Theorem cmphaushmeo 20064

Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmphaushmeo.1	|- X = U. J
cmphaushmeo.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cmphaushmeo	|- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmphaushmeo.1	. . 3 |- X = U. J
2		cmphaushmeo.2	. . 3 |- Y = U. K
3	1, 2	hmeof1o 20028	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4		f1ocnv 5828	. . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5		f1of 5816	. . . . . . . 8 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X )
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X ) )
8		f1orel 5819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Rel F )
9	8	ad2antll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> Rel F )
10		dfrel2 5457	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
11	9, 10	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> `' `' F = F )
12	11	imaeq1d 5336	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) = ( F " x ) )
13		simp2 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Haus )
14	13	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> K e. Haus )
15		imassrn 5348	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " x ) C_ ran F
16		f1ofo 5823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
17	16	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F : X -onto-> Y )
18		forn 5798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ran F = Y )
20	15, 19	syl5sseq 3552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) C_ Y )
21		simpl3 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22		simp1 996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Comp )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> J e. Comp )
24		simprl 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
25		cmpcld 19696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Comp /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
26	23, 24, 25	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
27		imacmp 19691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( J ↾t x ) e. Comp ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
28	21, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
29	2	hauscmp 19701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Haus /\ ( F " x ) C_ Y /\ ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
30	14, 20, 28, 29	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
31	12, 30	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
32	31	expr 615	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
33	32	ralrimdva 2882	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
34	7, 33	jcad 533	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
35		haustop 19626	. . . . . . . 8 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
36	13, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
37	2	toptopon 19229	. . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
38	36, 37	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
39		cmptop 19689	. . . . . . . 8 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
40	22, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
41	1	toptopon 19229	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
42	40, 41	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
43		iscncl 19564	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
44	38, 42, 43	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
45	34, 44	sylibrd 234	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F e. ( K Cn J ) ) )
46		simp3 998	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
47	45, 46	jctild 543	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
48		ishmeo 20023	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
49	47, 48	syl6ibr 227	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> F e. ( J Homeo K ) ) )
50	3, 49	impbid2 204	1 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   C_ wss 3476   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   ran crn 5000   "cima 5002   Rel wrel 5004   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ↾_t crest 14676   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   Clsdccld 19311   Cn ccn 19519   Hauscha 19603   Compccmp 19680   Homeochmeo 20017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520  df-fi 7871  df-rest 14678  df-topgen 14699  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-cld 19314  df-cls 19316  df-cn 19522  df-haus 19610  df-cmp 19681  df-hmeo 20019

This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  21188