MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Structured version   Unicode version

Theorem cmpkgen 19259
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  U. J  =  U. J
2 cmptop 19133 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
32adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
41topopn 18654 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  J
)
6 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
76snssd 4129 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  U. J )
8 opnneiss 18857 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. J  e.  J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) )
101restid 14494 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  =  J )
12 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Comp )
1311, 12eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  e. 
Comp )
14 oveq2 6211 . . . . 5  |-  ( k  =  U. J  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  U. J ) )
1514eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( k  =  U. J  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  U. J
)  e.  Comp )
)
1615rspcev 3179 . . 3  |-  ( ( U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  ( Jt  U. J )  e.  Comp )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
179, 13, 16syl2anc 661 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  E. k  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
181, 2, 17llycmpkgen2 19258 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2800    C_ wss 3439   {csn 3988   U.cuni 4202   ran crn 4952   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ↾t crest 14481   Topctop 18633   neicnei 18836   Compccmp 19124  𝑘Genckgen 19241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-fin 7427  df-fi 7775  df-rest 14483  df-topgen 14504  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-ntr 18759  df-nei 18837  df-cmp 19125  df-kgen 19242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator