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Theorem cmpfi 19886
Description: If a topology is compact and a collection of closed sets has the finite intersection property, its intersection is nonempty. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
cmpfi  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) ) ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem cmpfi
Dummy variables  r 
v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4006 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P J  -> 
y  C_  J )
2 0ss 3800 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  y
3 0fin 7749 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  Fin
4 elfpw 7824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  <->  ( (/)  C_  y  /\  (/)  e.  Fin )
)
52, 3, 4mpbir2an 920 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
6 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. J  =  U. y )
7 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  -> 
y  =  (/) )
87unieqd 4244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. y  =  U. (/) )
96, 8eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  U. J  =  U. (/) )
10 unieq 4242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  (/)  ->  U. z  =  U. (/) )
1110eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( U. J  =  U. z  <->  U. J  =  U. (/) ) )
1211rspcev 3196 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. (/) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
135, 9, 12sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =  (/)  /\ 
U. J  =  U. y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
1413expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z ) )
15 vn0 3778 . . . . . . . . . 10  |-  _V  =/=  (/)
16 iineq1 4330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  = 
|^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r
) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r ) )
18 0iin 4373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  |^|_ r  e.  (/)  ( U. J  \  r )  =  _V
1917, 18syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  _V )
2019eqeq1d 2445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  _V  =  (/) ) )
2120necon3bbid 2690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( -.  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/) 
<->  _V  =/=  (/) ) )
2215, 21mpbiri 233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  ->  -.  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/) )
2322pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  -> 
(/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) ) ) )
2414, 232thd 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =  (/) )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
25 uniss 4255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  J  ->  U. y  C_ 
U. J )
2625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  U. y  C_  U. J
)
27 eqss 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. y  =  U. J  <->  ( U. y  C_  U. J  /\  U. J  C_  U. y
) )
2827baib 903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  C_  U. J  -> 
( U. y  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. y ) )
2926, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. y  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. y ) )
30 eqcom 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  =  U. J  <->  U. J  = 
U. y )
31 ssdif0 3871 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. J  C_  U. y  <->  ( U. J  \  U. y )  =  (/) )
3229, 30, 313bitr3g 287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  <->  ( U. J  \  U. y )  =  (/) ) )
33 iindif2 4384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =/=  (/)  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  y  r
) )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U_ r  e.  y  r ) )
35 uniiun 4368 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. y  =  U_ r  e.  y  r
3635difeq2i 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  \  U. y )  =  ( U. J  \ 
U_ r  e.  y  r )
3734, 36syl6eqr 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U. y ) )
3837eqeq1d 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  ( U. J  \  U. y
)  =  (/) ) )
3932, 38bitr4d 256 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  = 
U. y  <->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/) ) )
40 imassrn 5338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  C_  ran  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
41 df-ima 5002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =  ran  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  y )
42 resmpt 5313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  J  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  y )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  y )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
4443rneqd 5220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  ran  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4541, 44syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4645ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
4740, 46syl5sseqr 3538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
48 funmpt 5614 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )
49 elfpw 7824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( z  C_  y  /\  z  e. 
Fin ) )
5049simprbi 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
5150adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
z  e.  Fin )
52 imafi 7815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  /\  z  e.  Fin )  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  Fin )
5348, 51, 52sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  Fin )
54 elfpw 7824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin )  <->  ( (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  /\  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  e.  Fin ) )
5547, 53, 54sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin ) )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. J  =  U. J
5756topopn 19393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  J )
58 difexg 4585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. J  e.  J  ->  ( U. J  \  r
)  e.  _V )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  ( U. J  \  r
)  e.  _V )
6059ralrimivw 2858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  A. r  e.  y  ( U. J  \  r )  e. 
_V )
61 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
6261fnmpt 5697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. r  e.  y  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )  Fn  y
)
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) )  Fn  y
)
6463ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  Fn  y )
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  i^i 
Fin ) )
66 elfpw 7824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  ( ~P (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  i^i  Fin ) 
<->  ( w  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  /\  w  e.  Fin ) )
6765, 66sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( w  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  /\  w  e.  Fin ) )
6867simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
6945ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =  ran  (
r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) )
7068, 69sseqtrd 3525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  C_  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
7167simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  w  e.  Fin )
72 fipreima 7828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  Fn  y  /\  w  C_  ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  /\  w  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  =  w )
7364, 70, 71, 72syl3anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  w )
74 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  w  <-> 
w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) )
7574rexbii 2945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  w  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) )
7673, 75sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin )
)  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  w  =  ( ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z ) )
7877inteqd 4276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  |^| w  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
7978eqeq2d 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  w  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z ) )  ->  ( (/)  =  |^| w 
<->  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
) ) )
8055, 76, 79rexxfrd 4652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
81 0ex 4567 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  _V
82 imassrn 5338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  C_  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
83 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
8456, 83opncldf1 19563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J
)  /\  `' (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) )  =  ( v  e.  ( Clsd `  J )  |->  ( U. J  \  v ) ) ) )
8584simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J ) )
86 f1ofo 5813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -1-1-onto-> ( Clsd `  J )  -> 
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) : J -onto-> ( Clsd `  J
) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )
)
88 forn 5788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )  ->  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )  =  ( Clsd `  J
) )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  ran  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  =  ( Clsd `  J
) )
9082, 89syl5sseq 3537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  C_  ( Clsd `  J ) )
91 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Clsd `  J )  e.  _V
9291elpw2 4601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )  <->  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  C_  ( Clsd `  J ) )
9390, 92sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)
95 elfi 7875 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  e.  ~P ( Clsd `  J )
)  ->  ( (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w ) )
9681, 94, 95sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )  <->  E. w  e.  ( ~P ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  i^i  Fin ) (/)  =  |^| w
) )
97 inundif 3892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )  =  ( ~P y  i^i 
Fin )
9897rexeqi 3045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )
99 rexun 3669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} )  u.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) ) U. J  =  U. z  <->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
10098, 99bitr3i 251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z 
<->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
101 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } ) 
C_  { (/) }
102101sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
z  e.  { (/) } )
103 elsni 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  { (/) }  ->  z  =  (/) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
z  =  (/) )
105104unieqd 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  ->  U. z  =  U. (/) )
106 uni0 4261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. (/)  =  (/)
107105, 106syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  ->  U. z  =  (/) )
108107eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  U. J  =  (/) ) )
109108biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } )  -> 
( U. J  = 
U. z  ->  U. J  =  (/) ) )
110109rexlimiv 2929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/) } ) U. J  =  U. z  ->  U. J  =  (/) )
111 ssid 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  C_  y
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  C_  y
)
113 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  =  (/) )
114 0ss 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  (/)  C_  U. y
115113, 114syl6eqss 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  C_  U. y
)
11625ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  C_  U. J
)
117115, 116eqssd 3506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. J  =  U. y )
118117, 113eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  =  (/) )
119118, 3syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  U. y  e.  Fin )
120 pwfi 7817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( U. y  e.  Fin  <->  ~P U. y  e.  Fin )
121119, 120sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  ~P U. y  e.  Fin )
122 pwuni 4668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  y  C_  ~P U. y
123 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ~P U. y  e. 
Fin  /\  y  C_  ~P U. y )  -> 
y  e.  Fin )
124121, 122, 123sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  Fin )
125 elfpw 7824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( y  C_  y  /\  y  e. 
Fin ) )
126112, 124, 125sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
127 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  =/=  (/) )
128 eldifsn 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  y  =/=  (/) ) )
129126, 127, 128sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  y  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) )
130 unieq 4242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  y  ->  U. z  =  U. y )
131130eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  y  ->  ( U. J  =  U. z 
<-> 
U. J  =  U. y ) )
132131rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  U. J  = 
U. y )  ->  E. z  e.  (
( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z )
133129, 117, 132syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  ( y  =/=  (/)  /\  U. J  =  (/) ) )  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z )
134133expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( U. J  =  (/)  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
135110, 134syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
136 idd 24 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
137135, 136jaod 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
)  ->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
138 olc 384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z  ->  ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
) )
139137, 138impbid1 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  i^i  { (/)
} ) U. J  =  U. z  \/  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) U. J  =  U. z
)  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
140100, 139syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z ) )
141 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
143142, 49sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( z  C_  y  /\  z  e.  Fin ) )
144143simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  C_  y )
145 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
y  C_  J )
146144, 145sstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  C_  J )
147146unissd 4258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  U. z  C_  U. J
)
148 eqss 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. z  =  U. J  <->  ( U. z  C_  U. J  /\  U. J  C_  U. z
) )
149148baib 903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. z  C_  U. J  -> 
( U. z  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. z ) )
150147, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. z  = 
U. J  <->  U. J  C_  U. z ) )
151 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. z  =  U. J  <->  U. J  = 
U. z )
152 ssdif0 3871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  C_  U. z  <->  ( U. J  \  U. z )  =  (/) )
153 eqcom 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. J  \  U. z )  =  (/)  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) )
154152, 153bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. J  C_  U. z  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) )
155150, 151, 1543bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) ) )
156 df-ima 5002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  ran  (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) )  |`  z )
157144resmptd 5315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  z )  =  ( r  e.  z  |->  ( U. J  \  r
) ) )
158157rneqd 5220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  ran  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )  |`  z )  =  ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
159156, 158syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
160159inteqd 4276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
16159ralrimivw 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  Top  ->  A. r  e.  z  ( U. J  \  r )  e. 
_V )
162161ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  A. r  e.  z 
( U. J  \ 
r )  e.  _V )
163 dfiin3g 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. r  e.  z  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
164162, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  z 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
165 eldifsn 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  /\  z  =/=  (/) ) )
166165simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } )  -> 
z  =/=  (/) )
167166adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
z  =/=  (/) )
168 iindif2 4384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  (/)  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r
) )
169167, 168syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^|_ r  e.  z  ( U. J  \  r
)  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r ) )
170160, 164, 1693eqtr2d 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ( U. J  \  U_ r  e.  z  r
) )
171 uniiun 4368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. z  =  U_ r  e.  z  r
172171difeq2i 3604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. J  \  U. z )  =  ( U. J  \ 
U_ r  e.  z  r )
173170, 172syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  ->  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =  ( U. J  \  U. z ) )
174173eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( (/)  =  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  <->  (/)  =  ( U. J  \  U. z ) ) )
175155, 174bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  /\  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) )  -> 
( U. J  = 
U. z  <->  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
176175rexbidva 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
177140, 176bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
178 imaeq2 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " (/) ) )
179 ima0 5342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " (/) )  =  (/)
180178, 179syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  =  (/) )
181180inteqd 4276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  |^| (/) )
182 int0 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  |^| (/)  =  _V
183181, 182syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =  _V )
184183neeq1d 2720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  (/)  ->  ( |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z )  =/=  (/)  <->  _V  =/=  (/) ) )
18515, 184mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  (/)  ->  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z )  =/=  (/) )
186185necomd 2714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  (/)  ->  (/)  =/=  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
187186necon2i 2686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  -> 
z  =/=  (/) )
188165rbaibr 905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin )  <->  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) ) )
189187, 188syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) )
" z )  -> 
( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) 
<->  z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/) } ) ) )
190189pm5.32ri 638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  (/)  =  |^| (
( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) "
z ) )  <->  ( z  e.  ( ( ~P y  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  /\  (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
191190rexbii2 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r
) ) " z
)  <->  E. z  e.  ( ( ~P y  i^i 
Fin )  \  { (/)
} ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) )
192177, 191syl6bbr 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) (/)  =  |^| ( ( r  e.  y  |->  ( U. J  \  r ) ) "
z ) ) )
19380, 96, 1923bitr4rd 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z  <->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
19439, 193imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  y  =/=  (/) )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
19524, 194pm2.61dane 2761 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
19660adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  A. r  e.  y 
( U. J  \ 
r )  e.  _V )
197 dfiin3g 5246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. r  e.  y  ( U. J  \  r
)  e.  _V  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
198196, 197syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
19945inteqd 4276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  |^| ran  ( r  e.  y 
|->  ( U. J  \ 
r ) ) )
200198, 199eqtr4d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r
)  =  |^| (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
201200eqeq1d 2445 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =  (/) ) )
202 nne 2644 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
|^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =/=  (/) 
<-> 
|^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =  (/) )
203201, 202syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \ 
r )  =  (/)  <->  -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) )
204203imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( |^|_ r  e.  y  ( U. J  \  r )  =  (/)  ->  (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )  <->  ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
205195, 204bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) ) )
206 con1b 333 . . . . 5  |-  ( ( -.  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y )  =/=  (/)  ->  (/)  e.  ( fi
`  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )  <->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  |^| (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y )  =/=  (/) ) )
207205, 206syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  -> 
( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
2081, 207sylan2 474 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
209208ralbidva 2879 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. J  =  U. z )  <->  A. y  e.  ~P  J ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
21056iscmp 19866 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
211210baib 903 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. y  e.  ~P  J ( U. J  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. J  =  U. z ) ) )
21293adantr 465 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  ~P J
)  ->  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  e.  ~P ( Clsd `  J ) )
213 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  J  e.  Top )
214 funmpt 5614 . . . . . 6  |-  Fun  (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) )
215214a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  Fun  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) )
216 elpwi 4006 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  x  C_  ( Clsd `  J
) )
217 foima 5790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) : J -onto->
( Clsd `  J )  ->  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) " J )  =  (
Clsd `  J )
)
21887, 217syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) " J )  =  (
Clsd `  J )
)
219218sseq2d 3517 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  C_  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " J
)  <->  x  C_  ( Clsd `  J ) ) )
220216, 219syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ~P ( Clsd `  J )  ->  x  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" J ) ) )
221220imp 429 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  x  C_  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) " J ) )
222 ssimaexg 5924 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Fun  ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) )  /\  x  C_  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" J ) )  ->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
223213, 215, 221, 222syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
224 df-rex 2799 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  ~P  J x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  <->  E. y ( y  e.  ~P J  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) )
225 selpw 4004 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P J  <->  y  C_  J )
226225anbi1i 695 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P J  /\  x  =  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )  <->  ( y  C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) ) )
227226exbii 1654 . . . . 5  |-  ( E. y ( y  e. 
~P J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )  <->  E. y ( y  C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) ) )
228224, 227bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~P  J x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  <->  E. y ( y 
C_  J  /\  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) ) )
229223, 228sylibr 212 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  ~P ( Clsd `  J ) )  ->  E. y  e.  ~P  J x  =  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) )
230 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  x  =  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )
231230fveq2d 5860 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( fi `  x )  =  ( fi `  (
( r  e.  J  |->  ( U. J  \ 
r ) ) "
y ) ) )
232231eleq2d 2513 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( (/) 
e.  ( fi `  x )  <->  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
233232notbid 294 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  x )  <->  -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) ) ) )
234230inteqd 4276 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  |^| x  =  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) )
" y ) )
235234neeq1d 2720 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  ( |^| x  =/=  (/)  <->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
)  =/=  (/) ) )
236233, 235imbi12d 320 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  =  ( (
r  e.  J  |->  ( U. J  \  r
) ) " y
) )  ->  (
( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) )  <->  ( -.  (/) 
e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
237212, 229, 236ralxfrd 4651 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J )
( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) )  <->  A. y  e.  ~P  J ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y ) )  ->  |^| ( ( r  e.  J  |->  ( U. J  \  r ) ) "
y )  =/=  (/) ) ) )
238209, 211, 2373bitr4d 285 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Comp  <->  A. x  e.  ~P  ( Clsd `  J
) ( -.  (/)  e.  ( fi `  x )  ->  |^| x  =/=  (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   U.cuni 4234   |^|cint 4271   U_ciun 4315   |^|_ciin 4316    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   ran crn 4990    |` cres 4991   "cima 4992   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -onto->wfo 5576   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578   Fincfn 7518   ficfi 7872   Topctop 19372   Clsdccld 19495   Compccmp 19864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-top 19377  df-cld 19498  df-cmp 19865
This theorem is referenced by:  cmpfii  19887  fclscmp  20509  heibor1lem  30281
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