Theorem cmpinj 14464

Description: Composition of an injective function with its converse.

Assertion

Ref	Expression
cmpinj	|- (F:A-1-1->B -> (`'F o. F) = ( _I |` A))

Proof of Theorem cmpinj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f1orn 4649	. 2 |- (F:A-1-1->B -> F:A-1-1-onto->ran F)
2		f1ococnv1 4663	. 2 |- (F:A-1-1-onto->ran F -> (`'F o. F) = ( _I |` A))
3	1, 2	syl 12	1 |- (F:A-1-1->B -> (`'F o. F) = ( _I |` A))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   _I cid 3582  `'ccnv 3985  ran crn 3987   |` cres 3988   o. ccom 3990  -1-1->wf1 3995  -1-1-onto->wf1o 3997

This theorem is referenced by:  injrec2 14466

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013

Copyright terms: Public domain