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Theorem cmpcref 28677
Description: Equivalent definition of compact space in terms of open cover refinements. Compact spaces are topologies with finite open cover refinements. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
cmpcref  |-  Comp  = CovHasRef Fin

Proof of Theorem cmpcref
Dummy variables  f 
j  u  v  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )
2 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P y  /\  x  e.  Fin ) )
31, 2sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  ( x  e.  ~P y  /\  x  e.  Fin ) )
43simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ~P y )
5 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~P y  ->  x  C_  y )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  C_  y
)
7 elpwi 3960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~P j  -> 
y  C_  j )
87ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  y  C_  j )
96, 8sstrd 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  C_  j
)
10 selpw 3958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P j  <->  x  C_  j
)
119, 10sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ~P j )
123simprd 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  Fin )
1311, 12elind 3618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )
14 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. j  =  U. x )
15 simpllr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. j  =  U. y )
1614, 15eqtr3d 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  U. x  =  U. y )
17 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  U. x  =  U. x
18 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  U. y  =  U. y
1917, 18ssref 20527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ~P j  /\  x  C_  y  /\  U. x  =  U. y
)  ->  x Ref y )
2011, 6, 16, 19syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  x Ref y )
21 breq1 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  x  ->  (
z Ref y  <->  x Ref y ) )
2221rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  /\  x Ref y )  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
)
2313, 20, 22syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) )  /\  U. j  =  U. x
)  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y )
2423r19.29an 2931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )
z Ref y )
25 simplr 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) )
26 vex 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  z  e. 
_V
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. z  =  U. z
2827, 18isref 20524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  _V  ->  (
z Ref y  <->  ( U. y  =  U. z  /\  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v )
) )
2926, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z Ref y  <->  ( U. y  =  U. z  /\  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v )
)
3029simprbi 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z Ref y  ->  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v
)
3130adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v
)
32 sseq2 3454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( f `  u )  ->  (
u  C_  v  <->  u  C_  (
f `  u )
) )
3332ac6sg 8918 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  ->  ( A. u  e.  z  E. v  e.  y  u  C_  v  ->  E. f
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
) ) )
3425, 31, 33sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  E. f
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
) )
35 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f : z --> y )
36 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : z --> y  ->  ran  f  C_  y )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  C_  y )
38 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  f  e. 
_V
3938rnex 6727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  f  e.  _V
4039elpw 3957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ran  f  e.  ~P y  <->  ran  f  C_  y )
4137, 40sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  ~P y )
42 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : z --> y  -> 
f  Fn  z )
4335, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f  Fn  z )
44 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  <->  ( z  e.  ~P j  /\  z  e.  Fin ) )
4544simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ~P j  i^i  Fin )  ->  z  e.  Fin )
4645ad4antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
z  e.  Fin )
47 fnfi 7849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  z  /\  z  e.  Fin )  ->  f  e.  Fin )
4843, 46, 47syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
f  e.  Fin )
49 rnfi 7857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  Fin  ->  ran  f  e.  Fin )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
5141, 50elind 3618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P y  i^i  Fin )
)
52 simp-5r 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. j  =  U. y )
5327, 18refbas 20525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z Ref y  ->  U. y  =  U. z )
5453ad3antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  =  U. z )
55 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ u
( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )
56 nfra1 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ u A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u )
5755, 56nfan 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ u
( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)
58 rspa 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u )  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
5958adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  /\  u  e.  z )  ->  u  C_  ( f `  u
) )
6059sseld 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  /\  f : z --> y )  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  /\  u  e.  z )  ->  (
x  e.  u  ->  x  e.  ( f `  u ) ) )
6160ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( u  e.  z  ->  ( x  e.  u  ->  x  e.  ( f `  u
) ) ) )
6257, 61reximdai 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( E. u  e.  z  x  e.  u  ->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
63 eluni2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  U. z  <->  E. u  e.  z  x  e.  u )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. z 
<->  E. u  e.  z  x  e.  u ) )
65 fnunirn 6158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  z  ->  (
x  e.  U. ran  f 
<->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
6643, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. ran  f  <->  E. u  e.  z  x  e.  ( f `
 u ) ) )
6762, 64, 663imtr4d 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  -> 
( x  e.  U. z  ->  x  e.  U. ran  f ) )
6867ssrdv 3438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. z  C_  U. ran  f )
6954, 68eqsstrd 3466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  C_  U. ran  f )
7037unissd 4222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. ran  f  C_  U. y
)
7169, 70eqssd 3449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. y  =  U. ran  f )
7252, 71eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  U. j  =  U. ran  f )
73 unieq 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ran  f  ->  U. x  =  U. ran  f )
7473eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( U. j  = 
U. x  <->  U. j  =  U. ran  f ) )
7574rspcev 3150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P y  i^i  Fin )  /\  U. j  = 
U. ran  f )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )
7651, 72, 75syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y
)  /\  f :
z --> y )  /\  A. u  e.  z  u 
C_  ( f `  u ) )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )
7776expl 624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  (
( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  (
f `  u )
)  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )
7877exlimdv 1779 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  ( E. f ( f : z --> y  /\  A. u  e.  z  u  C_  ( f `  u
) )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )
7934, 78mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) )  /\  z Ref y )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )
8079r19.29an 2931 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( j  e. 
Top  /\  y  e.  ~P j )  /\  U. j  =  U. y
)  /\  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y )  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )
8124, 80impbida 843 . . . . . 6  |-  ( ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  /\  U. j  =  U. y )  -> 
( E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x  <->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y ) )
8281pm5.74da 693 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  Top  /\  y  e.  ~P j
)  ->  ( ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x )  <->  ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8382ralbidva 2824 . . . 4  |-  ( j  e.  Top  ->  ( A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x )  <->  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8483pm5.32i 643 . . 3  |-  ( ( j  e.  Top  /\  A. y  e.  ~P  j
( U. j  = 
U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i 
Fin ) U. j  =  U. x ) )  <-> 
( j  e.  Top  /\ 
A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i 
Fin ) z Ref y ) ) )
85 eqid 2451 . . . 4  |-  U. j  =  U. j
8685iscmp 20403 . . 3  |-  ( j  e.  Comp  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. x  e.  ( ~P y  i^i  Fin ) U. j  =  U. x ) ) )
8785iscref 28671 . . 3  |-  ( j  e. CovHasRef Fin  <->  ( j  e. 
Top  /\  A. y  e.  ~P  j ( U. j  =  U. y  ->  E. z  e.  ( ~P j  i^i  Fin ) z Ref y
) ) )
8884, 86, 873bitr4i 281 . 2  |-  ( j  e.  Comp  <->  j  e. CovHasRef Fin )
8988eqriv 2448 1  |-  Comp  = CovHasRef Fin
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582   Fincfn 7569   Topctop 19917   Compccmp 20401   Refcref 20517  CovHasRefccref 28669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-fin 7573  df-r1 8235  df-rank 8236  df-card 8373  df-ac 8547  df-cmp 20402  df-ref 20520  df-cref 28670
This theorem is referenced by:  cmpfiref  28678  cmppcmp  28685
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