Theorem cmphaushmeo 20815

Description: A continuous bijection from a compact space to a Hausdorff space is a homeomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmphaushmeo.1	|- X = U. J
cmphaushmeo.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cmphaushmeo	|- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Proof of Theorem cmphaushmeo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmphaushmeo.1	. . 3 |- X = U. J
2		cmphaushmeo.2	. . 3 |- Y = U. K
3	1, 2	hmeof1o 20779	. 2 |- ( F e. ( J Homeo K ) -> F : X -1-1-onto-> Y )
4		f1ocnv 5826	. . . . . . . 8 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y -1-1-onto-> X )
5		f1of 5814	. . . . . . . 8 |- ( `' F : Y -1-1-onto-> X -> `' F : Y --> X )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X )
7	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F : Y --> X ) )
8		f1orel 5817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> Rel F )
9	8	ad2antll 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> Rel F )
10		dfrel2 5286	. . . . . . . . . . 11 |- ( Rel F <-> `' `' F = F )
11	9, 10	sylib 200	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> `' `' F = F )
12	11	imaeq1d 5167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) = ( F " x ) )
13		simp2 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Haus )
14	13	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> K e. Haus )
15		imassrn 5179	. . . . . . . . . . 11 |- ( F " x ) C_ ran F
16		f1ofo 5821	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X -1-1-onto-> Y -> F : X -onto-> Y )
17	16	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F : X -onto-> Y )
18		forn 5796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : X -onto-> Y -> ran F = Y )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ran F = Y )
20	15, 19	syl5sseq 3480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) C_ Y )
21		simpl3 1013	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
22		simp1 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Comp )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> J e. Comp )
24		simprl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> x e. ( Clsd ` J ) )
25		cmpcld 20417	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Comp /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
26	23, 24, 25	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( J ↾t x ) e. Comp )
27		imacmp 20412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( J Cn K ) /\ ( J ↾t x ) e. Comp ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
28	21, 26, 27	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp )
29	2	hauscmp 20422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. Haus /\ ( F " x ) C_ Y /\ ( K ↾t ( F " x ) ) e. Comp ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
30	14, 20, 28, 29	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
31	12, 30	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ ( x e. ( Clsd ` J ) /\ F : X -1-1-onto-> Y ) ) -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) )
32	31	expr 620	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
33	32	ralrimdva 2806	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) )
34	7, 33	jcad 536	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
35		haustop 20347	. . . . . . . 8 |- ( K e. Haus -> K e. Top )
36	13, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. Top )
37	2	toptopon 19948	. . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
38	36, 37	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
39		cmptop 20410	. . . . . . . 8 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
40	22, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. Top )
41	1	toptopon 19948	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
42	40, 41	sylib 200	. . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
43		iscncl 20285	. . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ J e. (TopOn ` X ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
44	38, 42, 43	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( `' F e. ( K Cn J ) <-> ( `' F : Y --> X /\ A. x e. ( Clsd ` J ) ( `' `' F " x ) e. ( Clsd ` K ) ) ) )
45	34, 44	sylibrd 238	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> `' F e. ( K Cn J ) ) )
46		simp3 1010	. . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> F e. ( J Cn K ) )
47	45, 46	jctild 546	. . 3 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) ) )
48		ishmeo 20774	. . 3 |- ( F e. ( J Homeo K ) <-> ( F e. ( J Cn K ) /\ `' F e. ( K Cn J ) ) )
49	47, 48	syl6ibr 231	. 2 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F : X -1-1-onto-> Y -> F e. ( J Homeo K ) ) )
50	3, 49	impbid2 208	1 |- ( ( J e. Comp /\ K e. Haus /\ F e. ( J Cn K ) ) -> ( F e. ( J Homeo K ) <-> F : X -1-1-onto-> Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   C_ wss 3404   U.cuni 4198   `'ccnv 4833   ran crn 4835   "cima 4837   Rel wrel 4839   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ↾_t crest 15319   Topctop 19917  TopOnctopon 19918   Clsdccld 20031   Cn ccn 20240   Hauscha 20324   Compccmp 20401   Homeochmeo 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-fi 7925  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034  df-cls 20036  df-cn 20243  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-hmeo 20770

This theorem is referenced by:  cncfcnvcn  21953