Theorem cmpmorp 15126

Description: Conditions for a composite to be a morphism.

Hypotheses

Ref	Expression
cmpmorp.1	|- M = dom (dom` T)
cmpmorp.2	|- D = (dom` T)
cmpmorp.3	|- C = (cod` T)
cmpmorp.4	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
cmpmorp	|- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. M))

Proof of Theorem cmpmorp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmpmorp.1	. . . . . . . . 9 |- M = dom (dom` T)
2		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- (dom` T) = (dom` T)
3		cmpmorp.4	. . . . . . . . 9 |- R = (o` T)
4	1, 2, 3	cmppfc 15115	. . . . . . . 8 |- (T e. Cat -> (Fun R /\ dom R C_ (M X. M) /\ ran R C_ M))
5	4	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> (Fun R /\ dom R C_ (M X. M) /\ ran R C_ M))
6	5	simp1d 888	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> Fun R)
7	6	adantr 425	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> Fun R)
8		cmpmorp.2	. . . . . . . . . 10 |- D = (dom` T)
9	8	eqcomi 1888	. . . . . . . . 9 |- (dom` T) = D
10	9	dmeqi 4158	. . . . . . . 8 |- dom (dom` T) = dom D
11	1, 10	eqtri 1908	. . . . . . 7 |- M = dom D
12		cmpmorp.3	. . . . . . 7 |- C = (cod` T)
13	11, 8, 12, 3	cmppfcd 15117	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> (<.G, F>. e. dom R <-> (D` G) = (C` F)))
14	13	biimpar 461	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> <.G, F>. e. dom R)
15	7, 14	jca 310	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) /\ (D` G) = (C` F)) -> (Fun R /\ <.G, F>. e. dom R))
16	15	ex 402	. . 3 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (Fun R /\ <.G, F>. e. dom R)))
17		fnoprvrn2 14352	. . 3 |- ((Fun R /\ <.G, F>. e. dom R) -> (GRF) e. ran R)
18	16, 17	syl6 25	. 2 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. ran R))
19		simp3 878	. . 3 |- ((Fun R /\ dom R C_ (M X. M) /\ ran R C_ M) -> ran R C_ M)
20		ssel 2615	. . 3 |- (ran R C_ M -> ((GRF) e. ran R -> (GRF) e. M))
21	5, 19, 20	3syl 24	. 2 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((GRF) e. ran R -> (GRF) e. M))
22	18, 21	syld 30	1 |- ((T e. Cat /\ F e. M /\ G e. M) -> ((D` G) = (C` F) -> (GRF) e. M))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  <.cop 3046   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  oco_ 15062   Cat ccat 15099

This theorem is referenced by:  dualcat2 15133  homgrf 15151  idfisf 15189  idsubfun 15206

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fo 4012  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100

Copyright terms: Public domain