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Theorem cmpcld 20466
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables t s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3970 . . . 4 |- ( s e. ~P J <-> s C_ J )
2 simp1l 1038 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> J e. Comp )
3 simp2 1015 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> s C_ J )
4 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
54cldopn 20095 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ S ) e. J )
65adantl 472 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ S ) e. J )
763ad2ant1 1035 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. J \ S ) e. J )
87snssd 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> { ( U. J \ S ) } C_ J )
93, 8unssd 3622 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J )
10 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. s )
11 uniss 4233 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s C_ J -> U. s C_ U. J )
12113ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. s C_ U. J )
1310, 12sstrd 3454 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. J )
14 undif 3860 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. J <-> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
1513, 14sylib 201 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
16 unss1 3615 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. s -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
17163ad2ant3 1037 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
1815, 17eqsstr3d 3479 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
19 difss 3572 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U. J \ S ) C_ U. J
2012, 19jctir 545 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) )
21 unss 3620 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) <-> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2220, 21sylib 201 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2318, 22eqssd 3461 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
24 uniexg 6615 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
2524ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J ) -> U. J e. _V )
26253adant3 1034 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J e. _V )
27 difexg 4565 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ S ) e. _V )
28 unisng 4228 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. J \ S ) e. _V -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
3029uneq2d 3600 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
3123, 30eqtr4d 2499 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) )
32 uniun 4231 . . . . . . . 8 |- U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } )
3331, 32syl6eqr 2514 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
344cmpcov 20453 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J /\ U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
352, 9, 33, 34syl3anc 1276 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
36 elfpw 7902 . . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) <-> ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) )
37 simp2l 1040 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
38 uncom 3590 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( { ( U. J \ S ) } u. s )
3937, 38syl6sseq 3490 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) )
40 ssundif 3863 . . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) <-> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
4139, 40sylib 201 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
42 diffi 7829 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. Fin -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
4342ad2antll 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
44433adant3 1034 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
45 elfpw 7902 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s /\ ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin ) )
4641, 44, 45sylanbrc 675 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) )
47103ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. s )
48123ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. J )
49 simp3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. J = U. u )
5048, 49sseqtrd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. u )
5147, 50sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. u )
5251sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> v e. U. u )
53 eluni 4215 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U. u <-> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
5452, 53sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
55 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w ) )
57 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u ) )
59 elndif 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. S -> -. v e. ( U. J \ S ) )
6059ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. v e. ( U. J \ S ) )
61 eleq2 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w <-> v e. ( U. J \ S ) ) )
6261biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6463com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6564imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6660, 65mtod 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. w = ( U. J \ S ) )
6766ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
6867adantrd 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
69 elsn 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { ( U. J \ S ) } <-> w = ( U. J \ S ) )
7069notbii 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. w e. { ( U. J \ S ) } <-> -. w = ( U. J \ S ) )
7168, 70syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7258, 71jcad 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) ) )
73 eldif 3426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7472, 73syl6ibr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7556, 74jcad 540 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7675eximdv 1775 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( E. w ( v e. w /\ w e. u ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7754, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7877ex 440 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
79 eluni 4215 . . . . . . . . . . 11 |- ( v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8078, 79syl6ibr 235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8180ssrdv 3450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
82 unieq 4220 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> U. t = U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
8382sseq2d 3472 . . . . . . . . . 10 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> ( S C_ U. t <-> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8483rspcev 3162 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) /\ S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8546, 81, 84syl2anc 671 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8636, 85syl3an2b 1313 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8786rexlimdv3a 2893 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
8835, 87mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
89883exp 1214 . . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s C_ J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
901, 89syl5bi 225 . . 3 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s e. ~P J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9190ralrimiv 2812 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
92 cmptop 20459 . . 3 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
934cldss 20093 . . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
944cmpsub 20464 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9592, 93, 94syl2an 484 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9691, 95mpbird 240 1 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   E.wex 1674   e. wcel 1898   A.wral 2749   E.wrex 2750   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   ~Pcpw 3963   {csn 3980   U.cuni 4212   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   ↾t crest 15368   Topctop 19966   Clsdccld 20080   Compccmp 20450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-fin 7599  df-fi 7951  df-rest 15370  df-topgen 15391  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-cld 20083  df-cmp 20451
This theorem is referenced by:  hausllycmp  20558  cldllycmp  20559  txkgen  20716  cmphaushmeo  20864  cnheiborlem  22031  cmpcmet  22336  stoweidlem28  37926  stoweidlem50  37949  stoweidlem57  37956
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