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Theorem cmpcovf 18994
Description: Combine cmpcov 18992 with ac6sfi 7556 to show the existence of a function that indexes the elements that are generating the open cover. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iscmp.1  |-  X  = 
U. J
cmpcovf.2  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
cmpcovf  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
Distinct variable groups:    f, s, x, y, z, A    J, s, x, y, z    ph, f,
s, x    ps, s,
z    x, X, s
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    ps( x, y, f)    J( f)    X( y, z, f)

Proof of Theorem cmpcovf
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  J  e.  Comp )
2 iscmp.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
32cmpcov2 18993 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )
)
4 elfpw 7613 . . . 4  |-  ( u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( u  C_  J  /\  u  e. 
Fin ) )
5 simplrl 759 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  C_  J )
6 selpw 3867 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ~P J  <->  u  C_  J
)
75, 6sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  ~P J )
8 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  Fin )
97, 8elind 3540 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )
10 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  X  =  U. u )
11 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )
12 cmpcovf.2 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1312ac6sfi 7556 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  Fin  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) )
148, 11, 13syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. f
( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps )
)
15 unieq 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  u  ->  U. s  =  U. u )
1615eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  ( X  =  U. s  <->  X  =  U. u ) )
17 feq2 5543 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  u  ->  (
f : s --> A  <-> 
f : u --> A ) )
18 raleq 2917 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  u  ->  ( A. y  e.  s  ps 
<-> 
A. y  e.  u  ps ) )
1917, 18anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  u  ->  (
( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps )  <->  ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )
2019exbidv 1680 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  ( E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) 
<->  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )
2116, 20anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) )  <-> 
( X  =  U. u  /\  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) ) )
2221rspcev 3073 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  /\  ( X  =  U. u  /\  E. f ( f : u --> A  /\  A. y  e.  u  ps ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
239, 10, 14, 22syl12anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  ( u  C_  J  /\  u  e.  Fin ) )  /\  ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
2423ex 434 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
u  C_  J  /\  u  e.  Fin )
)  ->  ( ( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
254, 24sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  u  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) )  ->  (
( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
2625rexlimdva 2841 . 2  |-  ( J  e.  Comp  ->  ( E. u  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. u  /\  A. y  e.  u  E. z  e.  A  ph )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )
( X  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) ) )
271, 3, 26sylc 60 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  E. z  e.  A  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> A  /\  A. y  e.  s  ps ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716    i^i cin 3327    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   -->wf 5414   ` cfv 5418   Fincfn 7310   Compccmp 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-cmp 18990
This theorem is referenced by:  txtube  19213  txcmplem1  19214  txcmplem2  19215  xkococnlem  19232  cnheibor  20527  heicant  28426
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