MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Structured version   Unicode version

Theorem cmpcmet 22048
Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 31599. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
relcmpcmet.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
cmpcmet.3  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
cmpcmet  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
2 relcmpcmet.2 . 2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
3 1rp 11269 . . 3  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
5 cmpcmet.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Comp )
65adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  Comp )
7 metxmet 21129 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
82, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
101mopntop 21235 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  J  e.  Top )
12 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
13 rpxr 11272 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  RR+  ->  1  e. 
RR* )
143, 13mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  1  e.  RR* )
15 blssm 21213 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  1  e.  RR* )  ->  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  X )
169, 12, 14, 15syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  X )
171mopnuni 21236 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
189, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  X  =  U. J )
1916, 18sseqtrd 3478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
x ( ball `  D
) 1 )  C_  U. J )
20 eqid 2402 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2120clscld 19840 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( x ( ball `  D ) 1 ) 
C_  U. J )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2211, 19, 21syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
23 cmpcld 20195 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) )  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  e.  Comp )
246, 22, 23syl2anc 659 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( x
( ball `  D )
1 ) ) )  e.  Comp )
251, 2, 4, 24relcmpcmet 22047 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   U.cuni 4191   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1c1 9523   RR*cxr 9657   RR+crp 11265   ↾t crest 15035   *Metcxmt 18723   Metcme 18724   ballcbl 18725   MetOpencmopn 18728   Topctop 19686   Clsdccld 19809   clsccl 19811   Compccmp 20179   CMetcms 21985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ico 11588  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-cmp 20180  df-fil 20639  df-flim 20732  df-fcls 20734  df-cfil 21986  df-cmet 21988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator