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Theorem cmpcld 20466
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )

Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables  t 
s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3970 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P J  <->  s  C_  J )
2 simp1l 1038 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  J  e.  Comp )
3 simp2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
s  C_  J )
4 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 20095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
65adantl 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
763ad2ant1 1035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. J  \  S )  e.  J
)
87snssd 4130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  { ( U. J  \  S ) }  C_  J )
93, 8unssd 3622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  J )
10 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. s )
11 uniss 4233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  J  ->  U. s  C_ 
U. J )
12113ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. s  C_  U. J
)
1310, 12sstrd 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. J )
14 undif 3860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. J  <->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) )  = 
U. J )
1513, 14sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  =  U. J
)
16 unss1 3615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. s  ->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) ) 
C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
17163ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
1815, 17eqsstr3d 3479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
19 difss 3572 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  S )  C_  U. J
2012, 19jctir 545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J ) )
21 unss 3620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J
)  <->  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2220, 21sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2318, 22eqssd 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
24 uniexg 6615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2524ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J )  ->  U. J  e.  _V )
26253adant3 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  e.  _V )
27 difexg 4565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  S
)  e.  _V )
28 unisng 4228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. J  \  S
)  e.  _V  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
3029uneq2d 3600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
3123, 30eqtr4d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  U. {
( U. J  \  S ) } ) )
32 uniun 4231 . . . . . . . 8  |-  U. (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  =  ( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )
3331, 32syl6eqr 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  U. ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) )
344cmpcov 20453 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  C_  J  /\  U. J  = 
U. ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u )
352, 9, 33, 34syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u
)
36 elfpw 7902 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  i^i 
Fin )  <->  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )
37 simp2l 1040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )
38 uncom 3590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  =  ( { ( U. J  \  S ) }  u.  s )
3937, 38syl6sseq 3490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
) )
40 ssundif 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
)  <->  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
4139, 40sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
42 diffi 7829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
4342ad2antll 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
44433adant3 1034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
45 elfpw 7902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { ( U. J  \  S
) } )  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  <->  ( (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  C_  s  /\  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin ) )
4641, 44, 45sylanbrc 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )
47103ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. s )
48123ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. J
)
49 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. J  =  U. u )
5048, 49sseqtrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. u
)
5147, 50sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. u )
5251sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  U. u
)
53 eluni 4215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U. u  <->  E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  u
) )
5452, 53sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u ) )
55 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w ) )
57 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u ) )
59 elndif 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  S  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
6059ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
61 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  <->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) )
6261biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  -> 
v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  ( v  e.  w  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) ) )
6463com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) ) )
6564imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6660, 65mtod 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
6766ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S
) ) )
6867adantrd 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) ) )
69 elsn 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  { ( U. J  \  S ) }  <-> 
w  =  ( U. J  \  S ) )
7069notbii 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) }  <->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
7168, 70syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  e.  { ( U. J  \  S ) } ) )
7258, 71jcad 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
w  e.  u  /\  -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) } ) ) )
73 eldif 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  <-> 
( w  e.  u  /\  -.  w  e.  {
( U. J  \  S ) } ) )
7472, 73syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7556, 74jcad 540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7675eximdv 1775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7754, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7877ex 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
79 eluni 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } )  <->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
8078, 79syl6ibr 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  v  e.  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8180ssrdv 3450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } ) )
82 unieq 4220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  U. t  =  U. ( u  \  { ( U. J  \  S
) } ) )
8382sseq2d 3472 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  ( S  C_  U. t  <->  S  C_  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8483rspcev 3162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  S  C_ 
U. ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8546, 81, 84syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
8636, 85syl3an2b 1313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  u  e.  ( ~P ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. u
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8786rexlimdv3a 2893 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) )
8835, 87mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
89883exp 1214 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  C_  J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
901, 89syl5bi 225 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  e.  ~P J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9190ralrimiv 2812 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) )
92 cmptop 20459 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
934cldss 20093 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
944cmpsub 20464 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) ) )
9592, 93, 94syl2an 484 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J
( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9691, 95mpbird 240 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   ↾t crest 15368   Topctop 19966   Clsdccld 20080   Compccmp 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951  df-rest 15370  df-topgen 15391  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-cld 20083  df-cmp 20451
This theorem is referenced by:  hausllycmp  20558  cldllycmp  20559  txkgen  20716  cmphaushmeo  20864  cnheiborlem  22031  cmpcmet  22336  stoweidlem28  37926  stoweidlem50  37949  stoweidlem57  37956
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