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Theorem cmphaushmeo 20064
Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmphaushmeo.1  |-  X  = 
U. J
cmphaushmeo.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cmphaushmeo  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmphaushmeo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 cmphaushmeo.2 . . 3  |-  Y  = 
U. K
31, 2hmeof1o 20028 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5828 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5816 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X ) )
8 f1orel 5819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Rel  F )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  Rel  F )
10 dfrel2 5457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
119, 10sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  `' `' F  =  F
)
1211imaeq1d 5336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  =  ( F " x ) )
13 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  K  e.  Haus )
15 imassrn 5348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
16 f1ofo 5823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
1716ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
18 forn 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
2015, 19syl5sseq 3552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  C_  Y )
21 simpl3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
22 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Comp )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  J  e.  Comp )
24 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) )
25 cmpcld 19696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  x )  e.  Comp )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Jt  x )  e.  Comp )
27 imacmp 19691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  x )  e.  Comp )  ->  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )
2821, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Kt  ( F "
x ) )  e. 
Comp )
292hauscmp 19701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  ( F " x )  C_  Y  /\  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )  ->  ( F " x )  e.  ( Clsd `  K
) )
3014, 20, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
3112, 30eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
3231expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
3332ralrimdva 2882 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
347, 33jcad 533 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
35 haustop 19626 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3613, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
372toptopon 19229 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3836, 37sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
39 cmptop 19689 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
4022, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
411toptopon 19229 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4240, 41sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
43 iscncl 19564 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4438, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4534, 44sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
46 simp3 998 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4745, 46jctild 543 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) ) )
48 ishmeo 20023 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
4947, 48syl6ibr 227 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  ( J Homeo K ) ) )
503, 49impbid2 204 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002   Rel wrel 5004   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ↾t crest 14676   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   Clsdccld 19311    Cn ccn 19519   Hauscha 19603   Compccmp 19680   Homeochmeo 20017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cld 19314  df-cls 19316  df-cn 19522  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-hmeo 20019
This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  21188
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