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Theorem cmphaushmeo 19372
Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmphaushmeo.1  |-  X  = 
U. J
cmphaushmeo.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cmphaushmeo  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmphaushmeo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 cmphaushmeo.2 . . 3  |-  Y  = 
U. K
31, 2hmeof1o 19336 . 2  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5652 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5640 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X ) )
8 f1orel 5643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Rel  F )
98ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  Rel  F )
10 dfrel2 5287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
119, 10sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  `' `' F  =  F
)
1211imaeq1d 5167 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  =  ( F " x ) )
13 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  K  e.  Haus )
15 imassrn 5179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
16 f1ofo 5647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
1716ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
18 forn 5622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
2015, 19syl5sseq 3403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  C_  Y )
21 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
22 simp1 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Comp )
2322adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  J  e.  Comp )
24 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) )
25 cmpcld 19004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  x )  e.  Comp )
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Jt  x )  e.  Comp )
27 imacmp 18999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  x )  e.  Comp )  ->  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )
2821, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Kt  ( F "
x ) )  e. 
Comp )
292hauscmp 19009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  ( F " x )  C_  Y  /\  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )  ->  ( F " x )  e.  ( Clsd `  K
) )
3014, 20, 28, 29syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
3112, 30eqeltrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
3231expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
3332ralrimdva 2805 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
347, 33jcad 533 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
35 haustop 18934 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3613, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
372toptopon 18537 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3836, 37sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
39 cmptop 18997 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
4022, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
411toptopon 18537 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4240, 41sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
43 iscncl 18872 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4438, 42, 43syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4534, 44sylibrd 234 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
46 simp3 990 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4745, 46jctild 543 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) ) )
48 ishmeo 19331 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
4947, 48syl6ibr 227 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  ( J Homeo K ) ) )
503, 49impbid2 204 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J Homeo K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714    C_ wss 3327   U.cuni 4090   `'ccnv 4838   ran crn 4840   "cima 4842   Rel wrel 4844   -->wf 5413   -onto->wfo 5415   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   ↾t crest 14358   Topctop 18497  TopOnctopon 18498   Clsdccld 18619    Cn ccn 18827   Hauscha 18911   Compccmp 18988   Homeochmeo 19325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-fin 7313  df-fi 7660  df-rest 14360  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cld 18622  df-cls 18624  df-cn 18830  df-haus 18918  df-cmp 18989  df-hmeo 19327
This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  20496
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