Theorem cmpcref 28677

Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
cmpcref	|- Comp = CovHasRef Fin

Proof of Theorem cmpcref

Dummy variables f j u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P y i^i Fin ) )
2		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( ~P y i^i Fin ) <-> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
3	1, 2	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> ( x e. ~P y /\ x e. Fin ) )
4	3	simpld 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P y )
5		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ~P y -> x C_ y )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ y )
7		elpwi 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ~P j -> y C_ j )
8	7	ad4antlr 739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> y C_ j )
9	6, 8	sstrd 3442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x C_ j )
10		selpw 3958	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P j <-> x C_ j )
11	9, 10	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ~P j )
12	3	simprd 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. Fin )
13	11, 12	elind 3618	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x e. ( ~P j i^i Fin ) )
14		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. x )
15		simpllr 769	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. j = U. y )
16	14, 15	eqtr3d 2487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> U. x = U. y )
17		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- U. x = U. x
18		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- U. y = U. y
19	17, 18	ssref 20527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P j /\ x C_ y /\ U. x = U. y ) -> x Ref y )
20	11, 6, 16, 19	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> x Ref y )
21		breq1 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( z Ref y <-> x Ref y ) )
22	21	rspcev 3150	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ~P j i^i Fin ) /\ x Ref y ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
23	13, 20, 22	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ x e. ( ~P y i^i Fin ) ) /\ U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
24	23	r19.29an 2931	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y )
25		simplr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> z e. ( ~P j i^i Fin ) )
26		vex 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
27		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. z = U. z
28	27, 18	isref 20524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. _V -> ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) ) )
29	26, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z Ref y <-> ( U. y = U. z /\ A. u e. z E. v e. y u C_ v ) )
30	29	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( z Ref y -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
31	30	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> A. u e. z E. v e. y u C_ v )
32		sseq2 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = ( f ` u ) -> ( u C_ v <-> u C_ ( f ` u ) ) )
33	32	ac6sg 8918	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> ( A. u e. z E. v e. y u C_ v -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) ) )
34	25, 31, 33	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) )
35		simplr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f : z --> y )
36		frn 5735	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : z --> y -> ran f C_ y )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f C_ y )
38		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- f e. _V
39	38	rnex 6727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran f e. _V
40	39	elpw 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ran f e. ~P y <-> ran f C_ y )
41	37, 40	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ~P y )
42		ffn 5728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : z --> y -> f Fn z )
43	35, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f Fn z )
44		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) <-> ( z e. ~P j /\ z e. Fin ) )
45	44	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. ( ~P j i^i Fin ) -> z e. Fin )
46	45	ad4antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> z e. Fin )
47		fnfi 7849	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f Fn z /\ z e. Fin ) -> f e. Fin )
48	43, 46, 47	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> f e. Fin )
49		rnfi 7857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. Fin -> ran f e. Fin )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. Fin )
51	41, 50	elind 3618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ran f e. ( ~P y i^i Fin ) )
52		simp-5r 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. y )
53	27, 18	refbas 20525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z Ref y -> U. y = U. z )
54	53	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. z )
55		nfv 1761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ u ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y )
56		nfra1 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ u A. u e. z u C_ ( f ` u )
57	55, 56	nfan 2011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ u ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) )
58		rspa 2755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A. u e. z u C_ ( f ` u ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
59	58	adantll 720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> u C_ ( f ` u ) )
60	59	sseld 3431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) /\ u e. z ) -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) )
61	60	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( u e. z -> ( x e. u -> x e. ( f ` u ) ) ) )
62	57, 61	reximdai 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( E. u e. z x e. u -> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
63		eluni2 4202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z <-> E. u e. z x e. u ) )
65		fnunirn 6158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f Fn z -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
66	43, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. ran f <-> E. u e. z x e. ( f ` u ) ) )
67	62, 64, 66	3imtr4d 272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> ( x e. U. z -> x e. U. ran f ) )
68	67	ssrdv 3438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. z C_ U. ran f )
69	54, 68	eqsstrd 3466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y C_ U. ran f )
70	37	unissd 4222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. ran f C_ U. y )
71	69, 70	eqssd 3449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. y = U. ran f )
72	52, 71	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> U. j = U. ran f )
73		unieq 4206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ran f -> U. x = U. ran f )
74	73	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ran f -> ( U. j = U. x <-> U. j = U. ran f ) )
75	74	rspcev 3150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran f e. ( ~P y i^i Fin ) /\ U. j = U. ran f ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
76	51, 72, 75	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) /\ f : z --> y ) /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
77	76	expl 624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
78	77	exlimdv 1779	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> ( E. f ( f : z --> y /\ A. u e. z u C_ ( f ` u ) ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) )
79	34, 78	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ z e. ( ~P j i^i Fin ) ) /\ z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
80	79	r19.29an 2931	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) /\ E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x )
81	24, 80	impbida 843	. . . . . 6 |- ( ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) /\ U. j = U. y ) -> ( E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x <-> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) )
82	81	pm5.74da 693	. . . . 5 |- ( ( j e. Top /\ y e. ~P j ) -> ( ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
83	82	ralbidva 2824	. . . 4 |- ( j e. Top -> ( A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) <-> A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
84	83	pm5.32i 643	. . 3 |- ( ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
85		eqid 2451	. . . 4 |- U. j = U. j
86	85	iscmp 20403	. . 3 |- ( j e. Comp <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. x e. ( ~P y i^i Fin ) U. j = U. x ) ) )
87	85	iscref 28671	. . 3 |- ( j e. CovHasRef Fin <-> ( j e. Top /\ A. y e. ~P j ( U. j = U. y -> E. z e. ( ~P j i^i Fin ) z Ref y ) ) )
88	84, 86, 87	3bitr4i 281	. 2 |- ( j e. Comp <-> j e. CovHasRef Fin )
89	88	eqriv 2448	1 |- Comp = CovHasRef Fin

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   E.wex 1663   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   i^i cin 3403   C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   ran crn 4835   Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   Fincfn 7569   Topctop 19917   Compccmp 20401   Refcref 20517  CovHasRefccref 28669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373  df-ac 8547  df-cmp 20402  df-ref 20520  df-cref 28670

This theorem is referenced by:  cmpfiref  28678  cmppcmp  28685