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Theorem cmpcref 28091
Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
cmpcref  |-  Comp  = CovHasRef Fin

Proof of Theorem cmpcref
Dummy variables  f 
j  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
2 elin 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P y  /\  x  e.  Fin ) )
31, 2sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  ( x  e.  ~P y  /\  x  e.  Fin ) )
43simpld 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ~P y )
5 elpwi 4008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P y  ->  x  C_  y )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  C_  y
)
7 elpwi 4008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P j  -> 
y  C_  j )
87ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  y  C_  j )
96, 8sstrd 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  C_  j
)
10 selpw 4006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P j  <->  x  C_  j
)
119, 10sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ~P j )
123simprd 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  Fin )
1311, 12elind 3674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )
14 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. j  =  U. x )
15 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. j  =  U. y )
1614, 15eqtr3d 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. x  =  U. y )
17 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  =  U. x
18 eqid 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  U. y  =  U. y
1917, 18ssref 20182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P j  /\  x  C_  y  /\  U. x  =  U. y
)  ->  x Ref y )
2011, 6, 16, 19syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x Ref y )
21 breq1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z Ref y  <->  x Ref y ) )
2221rspcev 3207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  /\  x Ref y )  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
)
2313, 20, 22syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y )
2423r19.29an 2995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )
z Ref y )
25 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) )
26 vex 3109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
27 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. z  =  U. z
2827, 18isref 20179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z Ref y  <->  ( U. y  =  U. z  /\  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v )
) )
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z Ref y  <->  ( U. y  =  U. z  /\  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v )
)
3029simprbi 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z Ref y  ->  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v
)
3130adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v
)
32 sseq2 3511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  C_  v  <->  u  C_  (
f `  u )
) )
3332ac6sg 8859 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  ->  ( A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v  ->  E. f
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
) ) )
3425, 31, 33sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  E. f
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
) )
35 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f : z --> y )
36 frn 5719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : z --> y  ->  ran  f  C_  y )
3735, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  C_  y )
38 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
3938rnex 6707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  f  e.  _V
4039elpw 4005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  f  e.  ~P y  <->  ran  f  C_  y )
4137, 40sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  ~P y )
42 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : z --> y  -> 
f  Fn  z )
4335, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f  Fn  z )
44 elin 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P j  /\  z  e.  Fin ) )
4544simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
4645ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
z  e.  Fin )
47 fnfi 7790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  z  /\  z  e.  Fin )  ->  f  e.  Fin )
4843, 46, 47syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f  e.  Fin )
49 rnfi 7797 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  Fin  ->  ran  f  e.  Fin )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
5141, 50elind 3674 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
52 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. j  =  U. y )
5327, 18refbas 20180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z Ref y  ->  U. y  =  U. z )
5453ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  =  U. z )
55 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ u
( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )
56 nfra1 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ u A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u )
5755, 56nfan 1933 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ u
( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)
58 rspa 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u )  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
5958adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
6059sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  /\  u  e.  z )  ->  (
x  e.  u  ->  x  e.  ( f `  u ) ) )
6160ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( u  e.  z  ->  ( x  e.  u  ->  x  e.  ( f `  u
) ) ) )
6257, 61reximdai 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( E. u  e.  z  x  e.  u  ->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
63 eluni2 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. u  e.  z  x  e.  u )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. z 
<->  E. u  e.  z  x  e.  u ) )
65 fnunirn 6140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  z  ->  (
x  e.  U. ran  f 
<->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
6643, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. ran  f  <->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
6762, 64, 663imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. z  ->  x  e.  U. ran  f ) )
6867ssrdv 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. z  C_  U. ran  f )
6954, 68eqsstrd 3523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  C_  U. ran  f )
7037unissd 4259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. ran  f  C_  U. y
)
7169, 70eqssd 3506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  =  U. ran  f )
7252, 71eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. j  =  U. ran  f )
73 unieq 4243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ran  f  ->  U. x  =  U. ran  f )
7473eqeq2d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( U. j  = 
U. x  <->  U. j  =  U. ran  f ) )
7574rspcev 3207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. j  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )
7651, 72, 75syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )
7776expl 616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  (
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )
7877exlimdv 1729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  ( E. f ( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u
) )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )
7934, 78mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )
8079r19.29an 2995 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )
8124, 80impbida 830 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  -> 
( E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x  <->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y ) )
8281pm5.74da 685 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  ->  ( ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )  <->  ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8382ralbidva 2890 . . . 4  |-  ( j  e.  Top  ->  ( A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )  <->  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8483pm5.32i 635 . . 3  |-  ( ( j  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  j
( U. j  = 
U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )  <-> 
( j  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y ) ) )
85 eqid 2454 . . . 4  |-  U. j  =  U. j
8685iscmp 20058 . . 3  |-  ( j  e.  Comp  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x ) ) )
8785iscref 28085 . . 3  |-  ( j  e. CovHasRef Fin  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8884, 86, 873bitr4i 277 . 2  |-  ( j  e.  Comp  <->  j  e. CovHasRef Fin )
8988eqriv 2450 1  |-  Comp  = CovHasRef Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   class class class wbr 4439   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570   Fincfn 7509   Topctop 19564   Compccmp 20056   Refcref 20172  CovHasRefccref 28083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-reg 8010  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-fin 7513  df-r1 8173  df-rank 8174  df-card 8311  df-ac 8488  df-cmp 20057  df-ref 20175  df-cref 28084
This theorem is referenced by:  cmpfiref  28092  cmppcmp  28099
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