Theorem cmpcref 28091

Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cmpcref	|- Comp = CovHasRef Fin

Proof of Theorem cmpcref

Dummy variables f j u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P y i^i Fin ) )
2		elin 3673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
3	1, 2	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
4	3	simpld 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P y )
5		elpwi 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P y -> x C_ y )
6	4, 5	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ y )
7		elpwi 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P j -> y C_ j )
8	7	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> y C_ j )
9	6, 8	sstrd 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ j )
10		selpw 4006	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P j <-> x C_ j )
11	9, 10	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P j )
12	3	simprd 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. Fin )
13	11, 12	elind 3674	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P j i^i Fin ) )
14		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. x )
15		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. y )
16	14, 15	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. x = U. y )
17		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U. x
18		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- U. y = U. y
19	17, 18	ssref 20182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P j /\ x C_ y /\ U. x = U. y ) -> x Ref y )
20	11, 6, 16, 19	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x Ref y )
21		breq1 4442	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z Ref y <-> x Ref y ) )
22	21	rspcev 3207	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P j i^i Fin ) /\ x Ref y ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
23	13, 20, 22	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
24	23	r19.29an 2995	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
25		simplr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> z e. ( ~P j i^i Fin ) )
26		vex 3109	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
27		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. z = U. z
28	27, 18	isref 20179	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. _V -> ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) ) )
29	26, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) )
30	29	simprbi 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( z Ref y -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
31	30	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
32		sseq2 3511	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u C_ v <-> u C_ ( f ` u ) ) )
33	32	ac6sg 8859	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> ( A. u e. z E. v e. y u C_ v -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) ) )
34	25, 31, 33	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) )
35		simplr 753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f : z --> y )
36		frn 5719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : z --> y -> ran f C_ y )
37	35, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f C_ y )
38		vex 3109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
39	38	rnex 6707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran f e. _V
40	39	elpw 4005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran f e. ~P y <-> ran f C_ y )
41	37, 40	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ~P y )
42		ffn 5713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : z --> y -> f Fn z )
43	35, 42	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f Fn z )
44		elin 3673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) <-> ( z e. ~P j /\ z e. Fin ) )
45	44	simprbi 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> z e. Fin )
46	45	ad4antlr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> z e. Fin )
47		fnfi 7790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn z /\ z e. Fin ) -> f e. Fin )
48	43, 46, 47	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f e. Fin )
49		rnfi 7797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. Fin -> ran f e. Fin )
50	48, 49	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. Fin )
51	41, 50	elind 3674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ( ~P y i^i Fin ) )
52		simp-5r 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. y )
53	27, 18	refbas 20180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z Ref y -> U. y = U. z )
54	53	ad3antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. z )
55		nfv 1712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ u ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y )
56		nfra1 2835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ u A. u e. z u C_ ( f ` u )
57	55, 56	nfan 1933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ u ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) )
58		rspa 2821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A. u e. z u C_ ( f ` u ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
59	58	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
60	59	sseld 3488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) )
61	60	ex 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( u e. z -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) ) )
62	57, 61	reximdai 2923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( E. u e. z x e. u -> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
63		eluni2 4239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u ) )
65		fnunirn 6140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn z -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
66	43, 65	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
67	62, 64, 66	3imtr4d 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z -> x e. U. ran f ) )
68	67	ssrdv 3495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. z C_ U. ran f )
69	54, 68	eqsstrd 3523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y C_ U. ran f )
70	37	unissd 4259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. ran f C_ U. y )
71	69, 70	eqssd 3506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. ran f )
72	52, 71	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. ran f )
73		unieq 4243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ran f -> U. x = U. ran f )
74	73	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ran f -> ( U. j = U. x <-> U. j = U. ran f ) )
75	74	rspcev 3207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran f e. ( ~P y i^i Fin ) /\ U. j = U. ran f ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
76	51, 72, 75	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
77	76	expl 616	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
78	77	exlimdv 1729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
79	34, 78	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
80	79	r19.29an 2995	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
81	24, 80	impbida 830	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) -> ( E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x <-> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) )
82	81	pm5.74da 685	. . . . 5 |- ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) -> ( ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
83	82	ralbidva 2890	. . . 4 |- ( j e. Top -> ( A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
84	83	pm5.32i 635	. . 3 |- ( ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
85		eqid 2454	. . . 4 |- U. j = U. j
86	85	iscmp 20058	. . 3 |- ( j e. Comp <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) )
87	85	iscref 28085	. . 3 |- ( j e. CovHasRef Fin <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
88	84, 86, 87	3bitr4i 277	. 2 |- ( j e. Comp <-> j e. CovHasRef Fin )
89	88	eqriv 2450	1 |- Comp = CovHasRef Fin

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   E.wex 1617   e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   i^i cin 3460   C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   ran crn 4989   Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570   Fincfn 7509   Topctop 19564   Compccmp 20056   Refcref 20172  CovHasRefccref 28083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-fin 7513  df-r1 8173  df-rank 8174  df-card 8311  df-ac 8488  df-cmp 20057  df-ref 20175  df-cref 28084

This theorem is referenced by:  cmpfiref  28092  cmppcmp  28099