Theorem cmphaushmeo 20750

Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmphaushmeo.1	|- X = U. J
cmphaushmeo.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cmphaushmeo	|- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmphaushmeo.1	. . 3 |- X = U. J
2		cmphaushmeo.2	. . 3 |- Y = U. K
3	1, 2	hmeof1o 20714	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4		f1ocnv 5843	. . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5		f1of 5831	. . . . . . . 8 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X )
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X ) )
8		f1orel 5834	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Rel F )
9	8	ad2antll 733	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> Rel F )
10		dfrel2 5306	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
11	9, 10	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> `' `' F = F )
12	11	imaeq1d 5187	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) = ( F " x ) )
13		simp2 1006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Haus )
14	13	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> K e. Haus )
15		imassrn 5199	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " x ) C_ ran F
16		f1ofo 5838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
17	16	ad2antll 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F : X -onto-> Y )
18		forn 5813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ran F = Y )
20	15, 19	syl5sseq 3518	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) C_ Y )
21		simpl3 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22		simp1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Comp )
23	22	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> J e. Comp )
24		simprl 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
25		cmpcld 20352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Comp /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
26	23, 24, 25	syl2anc 665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
27		imacmp 20347	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( J ↾t x ) e. Comp ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
28	21, 26, 27	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
29	2	hauscmp 20357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Haus /\ ( F " x ) C_ Y /\ ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
30	14, 20, 28, 29	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
31	12, 30	eqeltrd 2517	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
32	31	expr 618	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
33	32	ralrimdva 2850	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
34	7, 33	jcad 535	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
35		haustop 20282	. . . . . . . 8 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
36	13, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
37	2	toptopon 19883	. . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
38	36, 37	sylib 199	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
39		cmptop 20345	. . . . . . . 8 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
40	22, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
41	1	toptopon 19883	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
42	40, 41	sylib 199	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
43		iscncl 20220	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
44	38, 42, 43	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
45	34, 44	sylibrd 237	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F e. ( K Cn J ) ) )
46		simp3 1007	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
47	45, 46	jctild 545	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
48		ishmeo 20709	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
49	47, 48	syl6ibr 230	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> F e. ( J Homeo K ) ) )
50	3, 49	impbid2 207	1 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   C_ wss 3442   U.cuni 4222   `'ccnv 4853   ran crn 4855   "cima 4857   Rel wrel 4859   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ↾_t crest 15282   Topctop 19852  TopOnctopon 19853   Clsdccld 19966   Cn ccn 20175   Hauscha 20259   Compccmp 20336   Homeochmeo 20703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581  df-fi 7931  df-rest 15284  df-topgen 15305  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-cld 19969  df-cls 19971  df-cn 20178  df-haus 20266  df-cmp 20337  df-hmeo 20705

This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  21853