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Theorem cmpsub 18978
Description: Two equivalent ways of describing a compact subset of a topological space. Inspired by Sue E. Goodman's Beginning Topology. (Contributed by Jeff Hankins, 22-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cmpsub.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpsub  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
Distinct variable groups:    c, d, J    S, c, d    X, c, d

Proof of Theorem cmpsub
Dummy variables  x  y  f  s  t  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . 4  |-  U. ( Jt  S )  =  U. ( Jt  S )
21iscmp 18966 . . 3  |-  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  (
( Jt  S )  e.  Top  /\ 
A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
3 id 22 . . . . . 6  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
4 cmpsub.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54topopn 18494 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
6 ssexg 4433 . . . . . 6  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  J )  ->  S  e.  _V )
73, 5, 6syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
8 resttop 18739 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
97, 8syldan 470 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( Jt  S )  e.  Top )
10 ibar 504 . . . . 5  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <-> 
( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) ) )
1110bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( Jt  S )  e.  Top  ->  ( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( ( Jt  S )  e.  Top  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
132, 12syl5bb 257 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
14 vex 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  t  e. 
_V
15 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
x  =  ( y  i^i  S )  <->  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
1615rexbidv 2731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S )  <->  E. y  e.  c  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
1714, 16elab 3101 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S ) )
18 selpw 3862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  e.  ~P J  <->  c  C_  J )
19 ssel2 3346 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  C_  J  /\  y  e.  c )  ->  y  e.  J )
20 ineq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d  =  y  ->  (
d  i^i  S )  =  ( y  i^i 
S ) )
2120eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( d  =  y  ->  (
t  =  ( d  i^i  S )  <->  t  =  ( y  i^i  S
) ) )
2221rspcev 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  J  /\  t  =  ( y  i^i  S ) )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  J  ->  (
t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
2419, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( c  C_  J  /\  y  e.  c )  ->  ( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
2524ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  J  ->  (
y  e.  c  -> 
( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) ) )
2618, 25sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P J  -> 
( y  e.  c  ->  ( t  =  ( y  i^i  S
)  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S
) ) ) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
y  e.  c  -> 
( t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) ) )
2827rexlimdv 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S )  ->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
29 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  J  e.  Top )
304sseq2i 3376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  X  <->  S  C_  U. J
)
31 uniexg 6372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
32 ssexg 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  U. J  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
3331, 32sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  C_  U. J  /\  J  e.  Top )  ->  S  e.  _V )
3433ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  S  e.  _V )
3530, 34sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  e.  _V )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  S  e.  _V )
37 elrest 14358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( t  e.  ( Jt  S )  <->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S
) ) )
3829, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
t  e.  ( Jt  S )  <->  E. d  e.  J  t  =  ( d  i^i  S ) ) )
3928, 38sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( E. y  e.  c 
t  =  ( y  i^i  S )  -> 
t  e.  ( Jt  S ) ) )
4017, 39syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
t  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  t  e.  ( Jt  S ) ) )
4140ssrdv 3357 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } 
C_  ( Jt  S ) )
42 vex 2970 . . . . . . . . . 10  |-  c  e. 
_V
4342abrexex 6546 . . . . . . . . 9  |-  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  e.  _V
4443elpw 3861 . . . . . . . 8  |-  ( { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  e.  ~P ( Jt  S )  <->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } 
C_  ( Jt  S ) )
4541, 44sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  e.  ~P ( Jt  S ) )
46 unieq 4094 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  U. s  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) } )
4746eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. s 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } ) )
48 pweq 3858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ~P s  =  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
4948ineq1d 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( ~P s  i^i  Fin )  =  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) )
5049rexeqdv 2919 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t 
<->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
5147, 50imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  ->  ( ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <-> 
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
5251rspcva 3066 . . . . . . 7  |-  ( ( { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  e.  ~P ( Jt  S )  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) )
5345, 52sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) )
5453ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
) ) )
554restuni 18741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  S  =  U. ( Jt  S ) )
57 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
5857inex1 4428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  i^i  S )  e. 
_V
5958dfiun2 4199 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ y  e.  c  ( y  i^i  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }
60 incom 3538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  i^i  S )  =  ( S  i^i  y
)
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  y  e.  c )  ->  ( y  i^i  S )  =  ( S  i^i  y ) )
6261iuneq2dv 4187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
( y  i^i  S
)  =  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y ) )
6359, 62syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  =  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y ) )
64 iunin2 4229 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ y  e.  c  ( S  i^i  y )  =  ( S  i^i  U_ y  e.  c  y )
65 uniiun 4218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. c  =  U_ y  e.  c  y
6665eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ y  e.  c  y  =  U. c
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
y  =  U. c
)
6867ineq2d 3547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U_ y  e.  c  y
)  =  ( S  i^i  U. c ) )
69 incom 3538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S  i^i  U. c )  =  ( U. c  i^i  S )
70 sseqin2 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S 
C_  U. c  <->  ( U. c  i^i  S )  =  S )
7170biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S 
C_  U. c  ->  ( U. c  i^i  S )  =  S )
7269, 71syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S 
C_  U. c  ->  ( S  i^i  U. c )  =  S )
7372adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U. c )  =  S )
7468, 73eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  i^i  U_ y  e.  c  y
)  =  S )
7564, 74syl5eq 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  U_ y  e.  c 
( S  i^i  y
)  =  S )
7663, 75eqtr2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  ->  S  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
7756, 76eqeq12d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  =  S  <->  U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) } ) )
7856eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( S  =  U. t 
<-> 
U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
7978rexbidv 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t  <->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) )
8077, 79imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t )  <-> 
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
81 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  S
8281a1bi 337 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t 
<->  ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t ) )
83 elin 3534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  i^i  Fin ) 
<->  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  /\  t  e.  Fin )
)
84 selpw 3862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <-> 
t  C_  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
85 dfss3 3341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t 
C_  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  A. s  e.  t 
s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) } )
86 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  s  e. 
_V
87 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  s  ->  (
x  =  ( y  i^i  S )  <->  s  =  ( y  i^i  S
) ) )
8887rexbidv 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  s  ->  ( E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S )  <->  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
) ) )
8986, 88elab 3101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  E. y  e.  c 
s  =  ( y  i^i  S ) )
9089ralbii 2734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. s  e.  t  s  e.  { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  <->  A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
) )
9184, 85, 903bitri 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  <->  A. s  e.  t  E. y  e.  c 
s  =  ( y  i^i  S ) )
9291anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( t  e.  ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  /\  t  e.  Fin )  <->  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )
9383, 92bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( ~P {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  i^i  Fin ) 
<->  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin ) )
94 ineq1 3540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( f `  s )  ->  (
y  i^i  S )  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )
9594eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( f `  s )  ->  (
s  =  ( y  i^i  S )  <->  s  =  ( ( f `  s )  i^i  S
) ) )
9695ac6sfi 7548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S ) )  ->  E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) ) )
9796ancoms 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )  ->  E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) ) )
9897adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  E. f
( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s )  i^i  S
) ) )
99 frn 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : t --> c  ->  ran  f  C_  c )
10099ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  C_  c )
101 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  f  e. 
_V
102101rnex 6507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  f  e.  _V
103102elpw 3861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ran  f  e.  ~P c  <->  ran  f  C_  c )
104100, 103sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  ~P c
)
105 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  t  e.  Fin )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  t  e.  Fin )
107 ffn 5554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f : t --> c  -> 
f  Fn  t )
108 dffn4 5621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f  Fn  t  <->  f :
t -onto-> ran  f )
109107, 108sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : t --> c  -> 
f : t -onto-> ran  f )
110 fodomfi 7582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  ~<_  t )
111109, 110sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
112111adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
113112adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  f : t --> c )  ->  ran  f  ~<_  t )
114113ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  ~<_  t )
115 domfi 7526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( t  e.  Fin  /\  ran  f  ~<_  t )  ->  ran  f  e.  Fin )
116106, 114, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  Fin )
117104, 116elind 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) )
118 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  =  u  ->  s  =  u )
119 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  =  u  ->  (
f `  s )  =  ( f `  u ) )
120119ineq1d 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  =  u  ->  (
( f `  s
)  i^i  S )  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S ) )
121118, 120eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( s  =  u  ->  (
s  =  ( ( f `  s )  i^i  S )  <->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )
122121rspccv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S )  ->  (
u  e.  t  ->  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S ) ) )
123 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e.  t  ->  (
( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u
)  i^i  S )
)  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )
124 inss1 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f `  u )  i^i  S )  C_  ( f `  u
)
125 sseq1 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  (
u  C_  ( f `  u )  <->  ( (
f `  u )  i^i  S )  C_  (
f `  u )
) )
126124, 125mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
127 ssel 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( u 
C_  ( f `  u )  ->  (
w  e.  u  ->  w  e.  ( f `  u ) ) )
128127a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( u 
C_  ( f `  u )  ->  (
w  e.  u  -> 
( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) )
129126, 128syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  =  ( ( f `
 u )  i^i 
S )  ->  (
w  e.  u  -> 
( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) )
130129a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( u  e.  t  ->  (
u  =  ( ( f `  u )  i^i  S )  -> 
( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u
) ) ) ) )
1311303imp 1181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  w  e.  ( f `  u ) ) )
132 fnfvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( f  Fn  t  /\  u  e.  t )  ->  ( f `  u
)  e.  ran  f
)
133132expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( u  e.  t  ->  (
f  Fn  t  -> 
( f `  u
)  e.  ran  f
) )
1341333ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f  Fn  t  -> 
( f `  u
)  e.  ran  f
) )
135107, 134syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  ( f `  u )  e.  ran  f ) )
136131, 135jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( u  e.  t  /\  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S )  /\  w  e.  u )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
1371363exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( u  e.  t  ->  (
u  =  ( ( f `  u )  i^i  S )  -> 
( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
138123, 137syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  e.  t  ->  (
( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u
)  i^i  S )
)  ->  ( w  e.  u  ->  ( f : t --> c  -> 
( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
139138com3r 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  u  ->  (
u  e.  t  -> 
( ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) ) )
140139imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) )  ->  (
f : t --> c  ->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) )
141140com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( u  e.  t  ->  u  =  ( (
f `  u )  i^i  S ) )  -> 
( f : t --> c  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) ) )
142141impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : t --> c  /\  ( u  e.  t  ->  u  =  ( ( f `  u )  i^i  S
) ) )  -> 
( ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  (
w  e.  ( f `
 u )  /\  ( f `  u
)  e.  ran  f
) ) )
143122, 142sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  ( w  e.  ( f `  u )  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
144 fvex 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( f `
 u )  e. 
_V
145 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
w  e.  v  <->  w  e.  ( f `  u
) ) )
146 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
v  e.  ran  f  <->  ( f `  u )  e.  ran  f ) )
147145, 146anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f )  <->  ( w  e.  ( f `  u
)  /\  ( f `  u )  e.  ran  f ) ) )
148144, 147spcev 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( w  e.  ( f `
 u )  /\  ( f `  u
)  e.  ran  f
)  ->  E. v
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) )
149143, 148syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( (
w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  E. v ( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) ) )
150149exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( E. u ( w  e.  u  /\  u  e.  t )  ->  E. v
( w  e.  v  /\  v  e.  ran  f ) ) )
151 eluni 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  U. t  <->  E. u
( w  e.  u  /\  u  e.  t
) )
152 eluni 4089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  U. ran  f  <->  E. v ( w  e.  v  /\  v  e. 
ran  f ) )
153150, 151, 1523imtr4g 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( w  e.  U. t  ->  w  e.  U. ran  f ) )
154153ssrdv 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  U. t  C_ 
U. ran  f )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  U. t  C_ 
U. ran  f )
156 sseq1 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( S  =  U. t  -> 
( S  C_  U. ran  f 
<-> 
U. t  C_  U. ran  f ) )
157156ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ( S  C_  U. ran  f  <->  U. t  C_  U. ran  f
) )
158155, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  S  C_ 
U. ran  f )
159117, 158jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S )  /\  t  e.  Fin )
)  /\  S  =  U. t )  /\  (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
) )  ->  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) )
160159ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  S  =  U. t
)  ->  ( (
f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f
) ) )
161160eximdv 1676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J
)  /\  S  C_  U. c
)  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i 
S )  /\  t  e.  Fin ) )  /\  S  =  U. t
)  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  ->  E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  S  C_ 
U. ran  f )
) )
162161ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( S  =  U. t  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `  s
)  i^i  S )
)  ->  E. f
( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) ) ) )
163162com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  -> 
( S  =  U. t  ->  E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f ) ) ) )
164 unieq 4094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( d  =  ran  f  ->  U. d  =  U. ran  f )
165164sseq2d 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  =  ran  f  -> 
( S  C_  U. d  <->  S 
C_  U. ran  f ) )
166165rspcev 3068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i  Fin )  /\  S  C_  U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )
167166exlimiv 1688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. f ( ran  f  e.  ( ~P c  i^i 
Fin )  /\  S  C_ 
U. ran  f )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
)
168163, 167syl8 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( E. f ( f : t --> c  /\  A. s  e.  t  s  =  ( ( f `
 s )  i^i 
S ) )  -> 
( S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) ) )
16998, 168mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  ( A. s  e.  t  E. y  e.  c  s  =  ( y  i^i  S
)  /\  t  e.  Fin ) )  ->  ( S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
17093, 169sylan2b 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_  U. c )  /\  t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) )  ->  ( S  = 
U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )
171170rexlimdva 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) )
17282, 171syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( S  =  S  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) S  =  U. t )  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d
) )
17380, 172sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  S  C_  X
)  /\  c  e.  ~P J )  /\  S  C_ 
U. c )  -> 
( ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) )
174173ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( S  C_  U. c  -> 
( ( U. ( Jt  S )  =  U. { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i 
S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t
)  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
175174com23 78 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  (
( U. ( Jt  S )  =  U. {
x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S
) }  ->  E. t  e.  ( ~P { x  |  E. y  e.  c  x  =  ( y  i^i  S ) }  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i  Fin ) S  C_  U. d ) ) )
17654, 175syld 44 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  c  e.  ~P J )  ->  ( A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
177176ralrimdva 2801 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  ->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
1784cmpsublem 18977 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. c  e. 
~P  J ( S 
C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d )  ->  A. s  e.  ~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t ) ) )
179177, 178impbid 191 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( A. s  e. 
~P  ( Jt  S ) ( U. ( Jt  S )  =  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) U. ( Jt  S )  =  U. t )  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
18013, 179bitrd 253 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. c  e.  ~P  J ( S  C_  U. c  ->  E. d  e.  ( ~P c  i^i 
Fin ) S  C_  U. d ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2424   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086   U_ciun 4166   class class class wbr 4287   ran crn 4836    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    ~<_ cdom 7300   Fincfn 7302   ↾t crest 14351   Topctop 18473   Compccmp 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-cmp 18965
This theorem is referenced by:  cmpcld  18980  uncmp  18981  hauscmplem  18984  1stckgenlem  19101  icccmp  20377  bndth  20505  ovolicc2  20980  stoweidlem50  29798  stoweidlem57  29805
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