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Theorem cmpcovf 20061
Description: Combine cmpcov 20059 with ac6sfi 7756 to show the existence of a function that indexes the elements that are generating the open cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmp.1  |-  X  = 
U. J
cmpcovf.2  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
cmpcovf  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
Distinct variable groups:    f, s, x, y, z, A    J, s, x, y, z    ph, f,
s, x    ps, s,
z    x, X, s
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    ps( x, y, f)    J( f)    X( y, z, f)

Proof of Theorem cmpcovf
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  J  e.  Comp )
2 iscmp.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32cmpcov2 20060 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )
)
4 elfpw 7814 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  J  /\  u  e. 
Fin ) )
5 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  C_  J )
6 selpw 4006 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ~P J  <->  u  C_  J
)
75, 6sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  ~P J )
8 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  Fin )
97, 8elind 3674 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
10 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  X  =  U. u )
11 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )
12 cmpcovf.2 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1312ac6sfi 7756 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) )
148, 11, 13syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. f
( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps )
)
15 unieq 4243 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  u  ->  U. s  =  U. u )
1615eqeq2d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  ( X  =  U. s  <->  X  =  U. u ) )
17 feq2 5696 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  u  ->  (
f : s --> A  <-> 
f : u --> A ) )
18 raleq 3051 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  u  ->  ( A. y  e.  s  ps 
<-> 
A. y  e.  u  ps ) )
1917, 18anbi12d 708 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  u  ->  (
( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps )  <->  ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )
2019exbidv 1719 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  ( E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) 
<->  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )
2116, 20anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) )  <-> 
( X  =  U. u  /\  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) ) )
2221rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  /\  ( X  =  U. u  /\  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
239, 10, 14, 22syl12anc 1224 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
2423ex 432 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
u  C_  J  /\  u  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
254, 24sylan2b 473 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
2625rexlimdva 2946 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( E. u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
271, 3, 26sylc 60 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   -->wf 5566   ` cfv 5570   Fincfn 7509   Compccmp 20056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-cmp 20057
This theorem is referenced by:  txtube  20310  txcmplem1  20311  txcmplem2  20312  xkococnlem  20329  cnheibor  21624  heicant  30292
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