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Theorem cmphaushmeo 17785
Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmphaushmeo.1  |-  X  = 
U. J
cmphaushmeo.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
cmphaushmeo  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmphaushmeo.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
2 cmphaushmeo.2 . . 3  |-  Y  = 
U. K
31, 2hmeof1o 17749 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  ->  F : X
-1-1-onto-> Y )
4 f1ocnv 5646 . . . . . . . 8  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y -1-1-onto-> X )
5 f1of 5633 . . . . . . . 8  |-  ( `' F : Y -1-1-onto-> X  ->  `' F : Y --> X )
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F : Y --> X ) )
8 f1orel 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  Rel  F )
98ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  Rel  F )
10 dfrel2 5280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
F  <->  `' `' F  =  F
)
119, 10sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  `' `' F  =  F
)
1211imaeq1d 5161 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  =  ( F " x ) )
13 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Haus )
1413adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  K  e.  Haus )
15 imassrn 5175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F
" x )  C_  ran  F
16 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F : X -onto-> Y )
1716ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F : X -onto-> Y )
18 forn 5615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -onto-> Y  ->  ran  F  =  Y )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  ran  F  =  Y )
2015, 19syl5sseq 3356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  C_  Y )
21 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
22 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Comp )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  J  e.  Comp )
24 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J ) )
25 cmpcld 17419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  x )  e.  Comp )
2623, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Jt  x )  e.  Comp )
27 imacmp 17414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  x )  e.  Comp )  ->  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )
2821, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( Kt  ( F "
x ) )  e. 
Comp )
292hauscmp 17424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  ( F " x )  C_  Y  /\  ( Kt  ( F
" x ) )  e.  Comp )  ->  ( F " x )  e.  ( Clsd `  K
) )
3014, 20, 28, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( F " x
)  e.  ( Clsd `  K ) )
3112, 30eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  (
x  e.  ( Clsd `  J )  /\  F : X -1-1-onto-> Y ) )  -> 
( `' `' F " x )  e.  (
Clsd `  K )
)
3231expr 599 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
3332ralrimdva 2756 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  A. x  e.  ( Clsd `  J
) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) )
347, 33jcad 520 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
35 haustop 17349 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Haus  ->  K  e. 
Top )
3613, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  Top )
372toptopon 16953 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3836, 37sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
39 cmptop 17412 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
4022, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
411toptopon 16953 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4240, 41sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
43 iscncl 17287 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  J  e.  (TopOn `  X )
)  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4438, 42, 43syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( `' F  e.  ( K  Cn  J )  <->  ( `' F : Y --> X  /\  A. x  e.  ( Clsd `  J ) ( `' `' F " x )  e.  ( Clsd `  K
) ) ) )
4534, 44sylibrd 226 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
46 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
4745, 46jctild 528 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) ) )
48 ishmeo 17744 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  /\  `' F  e.  ( K  Cn  J
) ) )
4947, 48syl6ibr 219 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X -1-1-onto-> Y  ->  F  e.  ( J  Homeo  K ) ) )
503, 49impbid2 196 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  K  e.  Haus  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F  e.  ( J  Homeo  K )  <->  F : X
-1-1-onto-> Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    C_ wss 3280   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   ran crn 4838   "cima 4840   Rel wrel 4842   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   ↾t crest 13603   Topctop 16913  TopOnctopon 16914   Clsdccld 17035    Cn ccn 17242   Hauscha 17326   Compccmp 17403    Homeo chmeo 17738
This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  18904
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-fin 7072  df-fi 7374  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-cls 17040  df-cn 17245  df-haus 17333  df-cmp 17404  df-hmeo 17740
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