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Theorem cmpcld 19136
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables t s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3974 . . . 4 |- ( s e. ~P J <-> s C_ J )
2 simp1l 1012 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> J e. Comp )
3 simp2 989 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> s C_ J )
4 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
54cldopn 18766 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ S ) e. J )
65adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ S ) e. J )
763ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. J \ S ) e. J )
87snssd 4125 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> { ( U. J \ S ) } C_ J )
93, 8unssd 3639 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J )
10 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. s )
11 uniss 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s C_ J -> U. s C_ U. J )
12113ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. s C_ U. J )
1310, 12sstrd 3473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. J )
14 undif 3866 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. J <-> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
1513, 14sylib 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
16 unss1 3632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. s -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
17163ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
1815, 17eqsstr3d 3498 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
19 difss 3590 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U. J \ S ) C_ U. J
2012, 19jctir 538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) )
21 unss 3637 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) <-> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2318, 22eqssd 3480 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
24 uniexg 6486 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J ) -> U. J e. _V )
26253adant3 1008 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J e. _V )
27 difexg 4547 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ S ) e. _V )
28 unisng 4214 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. J \ S ) e. _V -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
2926, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
3029uneq2d 3617 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
3123, 30eqtr4d 2498 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) )
32 uniun 4217 . . . . . . . 8 |- U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } )
3331, 32syl6eqr 2513 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
344cmpcov 19123 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J /\ U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
352, 9, 33, 34syl3anc 1219 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
36 elfpw 7723 . . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) <-> ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) )
37 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
38 uncom 3607 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( { ( U. J \ S ) } u. s )
3937, 38syl6sseq 3509 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) )
40 ssundif 3869 . . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) <-> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
42 diffi 7653 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. Fin -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
44433adant3 1008 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
45 elfpw 7723 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s /\ ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin ) )
4641, 44, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) )
47103ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. s )
48123ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. J )
49 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. J = U. u )
5048, 49sseqtrd 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. u )
5147, 50sstrd 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. u )
5251sselda 3463 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> v e. U. u )
53 eluni 4201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U. u <-> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
55 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w ) )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u ) )
59 elndif 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. S -> -. v e. ( U. J \ S ) )
6059ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. v e. ( U. J \ S ) )
61 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w <-> v e. ( U. J \ S ) ) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6660, 65mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. w = ( U. J \ S ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
6867adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
69 elsn 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { ( U. J \ S ) } <-> w = ( U. J \ S ) )
7069notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. w e. { ( U. J \ S ) } <-> -. w = ( U. J \ S ) )
7168, 70syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7258, 71jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) ) )
73 eldif 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7472, 73syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7556, 74jcad 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7675eximdv 1677 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( E. w ( v e. w /\ w e. u ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7754, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7877ex 434 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
79 eluni 4201 . . . . . . . . . . 11 |- ( v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8078, 79syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8180ssrdv 3469 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
82 unieq 4206 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> U. t = U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
8382sseq2d 3491 . . . . . . . . . 10 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> ( S C_ U. t <-> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8483rspcev 3177 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) /\ S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8546, 81, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8636, 85syl3an2b 1256 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8786rexlimdv3a 2947 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
8835, 87mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
89883exp 1187 . . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s C_ J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
901, 89syl5bi 217 . . 3 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s e. ~P J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9190ralrimiv 2827 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
92 cmptop 19129 . . 3 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
934cldss 18764 . . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
944cmpsub 19134 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9592, 93, 94syl2an 477 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9691, 95mpbird 232 1 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076   \ cdif 3432   u. cun 3433   i^i cin 3434   C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   {csn 3984   U.cuni 4198   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   ↾t crest 14477   Topctop 18629   Clsdccld 18751   Compccmp 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-fin 7423  df-fi 7771  df-rest 14479  df-topgen 14500  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-cld 18754  df-cmp 19121
This theorem is referenced by:  hausllycmp  19229  cldllycmp  19230  txkgen  19356  cmphaushmeo  19504  cnheiborlem  20657  cmpcmet  20959  stoweidlem28  29970  stoweidlem50  29992  stoweidlem57  29999
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