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Theorem cmpfi 19702
Description: If a topology is compact and a collection of closed sets has the finite intersection property, its intersection is nonempty. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpfi  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem cmpfi
Dummy variables  r 
v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4019 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P J  -> 
y  C_  J )
2 0ss 3814 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  y
3 0fin 7747 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
4 elfpw 7822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  C_  y  /\  (/)  e.  Fin )
)
52, 3, 4mpbir2an 918 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
6 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. J  =  U. y )
7 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  -> 
y  =  (/) )
87unieqd 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. y  =  U. (/) )
96, 8eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. J  =  U. (/) )
10 unieq 4253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
1110eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( U. J  =  U. z  <->  U. J  =  U. (/) ) )
1211rspcev 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
135, 9, 12sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
1413expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z ) )
15 vn0 3792 . . . . . . . . . 10  |-  _V  =/=  (/)
16 iineq1 4340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  = 
|^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r
) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r ) )
18 0iin 4383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r )  =  _V
1917, 18syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  _V )
2019eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  _V  =  (/) ) )
2120necon3bbid 2714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( -.  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/) 
<->  _V  =/=  (/) ) )
2215, 21mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  -.  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/) )
2322pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  -> 
(/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) ) ) )
2414, 232thd 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
25 uniss 4266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  J  ->  U. y  C_ 
U. J )
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  U. y  C_  U. J
)
27 eqss 3519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. y  =  U. J  <->  ( U. y  C_  U. J  /\  U. J  C_  U. y
) )
2827baib 901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  C_  U. J  -> 
( U. y  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. y ) )
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. y  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. y ) )
30 eqcom 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  =  U. J  <->  U. J  = 
U. y )
31 ssdif0 3885 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  C_  U. y  <->  ( U. J  \  U. y )  =  (/) )
3229, 30, 313bitr3g 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  <->  ( U. J  \  U. y )  =  (/) ) )
33 iindif2 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  y  r
) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U_ r  e.  y  r ) )
35 uniiun 4378 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. y  =  U_ r  e.  y  r
3635difeq2i 3619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  \  U. y )  =  ( U. J  \ 
U_ r  e.  y  r )
3734, 36syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U. y ) )
3837eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  ( U. J  \  U. y
)  =  (/) ) )
3932, 38bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  <->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/) ) )
40 imassrn 5348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  C_  ran  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
41 df-ima 5012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =  ran  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  y )
42 resmpt 5323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  J  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  y )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  y )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
4443rneqd 5230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  ran  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4541, 44syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4740, 46syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
48 funmpt 5624 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )
49 elfpw 7822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  y  /\  z  e. 
Fin ) )
5049simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
z  e.  Fin )
52 imafi 7813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  /\  z  e.  Fin )  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  Fin )
5348, 51, 52sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  Fin )
54 elfpw 7822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin )  <->  ( (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  /\  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  e.  Fin ) )
5547, 53, 54sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin ) )
56 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
5756topopn 19210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
58 difexg 4595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. J  e.  J  ->  ( U. J  \  r
)  e.  _V )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  r
)  e.  _V )
6059ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  A. r  e.  y  ( U. J  \  r )  e. 
_V )
61 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
6261fnmpt 5707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. r  e.  y  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )  Fn  y
)
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )  Fn  y
)
6463ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  Fn  y )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin ) )
66 elfpw 7822 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( ~P (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  i^i  Fin ) 
<->  ( w  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  /\  w  e.  Fin ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( w  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  /\  w  e.  Fin ) )
6867simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
6945ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =  ran  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
7068, 69sseqtrd 3540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
7167simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  Fin )
72 fipreima 7826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  Fn  y  /\  w  C_  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  /\  w  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  =  w )
7364, 70, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  w )
74 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  w  <-> 
w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) )
7574rexbii 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  w  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) )
7673, 75sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  w  =  ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z ) )
7877inteqd 4287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  |^| w  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
7978eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  ( (/)  =  |^| w 
<->  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) ) )
8055, 76, 79rexxfrd 4662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
81 0ex 4577 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
82 imassrn 5348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  C_  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
83 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
8456, 83opncldf1 19379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J
)  /\  `' (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) )  =  ( v  e.  ( Clsd `  J )  |->  ( U. J  \  v ) ) ) )
8584simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J ) )
86 f1ofo 5823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J )  -> 
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) : J -onto-> ( Clsd `  J
) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )
)
88 forn 5798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )  ->  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( Clsd `  J
) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  =  ( Clsd `  J
) )
9082, 89syl5sseq 3552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  C_  ( Clsd `  J ) )
91 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
9291elpw2 4611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )  <->  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  C_  ( Clsd `  J ) )
9390, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)
95 elfi 7873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)  ->  ( (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w ) )
9681, 94, 95sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w
) )
97 inundif 3905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  =  ( ~P y  i^i 
Fin )
9897rexeqi 3063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
99 rexun 3684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) U. J  =  U. z  <->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
10098, 99bitr3i 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z 
<->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
101 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
102101sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
z  e.  { (/) } )
103 elsni 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { (/) }  ->  z  =  (/) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
z  =  (/) )
105104unieqd 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  ->  U. z  =  U. (/) )
106 uni0 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. (/)  =  (/)
107105, 106syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  ->  U. z  =  (/) )
108107eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  U. J  =  (/) ) )
109108biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
( U. J  = 
U. z  ->  U. J  =  (/) ) )
110109rexlimiv 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } ) U. J  =  U. z  ->  U. J  =  (/) )
111 ssid 3523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  C_  y
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  C_  y
)
113 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  =  (/) )
114 0ss 3814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (/)  C_  U. y
115113, 114syl6eqss 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  C_  U. y
)
11625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  C_  U. J
)
117115, 116eqssd 3521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  =  U. y )
118117, 113eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  =  (/) )
119118, 3syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  e.  Fin )
120 pwfi 7815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U. y  e.  Fin  <->  ~P U. y  e.  Fin )
121119, 120sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  ~P U. y  e.  Fin )
122 pwuni 4678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  C_  ~P U. y
123 ssfi 7740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ~P U. y  e. 
Fin  /\  y  C_  ~P U. y )  -> 
y  e.  Fin )
124121, 122, 123sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  Fin )
125 elfpw 7822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  y  /\  y  e. 
Fin ) )
126112, 124, 125sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
127 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  =/=  (/) )
128 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  y  =/=  (/) ) )
129126, 127, 128sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )
130 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
131130eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  ( U. J  =  U. z 
<-> 
U. J  =  U. y ) )
132131rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  U. J  = 
U. y )  ->  E. z  e.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z )
133129, 117, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z )
134133expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  =  (/)  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
135110, 134syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
136 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
137135, 136jaod 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
)  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
138 olc 384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z  ->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
139137, 138impbid1 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
)  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
140100, 139syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
141 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
143142, 49sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( z  C_  y  /\  z  e.  Fin ) )
144143simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  C_  y )
145 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
y  C_  J )
146144, 145sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  C_  J )
147146unissd 4269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  U. z  C_  U. J
)
148 eqss 3519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. z  =  U. J  <->  ( U. z  C_  U. J  /\  U. J  C_  U. z
) )
149148baib 901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. z  C_  U. J  -> 
( U. z  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. z ) )
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. z  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. z ) )
151 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. z  =  U. J  <->  U. J  = 
U. z )
152 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  C_  U. z  <->  ( U. J  \  U. z )  =  (/) )
153 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. J  \  U. z )  =  (/)  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) )
154152, 153bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. J  C_  U. z  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) )
155150, 151, 1543bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) ) )
156 df-ima 5012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  ran  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  z )
157 resmpt 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z 
C_  y  ->  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  z )  =  ( r  e.  z  |->  ( U. J  \  r
) ) )
158144, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  z )  =  ( r  e.  z  |->  ( U. J  \  r
) ) )
159158rneqd 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  ran  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  z )  =  ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
160156, 159syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
161160inteqd 4287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
16259ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  Top  ->  A. r  e.  z  ( U. J  \  r )  e. 
_V )
163162ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  A. r  e.  z 
( U. J  \ 
r )  e.  _V )
164 dfiin3g 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. r  e.  z  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
166 eldifsn 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )
167166simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
z  =/=  (/) )
168167adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  =/=  (/) )
169 iindif2 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  (/)  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r
) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r ) )
171161, 165, 1703eqtr2d 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r
) )
172 uniiun 4378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. z  =  U_ r  e.  z  r
173172difeq2i 3619 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  \  U. z )  =  ( U. J  \ 
U_ r  e.  z  r )
174171, 173syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ( U. J  \  U. z ) )
175174eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( (/)  =  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) ) )
176155, 175bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
177176rexbidva 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
178140, 177bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
179 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " (/) ) )
180 ima0 5352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " (/) )  =  (/)
181179, 180syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  (/) )
182181inteqd 4287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  |^| (/) )
183 int0 4296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  |^| (/)  =  _V
184182, 183syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  _V )
185184neeq1d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  (/)  ->  ( |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =/=  (/)  <->  _V  =/=  (/) ) )
18615, 185mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =/=  (/) )
187186necomd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  (/)  ->  (/)  =/=  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
188187necon2i 2710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  -> 
z  =/=  (/) )
189166rbaibr 903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  <->  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
190188, 189syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  -> 
( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) ) )
191190pm5.32ri 638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  (/)  =  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z ) )  <->  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  /\  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
192191rexbii2 2963 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
193178, 192syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
19480, 96, 1933bitr4rd 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
19539, 194imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
19624, 195pm2.61dane 2785 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
19760adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  A. r  e.  y 
( U. J  \ 
r )  e.  _V )
198 dfiin3g 5256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. r  e.  y  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
199197, 198syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
20045inteqd 4287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
201199, 200eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
202201eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  (/) ) )
203 nne 2668 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
|^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =/=  (/) 
<-> 
|^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =  (/) )
204202, 203syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) )
205204imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )  <->  ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
206196, 205bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
207 con1b 333 . . . . 5  |-  ( ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )  <->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  |^| (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  =/=  (/) ) )
208206, 207syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
2091, 208sylan2 474 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
210209ralbidva 2900 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  A. y  e.  ~P  J ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
21156iscmp 19682 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
212211baib 901 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
21393adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  e.  ~P ( Clsd `  J ) )
214 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  J  e.  Top )
215 funmpt 5624 . . . . . 6  |-  Fun  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) )
216215a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  Fun  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) )
217 elpwi 4019 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  x  C_  ( Clsd `  J
) )
218 foima 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )  ->  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) " J )  =  (
Clsd `  J )
)
21987, 218syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) " J )  =  (
Clsd `  J )
)
220219sseq2d 3532 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  C_  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " J
)  <->  x  C_  ( Clsd `  J ) ) )
221217, 220syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  x  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" J ) ) )
222221imp 429 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) " J ) )
223 ssimaexg 5933 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Fun  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  /\  x  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" J ) )  ->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
224214, 216, 222, 223syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
225 df-rex 2820 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~P  J x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  <->  E. y ( y  e.  ~P J  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) )
226 selpw 4017 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P J  <->  y  C_  J )
227226anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P J  /\  x  =  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )  <->  ( y  C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) ) )
228227exbii 1644 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e. 
~P J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )  <->  E. y ( y  C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) ) )
229225, 228bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~P  J x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  <->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
230224, 229sylibr 212 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  E. y  e.  ~P  J x  =  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
231 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )
232231fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( fi `  x )  =  ( fi `  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) ) )
233232eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  x )  <->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
234233notbid 294 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  x )  <->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
235231inteqd 4287 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  |^| x  =  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )
236235neeq1d 2744 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( |^| x  =/=  (/)  <->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =/=  (/) ) )
237234, 236imbi12d 320 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  (
( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
238213, 230, 237ralxfrd 4661 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J )
( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) )  <->  A. y  e.  ~P  J ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
239210, 212, 2383bitr4d 285 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245   |^|cint 4282   U_ciun 4325   |^|_ciin 4326    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   Fincfn 7516   ficfi 7870   Topctop 19189   Clsdccld 19311   Compccmp 19680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-top 19194  df-cld 19314  df-cmp 19681
This theorem is referenced by:  cmpfii  19703  fclscmp  20294  heibor1lem  29936
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