MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcld Structured version   Unicode version
Theorem cmpcld 18847
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables t s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3855 . . . 4 |- ( s e. ~P J <-> s C_ J )
2 simp1l 1005 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> J e. Comp )
3 simp2 982 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> s C_ J )
4 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
54cldopn 18477 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ S ) e. J )
65adantl 463 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ S ) e. J )
763ad2ant1 1002 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. J \ S ) e. J )
87snssd 4006 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> { ( U. J \ S ) } C_ J )
93, 8unssd 3520 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J )
10 simp3 983 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. s )
11 uniss 4100 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s C_ J -> U. s C_ U. J )
12113ad2ant2 1003 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. s C_ U. J )
1310, 12sstrd 3354 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. J )
14 undif 3747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. J <-> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
1513, 14sylib 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
16 unss1 3513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. s -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
17163ad2ant3 1004 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
1815, 17eqsstr3d 3379 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
19 difss 3471 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U. J \ S ) C_ U. J
2012, 19jctir 535 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) )
21 unss 3518 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) <-> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2318, 22eqssd 3361 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
24 uniexg 6366 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
2524ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J ) -> U. J e. _V )
26253adant3 1001 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J e. _V )
27 difexg 4428 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ S ) e. _V )
28 unisng 4095 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. J \ S ) e. _V -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
2926, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
3029uneq2d 3498 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
3123, 30eqtr4d 2468 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) )
32 uniun 4098 . . . . . . . 8 |- U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } )
3331, 32syl6eqr 2483 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
344cmpcov 18834 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J /\ U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
352, 9, 33, 34syl3anc 1211 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
36 elfpw 7601 . . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) <-> ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) )
37 simp2l 1007 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
38 uncom 3488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( { ( U. J \ S ) } u. s )
3937, 38syl6sseq 3390 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) )
40 ssundif 3750 . . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) <-> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
42 diffi 7531 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. Fin -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
4342ad2antll 721 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
44433adant3 1001 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
45 elfpw 7601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s /\ ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin ) )
4641, 44, 45sylanbrc 657 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) )
47103ad2ant1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. s )
48123ad2ant1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. J )
49 simp3 983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. J = U. u )
5048, 49sseqtrd 3380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. u )
5147, 50sstrd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. u )
5251sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> v e. U. u )
53 eluni 4082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U. u <-> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
55 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w ) )
57 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u ) )
59 elndif 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. S -> -. v e. ( U. J \ S ) )
6059ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. v e. ( U. J \ S ) )
61 eleq2 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w <-> v e. ( U. J \ S ) ) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6660, 65mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. w = ( U. J \ S ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
6867adantrd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
69 elsn 3879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { ( U. J \ S ) } <-> w = ( U. J \ S ) )
7069notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. w e. { ( U. J \ S ) } <-> -. w = ( U. J \ S ) )
7168, 70syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7258, 71jcad 530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) ) )
73 eldif 3326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7472, 73syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7556, 74jcad 530 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7675eximdv 1675 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( E. w ( v e. w /\ w e. u ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7754, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7877ex 434 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
79 eluni 4082 . . . . . . . . . . 11 |- ( v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8078, 79syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8180ssrdv 3350 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
82 unieq 4087 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> U. t = U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
8382sseq2d 3372 . . . . . . . . . 10 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> ( S C_ U. t <-> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8483rspcev 3062 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) /\ S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8546, 81, 84syl2anc 654 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8636, 85syl3an2b 1248 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8786rexlimdv3a 2833 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
8835, 87mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
89883exp 1179 . . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s C_ J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
901, 89syl5bi 217 . . 3 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s e. ~P J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9190ralrimiv 2788 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
92 cmptop 18840 . . 3 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
934cldss 18475 . . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
944cmpsub 18845 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9592, 93, 94syl2an 474 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9691, 95mpbird 232 1 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   E.wex 1589   e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962   \ cdif 3313   u. cun 3314   i^i cin 3315   C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   {csn 3865   U.cuni 4079   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   ↾t crest 14342   Topctop 18340   Clsdccld 18462   Compccmp 18831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-fin 7302  df-fi 7649  df-rest 14344  df-topgen 14365  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-cld 18465  df-cmp 18832
This theorem is referenced by:  hausllycmp  18940  cldllycmp  18941  txkgen  19067  cmphaushmeo  19215  cnheiborlem  20368  cmpcmet  20670  stoweidlem28  29669  stoweidlem50  29691  stoweidlem57  29698
  Copyright terms: Public domain W3C validator