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Theorem cmpcref 28751
Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
cmpcref  |-  Comp  = CovHasRef Fin

Proof of Theorem cmpcref
Dummy variables  f 
j  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
2 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P y  /\  x  e.  Fin ) )
31, 2sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  ( x  e.  ~P y  /\  x  e.  Fin ) )
43simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ~P y )
5 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P y  ->  x  C_  y )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  C_  y
)
7 elpwi 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P j  -> 
y  C_  j )
87ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  y  C_  j )
96, 8sstrd 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  C_  j
)
10 selpw 3949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P j  <->  x  C_  j
)
119, 10sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ~P j )
123simprd 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  Fin )
1311, 12elind 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )
14 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. j  =  U. x )
15 simpllr 777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. j  =  U. y )
1614, 15eqtr3d 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. x  =  U. y )
17 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  =  U. x
18 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. y  =  U. y
1917, 18ssref 20604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P j  /\  x  C_  y  /\  U. x  =  U. y
)  ->  x Ref y )
2011, 6, 16, 19syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x Ref y )
21 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z Ref y  <->  x Ref y ) )
2221rspcev 3136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  /\  x Ref y )  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
)
2313, 20, 22syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y )
2423r19.29an 2917 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )
z Ref y )
25 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) )
26 vex 3034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
27 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. z  =  U. z
2827, 18isref 20601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z Ref y  <->  ( U. y  =  U. z  /\  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v )
) )
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z Ref y  <->  ( U. y  =  U. z  /\  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v )
)
3029simprbi 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z Ref y  ->  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v
)
3130adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v
)
32 sseq2 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  C_  v  <->  u  C_  (
f `  u )
) )
3332ac6sg 8936 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  ->  ( A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v  ->  E. f
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
) ) )
3425, 31, 33sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  E. f
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
) )
35 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f : z --> y )
36 frn 5747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : z --> y  ->  ran  f  C_  y )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  C_  y )
38 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
3938rnex 6746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  f  e.  _V
4039elpw 3948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  f  e.  ~P y  <->  ran  f  C_  y )
4137, 40sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  ~P y )
42 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : z --> y  -> 
f  Fn  z )
4335, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f  Fn  z )
44 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P j  /\  z  e.  Fin ) )
4544simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
4645ad4antlr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
z  e.  Fin )
47 fnfi 7867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  z  /\  z  e.  Fin )  ->  f  e.  Fin )
4843, 46, 47syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f  e.  Fin )
49 rnfi 7875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  Fin  ->  ran  f  e.  Fin )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
5141, 50elind 3609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
52 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. j  =  U. y )
5327, 18refbas 20602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z Ref y  ->  U. y  =  U. z )
5453ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  =  U. z )
55 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ u
( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )
56 nfra1 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ u A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u )
5755, 56nfan 2031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ u
( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)
58 rspa 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u )  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
5958adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
6059sseld 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  /\  u  e.  z )  ->  (
x  e.  u  ->  x  e.  ( f `  u ) ) )
6160ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( u  e.  z  ->  ( x  e.  u  ->  x  e.  ( f `  u
) ) ) )
6257, 61reximdai 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( E. u  e.  z  x  e.  u  ->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
63 eluni2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. u  e.  z  x  e.  u )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. z 
<->  E. u  e.  z  x  e.  u ) )
65 fnunirn 6176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  z  ->  (
x  e.  U. ran  f 
<->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
6643, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. ran  f  <->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
6762, 64, 663imtr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. z  ->  x  e.  U. ran  f ) )
6867ssrdv 3424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. z  C_  U. ran  f )
6954, 68eqsstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  C_  U. ran  f )
7037unissd 4214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. ran  f  C_  U. y
)
7169, 70eqssd 3435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  =  U. ran  f )
7252, 71eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. j  =  U. ran  f )
73 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ran  f  ->  U. x  =  U. ran  f )
7473eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( U. j  = 
U. x  <->  U. j  =  U. ran  f ) )
7574rspcev 3136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. j  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )
7651, 72, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )
7776expl 630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  (
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )
7877exlimdv 1787 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  ( E. f ( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u
) )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )
7934, 78mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )
8079r19.29an 2917 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )
8124, 80impbida 850 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  -> 
( E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x  <->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y ) )
8281pm5.74da 701 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  ->  ( ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )  <->  ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8382ralbidva 2828 . . . 4  |-  ( j  e.  Top  ->  ( A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )  <->  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8483pm5.32i 649 . . 3  |-  ( ( j  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  j
( U. j  = 
U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )  <-> 
( j  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y ) ) )
85 eqid 2471 . . . 4  |-  U. j  =  U. j
8685iscmp 20480 . . 3  |-  ( j  e.  Comp  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x ) ) )
8785iscref 28745 . . 3  |-  ( j  e. CovHasRef Fin  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8884, 86, 873bitr4i 285 . 2  |-  ( j  e.  Comp  <->  j  e. CovHasRef Fin )
8988eqriv 2468 1  |-  Comp  = CovHasRef Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589   Fincfn 7587   Topctop 19994   Compccmp 20478   Refcref 20594  CovHasRefccref 28743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-fin 7591  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-ac 8565  df-cmp 20479  df-ref 20597  df-cref 28744
This theorem is referenced by:  cmpfiref  28752  cmppcmp  28759
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