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Theorem cmpsub 17417
Description: Two equivalent ways of describing a compact subset of a topological space. Inspired by Sue E. Goodman's Beginning Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpsub  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, J    S, c, d    X, c, d

Proof of Theorem cmpsub
Dummy variables  x  y  f  s  t  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
21iscmp 17405 . . 3  |-  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  (
( Jt  S )  e.  Top  /\ 
A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
3 id 20 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
4 cmpsub.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54topopn 16934 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
6 ssexg 4309 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
73, 5, 6syl2anr 465 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
8 resttop 17178 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
97, 8syldan 457 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( Jt  S )  e.  Top )
10 ibar 491 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <-> 
( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) ) )
1110bicomd 193 . . . 4  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
132, 12syl5bb 249 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
14 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
15 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( y  i^i  S )  <->  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
1615rexbidv 2687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S )  <->  E. y  e.  c  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
1714, 16elab 3042 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S ) )
18 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  c  e. 
_V
1918elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  ~P J  <->  c  C_  J )
20 ssel2 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  C_  J  /\  y  e.  c )  ->  y  e.  J )
21 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  y  ->  (
d  i^i  S )  =  ( y  i^i 
S ) )
2221eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  y  ->  (
t  =  ( d  i^i  S )  <->  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
2322rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  J  /\  t  =  ( y  i^i  S ) )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) )
2423ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  J  ->  (
t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
2520, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  C_  J  /\  y  e.  c )  ->  ( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
2625ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  J  ->  (
y  e.  c  -> 
( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) ) )
2719, 26sylbi 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
( y  e.  c  ->  ( t  =  ( y  i^i  S
)  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S
) ) ) )
2827adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
y  e.  c  -> 
( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) ) )
2928rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
30 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  J  e.  Top )
314sseq2i 3333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  X  <->  S  C_  U. J
)
32 uniexg 4665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
33 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  U. J  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
3432, 33sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  J  e.  Top )  ->  S  e.  _V )
3534ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3631, 35sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
3736adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  S  e.  _V )
38 elrest 13610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( Jt  S )  <->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S
) ) )
3930, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
t  e.  ( Jt  S )  <->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
4029, 39sylibrd 226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S )  -> 
t  e.  ( Jt  S ) ) )
4117, 40syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
t  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  t  e.  ( Jt  S ) ) )
4241ssrdv 3314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } 
C_  ( Jt  S ) )
4318abrexex 5942 . . . . . . . . 9  |-  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  e.  _V
4443elpw 3765 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  e.  ~P ( Jt  S )  <->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } 
C_  ( Jt  S ) )
4542, 44sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  e.  ~P ( Jt  S ) )
46 unieq 3984 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  U. s  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) } )
4746eqeq2d 2415 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } ) )
48 pweq 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ~P s  =  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
4948ineq1d 3501 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( ~P s  i^i  Fin )  =  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) )
5049rexeqdv 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t 
<->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
5147, 50imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <-> 
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
5251rspcva 3010 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  e.  ~P ( Jt  S )  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) )
5345, 52sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) )
5453ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) ) )
554restuni 17180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
57 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
5857inex1 4304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  S )  e. 
_V
5958dfiun2 4085 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ y  e.  c  ( y  i^i  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }
60 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  S )  =  ( S  i^i  y
)
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  y  e.  c )  ->  ( y  i^i  S )  =  ( S  i^i  y ) )
6261iuneq2dv 4074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
( y  i^i  S
)  =  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y ) )
6359, 62syl5eqr 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  =  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y ) )
64 iunin2 4115 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y )  =  ( S  i^i  U_ y  e.  c  y )
65 uniiun 4104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. c  =  U_ y  e.  c  y
6665eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ y  e.  c  y  =  U. c
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
y  =  U. c
)
6867ineq2d 3502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U_ y  e.  c  y
)  =  ( S  i^i  U. c ) )
69 incom 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  i^i  U. c )  =  ( U. c  i^i  S )
70 sseqin2 3520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. c  <->  ( U. c  i^i  S )  =  S )
7170biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  U. c  ->  ( U. c  i^i  S )  =  S )
7269, 71syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  U. c  ->  ( S  i^i  U. c )  =  S )
7372adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U. c )  =  S )
7468, 73eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U_ y  e.  c  y
)  =  S )
7564, 74syl5eq 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
( S  i^i  y
)  =  S )
7663, 75eqtr2d 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  S  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
7756, 76eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  =  S  <->  U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) } ) )
7856eqeq1d 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  =  U. t 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
7978rexbidv 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t  <->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
8077, 79imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t )  <-> 
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
81 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  S
8281a1bi 328 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t 
<->  ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t ) )
83 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  i^i  Fin ) 
<->  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  /\  t  e.  Fin )
)
8414elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <-> 
t  C_  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
85 dfss3 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t 
C_  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  A. s  e.  t 
s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
86 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  s  e. 
_V
87 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  s  ->  (
x  =  ( y  i^i  S )  <->  s  =  ( y  i^i  S
) ) )
8887rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  s  ->  ( E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S )  <->  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
) ) )
8986, 88elab 3042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  E. y  e.  c 
s  =  ( y  i^i  S ) )
9089ralbii 2690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. s  e.  t  s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  <->  A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
) )
9184, 85, 903bitri 263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  A. s  e.  t  E. y  e.  c 
s  =  ( y  i^i  S ) )
9291anbi1i 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  /\  t  e.  Fin )  <->  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )
9383, 92bitri 241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  i^i  Fin ) 
<->  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin ) )
94 ineq1 3495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( f `  s )  ->  (
y  i^i  S )  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )
9594eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f `  s )  ->  (
s  =  ( y  i^i  S )  <->  s  =  ( ( f `  s )  i^i  S
) ) )
9695ac6sfi 7310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S ) )  ->  E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) ) )
9796ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )  ->  E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) ) )
9897adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  E. f
( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s )  i^i  S
) ) )
99 frn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : t --> c  ->  ran  f  C_  c )
10099ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  C_  c )
101 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  f  e. 
_V
102101rnex 5092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  f  e.  _V
103102elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ran  f  e.  ~P c  <->  ran  f  C_  c )
104100, 103sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  ~P c
)
105 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  t  e.  Fin )
106105ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  t  e.  Fin )
107 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : t --> c  -> 
f  Fn  t )
108 dffn4 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
109107, 108sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : t --> c  -> 
f : t -onto-> ran  f )
110 fodomfi 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  ~<_  t )
111109, 110sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
112111adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
113112adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
114113ad2ant2r 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  ~<_  t )
115 domfi 7289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  ran  f  ~<_  t )  ->  ran  f  e.  Fin )
116106, 114, 115syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  Fin )
117 elin 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  e.  ~P c  /\  ran  f  e. 
Fin ) )
118104, 116, 117sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
119 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  =  u  ->  s  =  u )
120 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  =  u  ->  (
f `  s )  =  ( f `  u ) )
121120ineq1d 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  =  u  ->  (
( f `  s
)  i^i  S )  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S ) )
122119, 121eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( s  =  u  ->  (
s  =  ( ( f `  s )  i^i  S )  <->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )
123122rspccv 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S )  ->  (
u  e.  t  ->  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S ) ) )
124 pm2.27 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e.  t  ->  (
( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u
)  i^i  S )
)  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )
125 inss1 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f `  u )  i^i  S )  C_  ( f `  u
)
126 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  (
u  C_  ( f `  u )  <->  ( (
f `  u )  i^i  S )  C_  (
f `  u )
) )
127125, 126mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
128 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( u 
C_  ( f `  u )  ->  (
w  e.  u  ->  w  e.  ( f `  u ) ) )
129128a1dd 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( u 
C_  ( f `  u )  ->  (
w  e.  u  -> 
( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) )
130127, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  (
w  e.  u  -> 
( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( u  e.  t  ->  (
u  =  ( ( f `  u )  i^i  S )  -> 
( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) ) )
1321313imp 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u ) ) )
133 fnfvelrn 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( f `  u
)  e.  ran  f
)
134133expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  e.  t  ->  (
f  Fn  t  -> 
( f `  u
)  e.  ran  f
) )
1351343ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f  Fn  t  -> 
( f `  u
)  e.  ran  f
) )
136107, 135syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  ( f `  u )  e.  ran  f ) )
137132, 136jcad 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
1381373exp 1152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e.  t  ->  (
u  =  ( ( f `  u )  i^i  S )  -> 
( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
139124, 138syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  e.  t  ->  (
( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u
)  i^i  S )
)  ->  ( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  -> 
( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
140139com3r 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  u  ->  (
u  e.  t  -> 
( ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
141140imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) )
142141com3l 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( u  e.  t  ->  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S ) )  -> 
( f : t --> c  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) )
143142impcom 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : t --> c  /\  ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )  -> 
( ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  (
w  e.  ( f `
 u )  /\  ( f `  u
)  e.  ran  f
) ) )
144123, 143sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
145 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
146 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  ( f `  u
) ) )
147 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
v  e.  ran  f  <->  ( f `  u )  e.  ran  f ) )
148146, 147anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f )  <->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
149145, 148spcev 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  ( f `
 u )  /\  ( f `  u
)  e.  ran  f
)  ->  E. v
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) )
150144, 149syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  E. v ( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) ) )
151150exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( E. u ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  E. v
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) ) )
152 eluni 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  U. t  <->  E. u
( w  e.  u  /\  u  e.  t
) )
153 eluni 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  U. ran  f  <->  E. v ( w  e.  v  /\  v  e. 
ran  f ) )
154151, 152, 1533imtr4g 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( w  e.  U. t  ->  w  e.  U. ran  f ) )
155154ssrdv 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  U. t  C_ 
U. ran  f )
156155adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  U. t  C_ 
U. ran  f )
157 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  =  U. t  -> 
( S  C_  U. ran  f 
<-> 
U. t  C_  U. ran  f ) )
158157ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ( S  C_  U. ran  f  <->  U. t  C_  U. ran  f
) )
159156, 158mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  S  C_ 
U. ran  f )
160118, 159jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) )
161160ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  S  =  U. t
)  ->  ( (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f
) ) )
162161eximdv 1629 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  S  =  U. t
)  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  ->  E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  S  C_ 
U. ran  f )
) )
163162ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( S  =  U. t  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  E. f
( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) ) ) )
164163com23 74 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  -> 
( S  =  U. t  ->  E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) ) ) )
165 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ran  f  ->  U. d  =  U. ran  f )
166165sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ran  f  -> 
( S  C_  U. d  <->  S 
C_  U. ran  f ) )
167166rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )
168167exlimiv 1641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  S  C_ 
U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)
169164, 168syl8 67 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  -> 
( S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) ) )
17098, 169mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
17193, 170sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) )  ->  ( S  = 
U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )
172171rexlimdva 2790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) )
17382, 172syl5bir 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
17480, 173sylbird 227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )
175174ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( S  C_  U. c  -> 
( ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
176175com23 74 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) ) )
17754, 176syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
178177ralrimdva 2756 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
1794cmpsublem 17416 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
180178, 179impbid 184 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
18113, 180bitrd 245 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   U_ciun 4053   class class class wbr 4172   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~<_ cdom 7066   Fincfn 7068   ↾t crest 13603   Topctop 16913   Compccmp 17403
This theorem is referenced by:  cmpcld  17419  uncmp  17420  hauscmplem  17423  1stckgenlem  17538  icccmp  18809  bndth  18936  ovolicc2  19371  stoweidlem50  27666  stoweidlem57  27673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404
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