Theorem cmphaushmeo 19372

Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmphaushmeo.1	|- X = U. J
cmphaushmeo.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cmphaushmeo	|- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmphaushmeo.1	. . 3 |- X = U. J
2		cmphaushmeo.2	. . 3 |- Y = U. K
3	1, 2	hmeof1o 19336	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4		f1ocnv 5652	. . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5		f1of 5640	. . . . . . . 8 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X )
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X ) )
8		f1orel 5643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Rel F )
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> Rel F )
10		dfrel2 5287	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> `' `' F = F )
12	11	imaeq1d 5167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) = ( F " x ) )
13		simp2 989	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Haus )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> K e. Haus )
15		imassrn 5179	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " x ) C_ ran F
16		f1ofo 5647	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
17	16	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F : X -onto-> Y )
18		forn 5622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ran F = Y )
20	15, 19	syl5sseq 3403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) C_ Y )
21		simpl3 993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22		simp1 988	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Comp )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> J e. Comp )
24		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
25		cmpcld 19004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Comp /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
26	23, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
27		imacmp 18999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( J ↾t x ) e. Comp ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
28	21, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
29	2	hauscmp 19009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Haus /\ ( F " x ) C_ Y /\ ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
30	14, 20, 28, 29	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
31	12, 30	eqeltrd 2516	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
32	31	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
33	32	ralrimdva 2805	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
34	7, 33	jcad 533	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
35		haustop 18934	. . . . . . . 8 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
36	13, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
37	2	toptopon 18537	. . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
38	36, 37	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
39		cmptop 18997	. . . . . . . 8 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
40	22, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
41	1	toptopon 18537	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
42	40, 41	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
43		iscncl 18872	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
44	38, 42, 43	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
45	34, 44	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F e. ( K Cn J ) ) )
46		simp3 990	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
47	45, 46	jctild 543	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
48		ishmeo 19331	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
49	47, 48	syl6ibr 227	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> F e. ( J Homeo K ) ) )
50	3, 49	impbid2 204	1 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2714   C_ wss 3327   U.cuni 4090   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842   Rel wrel 4844   -->wf 5413   -onto->wfo 5415   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   ↾_t crest 14358   Topctop 18497  TopOnctopon 18498   Clsdccld 18619   Cn ccn 18827   Hauscha 18911   Compccmp 18988   Homeochmeo 19325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-fin 7313  df-fi 7660  df-rest 14360  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cld 18622  df-cls 18624  df-cn 18830  df-haus 18918  df-cmp 18989  df-hmeo 19327

This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  20496