MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Structured version   Unicode version

Theorem cmpcmet 21491
Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 29920. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
relcmpcmet.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
cmpcmet.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
cmpcmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 relcmpcmet.2 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 1rp 11220 . . 3  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
5 cmpcmet.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
65adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  Comp )
7 metxmet 20572 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
82, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
98adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
101mopntop 20678 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  Top )
12 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
13 rpxr 11223 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
143, 13mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
15 blssm 20656 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )
169, 12, 14, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  X )
171mopnuni 20679 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
189, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1916, 18sseqtrd 3540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  U. J )
20 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2120clscld 19314 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2211, 19, 21syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
23 cmpcld 19668 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  e.  Comp )
246, 22, 23syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  e.  Comp )
251, 2, 4, 24relcmpcmet 21490 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   U.cuni 4245   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   RR*cxr 9623   RR+crp 11216   ↾t crest 14672   *Metcxmt 18174   Metcme 18175   ballcbl 18176   MetOpencmopn 18179   Topctop 19161   Clsdccld 19283   clsccl 19285   Compccmp 19652   CMetcms 21428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ico 11531  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-cmp 19653  df-fil 20082  df-flim 20175  df-fcls 20177  df-cfil 21429  df-cmet 21431
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator