Theorem cmphaushmeo 17785

Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmphaushmeo.1	|- X = U. J
cmphaushmeo.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cmphaushmeo	|- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmphaushmeo.1	. . 3 |- X = U. J
2		cmphaushmeo.2	. . 3 |- Y = U. K
3	1, 2	hmeof1o 17749	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4		f1ocnv 5646	. . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5		f1of 5633	. . . . . . . 8 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . 7 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X )
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X ) )
8		f1orel 5636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Rel F )
9	8	ad2antll 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> Rel F )
10		dfrel2 5280	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
11	9, 10	sylib 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> `' `' F = F )
12	11	imaeq1d 5161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) = ( F " x ) )
13		simp2 958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Haus )
14	13	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> K e. Haus )
15		imassrn 5175	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " x ) C_ ran F
16		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
17	16	ad2antll 710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F : X -onto-> Y )
18		forn 5615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ran F = Y )
20	15, 19	syl5sseq 3356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) C_ Y )
21		simpl3 962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22		simp1 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Comp )
23	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> J e. Comp )
24		simprl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
25		cmpcld 17419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Comp /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
26	23, 24, 25	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
27		imacmp 17414	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( J ↾t x ) e. Comp ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
28	21, 26, 27	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
29	2	hauscmp 17424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Haus /\ ( F " x ) C_ Y /\ ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
30	14, 20, 28, 29	syl3anc 1184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
31	12, 30	eqeltrd 2478	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
32	31	expr 599	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
33	32	ralrimdva 2756	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
34	7, 33	jcad 520	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
35		haustop 17349	. . . . . . . 8 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
36	13, 35	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
37	2	toptopon 16953	. . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
38	36, 37	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
39		cmptop 17412	. . . . . . . 8 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
40	22, 39	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
41	1	toptopon 16953	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
42	40, 41	sylib 189	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
43		iscncl 17287	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
44	38, 42, 43	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
45	34, 44	sylibrd 226	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F e. ( K Cn J ) ) )
46		simp3 959	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
47	45, 46	jctild 528	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
48		ishmeo 17744	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
49	47, 48	syl6ibr 219	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> F e. ( J Homeo K ) ) )
50	3, 49	impbid2 196	1 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   C_ wss 3280   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840   Rel wrel 4842   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾_t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035   Cn ccn 17242   Hauscha 17326   Compccmp 17403   Homeo chmeo 17738

This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  18904

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cls 17040  df-cn 17245  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-hmeo 17740