MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpkgen Structured version   Unicode version

Theorem cmpkgen 20221
Description: A compact space is compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpkgen  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )

Proof of Theorem cmpkgen
Dummy variables  k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . 2  |-  U. J  =  U. J
2 cmptop 20065 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
32adantr 463 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Top )
41topopn 19585 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  J
)
6 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  x  e.  U. J )
76snssd 4161 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  { x }  C_  U. J )
8 opnneiss 19789 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  U. J  e.  J  /\  { x }  C_  U. J
)  ->  U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) )
93, 5, 7, 8syl3anc 1226 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  U. J  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) )
101restid 14926 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  U. J )  =  J )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  =  J )
12 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  J  e.  Comp )
1311, 12eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  -> 
( Jt  U. J )  e. 
Comp )
14 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( k  =  U. J  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  U. J ) )
1514eleq1d 2523 . . . 4  |-  ( k  =  U. J  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  U. J
)  e.  Comp )
)
1615rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( U. J  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } )  /\  ( Jt  U. J )  e.  Comp )  ->  E. k  e.  ( ( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
179, 13, 16syl2anc 659 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  U. J )  ->  E. k  e.  (
( nei `  J
) `  { x } ) ( Jt  k )  e.  Comp )
181, 2, 17llycmpkgen2 20220 1  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
ran 𝑘Gen )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805    C_ wss 3461   {csn 4016   U.cuni 4235   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ↾t crest 14913   Topctop 19564   neicnei 19768   Compccmp 20056  𝑘Genckgen 20203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fi 7863  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-ntr 19691  df-nei 19769  df-cmp 20057  df-kgen 20204
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator