MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmphaushmeo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cmphaushmeo 20892
Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmphaushmeo.1  |-  X  = 
U. J
cmphaushmeo.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cmphaushmeo  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmphaushmeo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 cmphaushmeo.2 . . 3  |-  Y  = 
U. K
31, 2hmeof1o 20856 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5840 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5828 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X ) )
8 f1orel 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Rel  F )
98ad2antll 743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  Rel  F )
10 dfrel2 5292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
119, 10sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  `' `' F  =  F
)
1211imaeq1d 5173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  =  ( F " x ) )
13 simp2 1031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
1413adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  K  e.  Haus )
15 imassrn 5185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
16 f1ofo 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
1716ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
18 forn 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
2015, 19syl5sseq 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  C_  Y )
21 simpl3 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
22 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Comp )
2322adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  J  e.  Comp )
24 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) )
25 cmpcld 20494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  x )  e.  Comp )
2623, 24, 25syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Jt  x )  e.  Comp )
27 imacmp 20489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  x )  e.  Comp )  ->  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )
2821, 26, 27syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Kt  ( F "
x ) )  e. 
Comp )
292hauscmp 20499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  ( F " x )  C_  Y  /\  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )  ->  ( F " x )  e.  ( Clsd `  K
) )
3014, 20, 28, 29syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
3112, 30eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
3231expr 626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
3332ralrimdva 2812 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
347, 33jcad 542 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
35 haustop 20424 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3613, 35syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
372toptopon 20025 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3836, 37sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
39 cmptop 20487 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
4022, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
411toptopon 20025 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4240, 41sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
43 iscncl 20362 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4438, 42, 43syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4534, 44sylibrd 242 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
46 simp3 1032 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4745, 46jctild 552 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) ) )
48 ishmeo 20851 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
4947, 48syl6ibr 235 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  ( J Homeo K ) ) )
503, 49impbid2 209 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    C_ wss 3390   U.cuni 4190   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842   Rel wrel 4844   -->wf 5585   -onto->wfo 5587   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   ↾t crest 15397   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   Clsdccld 20108    Cn ccn 20317   Hauscha 20401   Compccmp 20478   Homeochmeo 20845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-fi 7943  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cld 20111  df-cls 20113  df-cn 20320  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-hmeo 20847
This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  22031
  Copyright terms: Public domain W3C validator