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Theorem cmpcov2 20405
Description: Rewrite cmpcov 20404 for the cover  { y  e.  J  |  ph }. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iscmp.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
cmpcov2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, J    ph, s, x   
x, X
Allowed substitution hints:    ph( y)    X( y, s)

Proof of Theorem cmpcov2
StepHypRef Expression
1 dfss3 3422 . . . . . 6  |-  ( X 
C_  U. { y  e.  J  |  ph }  <->  A. x  e.  X  x  e.  U. { y  e.  J  |  ph } )
2 elunirab 4210 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. { y  e.  J  |  ph } 
<->  E. y  e.  J  ( x  e.  y  /\  ph ) )
32ralbii 2819 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  x  e.  U. { y  e.  J  |  ph }  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )
41, 3bitri 253 . . . . 5  |-  ( X 
C_  U. { y  e.  J  |  ph }  <->  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )
54biimpri 210 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  X  C_  U. {
y  e.  J  |  ph } )
6 ssrab2 3514 . . . . . . 7  |-  { y  e.  J  |  ph }  C_  J
76unissi 4221 . . . . . 6  |-  U. {
y  e.  J  |  ph }  C_  U. J
8 iscmp.1 . . . . . 6  |-  X  = 
U. J
97, 8sseqtr4i 3465 . . . . 5  |-  U. {
y  e.  J  |  ph }  C_  X
109a1i 11 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  U. { y  e.  J  |  ph }  C_  X )
115, 10eqssd 3449 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph )  ->  X  =  U. { y  e.  J  |  ph } )
128cmpcov 20404 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  {
y  e.  J  |  ph }  C_  J  /\  X  =  U. { y  e.  J  |  ph } )  ->  E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s )
136, 12mp3an2 1352 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  X  =  U. { y  e.  J  |  ph }
)  ->  E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s )
1411, 13sylan2 477 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s )
15 ssrab 3507 . . . . . . . 8  |-  ( s 
C_  { y  e.  J  |  ph }  <->  ( s  C_  J  /\  A. y  e.  s  ph ) )
1615anbi1i 701 . . . . . . 7  |-  ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  J  /\  A. y  e.  s  ph )  /\  X  =  U. s ) )
17 an32 807 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  A. y  e.  s 
ph )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  J  /\  X  =  U. s
)  /\  A. y  e.  s  ph ) )
18 anass 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  X  =  U. s )  /\  A. y  e.  s  ph ) 
<->  ( s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
1917, 18bitri 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  A. y  e.  s 
ph )  /\  X  =  U. s )  <->  ( s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
2016, 19bitri 253 . . . . . 6  |-  ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  <->  ( s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
2120anbi1i 701 . . . . 5  |-  ( ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  /\  s  e.  Fin )  <->  ( (
s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  /\  s  e.  Fin ) )
22 an32 807 . . . . 5  |-  ( ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  X  =  U. s )  /\  s  e.  Fin ) )
23 an32 807 . . . . 5  |-  ( ( ( s  C_  J  /\  s  e.  Fin )  /\  ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  <->  ( (
s  C_  J  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  /\  s  e.  Fin ) )
2421, 22, 233bitr4i 281 . . . 4  |-  ( ( ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  J  /\  s  e.  Fin )  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
25 elfpw 7876 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ~P {
y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin )  <->  ( s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin ) )
2625anbi1i 701 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( (
s  C_  { y  e.  J  |  ph }  /\  s  e.  Fin )  /\  X  =  U. s ) )
27 elfpw 7876 . . . . 5  |-  ( s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  <->  ( s  C_  J  /\  s  e. 
Fin ) )
2827anbi1i 701 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )  <-> 
( ( s  C_  J  /\  s  e.  Fin )  /\  ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
2924, 26, 283bitr4i 281 . . 3  |-  ( ( s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin )  /\  X  =  U. s )  <->  ( s  e.  ( ~P J  i^i  Fin )  /\  ( X  =  U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) ) )
3029rexbii2 2887 . 2  |-  ( E. s  e.  ( ~P { y  e.  J  |  ph }  i^i  Fin ) X  =  U. s 
<->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )
3114, 30sylib 200 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  A. x  e.  X  E. y  e.  J  (
x  e.  y  /\  ph ) )  ->  E. s  e.  ( ~P J  i^i  Fin ) ( X  = 
U. s  /\  A. y  e.  s  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    i^i cin 3403    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   Fincfn 7569   Compccmp 20401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-in 3411  df-ss 3418  df-pw 3953  df-uni 4199  df-cmp 20402
This theorem is referenced by:  cmpcovf  20406  bwth  20425  locfincmp  20541
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