  u  ->  (
s  =  ( ( f `  s )  i^i  S )  <->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )
122121rspccv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S )  ->  (
u  e.  t  ->  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S ) ) )
123 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e.  t  ->  (
( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u
)  i^i  S )
)  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )
124 inss1 3679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f `  u )  i^i  S )  C_  ( f `  u
)
125 sseq1 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  (
u  C_  ( f `  u )  <->  ( (
f `  u )  i^i  S )  C_  (
f `  u )
) )
126124, 125mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
127 ssel 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( u 
C_  ( f `  u )  ->  (
w  e.  u  ->  w  e.  ( f `  u ) ) )
128127a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( u 
C_  ( f `  u )  ->  (
w  e.  u  -> 
( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) )
129126, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  (
w  e.  u  -> 
( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) )
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( u  e.  t  ->  (
u  =  ( ( f `  u )  i^i  S )  -> 
( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) ) )
1311303imp 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u ) ) )
132 fnfvelrn 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( f `  u
)  e.  ran  f
)
133132expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  e.  t  ->  (
f  Fn  t  -> 
( f `  u
)  e.  ran  f
) )
1341333ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f  Fn  t  -> 
( f `  u
)  e.  ran  f
) )
135107, 134syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  ( f `  u )  e.  ran  f ) )
136131, 135jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
1371363exp 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e.  t  ->  (
u  =  ( ( f `  u )  i^i  S )  -> 
( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
138123, 137syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  e.  t  ->  (
( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u
)  i^i  S )
)  ->  ( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  -> 
( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
139138com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  u  ->  (
u  e.  t  -> 
( ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
140139imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) )
141140com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( u  e.  t  ->  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S ) )  -> 
( f : t --> c  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) )
142141impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : t --> c  /\  ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )  -> 
( ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  (
w  e.  ( f `
 u )  /\  ( f `  u
)  e.  ran  f
) ) )
143122, 142sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
144 fvex 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
145 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  ( f `  u
) ) )
146 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
v  e.  ran  f  <->  ( f `  u )  e.  ran  f ) )
147145, 146anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f )  <->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
148144, 147spcev 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  ( f `
 u )  /\  ( f `  u
)  e.  ran  f
)  ->  E. v
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) )
149143, 148syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  E. v ( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) ) )
150149exlimdv 1691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( E. u ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  E. v
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) ) )
151 eluni 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  U. t  <->  E. u
( w  e.  u  /\  u  e.  t
) )
152 eluni 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  U. ran  f  <->  E. v ( w  e.  v  /\  v  e. 
ran  f ) )
153150, 151, 1523imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( w  e.  U. t  ->  w  e.  U. ran  f ) )
154153ssrdv 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  U. t  C_ 
U. ran  f )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  U. t  C_ 
U. ran  f )
156 sseq1 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  =  U. t  -> 
( S  C_  U. ran  f 
<-> 
U. t  C_  U. ran  f ) )
157156ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ( S  C_  U. ran  f  <->  U. t  C_  U. ran  f
) )
158155, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  S  C_ 
U. ran  f )
159117, 158jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) )
160159ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  S  =  U. t
)  ->  ( (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f
) ) )
161160eximdv 1677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  S  =  U. t
)  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  ->  E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  S  C_ 
U. ran  f )
) )
162161ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( S  =  U. t  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  E. f
( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) ) ) )
163162com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  -> 
( S  =  U. t  ->  E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) ) ) )
164 unieq 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ran  f  ->  U. d  =  U. ran  f )
165164sseq2d 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ran  f  -> 
( S  C_  U. d  <->  S 
C_  U. ran  f ) )
166165rspcev 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )
167166exlimiv 1689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  S  C_ 
U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)
168163, 167syl8 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  -> 
( S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) ) )
16998, 168mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
17093, 169sylan2b 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) )  ->  ( S  = 
U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )
171170rexlimdva 2947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) )
17282, 171syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
17380, 172sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )
174173ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( S  C_  U. c  -> 
( ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
175174com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) ) )
17654, 175syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
177176ralrimdva 2912 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
1784cmpsublem 19135 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
179177, 178impbid 191 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
18013, 179bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2439   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   U.cuni 4200   U_ciun 4280   class class class wbr 4401   ran crn 4950    Fn wfn 5522   -->wf 5523   -onto->wfo 5525   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    ~<_ cdom 7419   Fincfn 7421   ↾t crest 14479   Topctop 18631   Compccmp 19122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-fin 7425  df-fi 7773  df-rest 14481  df-topgen 14502  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-cmp 19123
This theorem is referenced by:  cmpcld  19138  uncmp  19139  hauscmplem  19142  1stckgenlem  19259  icccmp  20535  bndth  20663  ovolicc2  21138  stoweidlem50  29994  stoweidlem57  30001
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