MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcld Structured version   Unicode version
Theorem cmpcld 18985
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables t s u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3862 . . . 4 |- ( s e. ~P J <-> s C_ J )
2 simp1l 1012 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> J e. Comp )
3 simp2 989 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> s C_ J )
4 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12 |- U. J = U. J
54cldopn 18615 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> ( U. J \ S ) e. J )
65adantl 466 . . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( U. J \ S ) e. J )
763ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. J \ S ) e. J )
87snssd 4013 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> { ( U. J \ S ) } C_ J )
93, 8unssd 3527 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J )
10 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. s )
11 uniss 4107 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s C_ J -> U. s C_ U. J )
12113ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. s C_ U. J )
1310, 12sstrd 3361 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> S C_ U. J )
14 undif 3754 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. J <-> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
1513, 14sylib 196 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) = U. J )
16 unss1 3520 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S C_ U. s -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
17163ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( S u. ( U. J \ S ) ) C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
1815, 17eqsstr3d 3386 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J C_ ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
19 difss 3478 . . . . . . . . . . . 12 |- ( U. J \ S ) C_ U. J
2012, 19jctir 538 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) )
21 unss 3525 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. s C_ U. J /\ ( U. J \ S ) C_ U. J ) <-> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. ( U. J \ S ) ) C_ U. J )
2318, 22eqssd 3368 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
24 uniexg 6372 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Comp -> U. J e. _V )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J ) -> U. J e. _V )
26253adant3 1008 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J e. _V )
27 difexg 4435 . . . . . . . . . . 11 |- ( U. J e. _V -> ( U. J \ S ) e. _V )
28 unisng 4102 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( U. J \ S ) e. _V -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
2926, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. { ( U. J \ S ) } = ( U. J \ S ) )
3029uneq2d 3505 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. ( U. J \ S ) ) )
3123, 30eqtr4d 2473 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } ) )
32 uniun 4105 . . . . . . . 8 |- U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( U. s u. U. { ( U. J \ S ) } )
3331, 32syl6eqr 2488 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
344cmpcov 18972 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) C_ J /\ U. J = U. ( s u. { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
352, 9, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u )
36 elfpw 7605 . . . . . . . 8 |- ( u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) <-> ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) )
37 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) )
38 uncom 3495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( s u. { ( U. J \ S ) } ) = ( { ( U. J \ S ) } u. s )
3937, 38syl6sseq 3397 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) )
40 ssundif 3757 . . . . . . . . . . 11 |- ( u C_ ( { ( U. J \ S ) } u. s ) <-> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s )
42 diffi 7535 . . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. Fin -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
44433adant3 1008 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin )
45 elfpw 7605 . . . . . . . . . 10 |- ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) <-> ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) C_ s /\ ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. Fin ) )
4641, 44, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) )
47103ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. s )
48123ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. J )
49 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. J = U. u )
5048, 49sseqtrd 3387 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> U. s C_ U. u )
5147, 50sstrd 3361 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. u )
5251sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> v e. U. u )
53 eluni 4089 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v e. U. u <-> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. u ) )
55 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> v e. w ) )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. u ) )
59 elndif 3475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( v e. S -> -. v e. ( U. J \ S ) )
6059ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. v e. ( U. J \ S ) )
61 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w <-> v e. ( U. J \ S ) ) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> ( v e. w -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> ( w = ( U. J \ S ) -> v e. ( U. J \ S ) ) )
6660, 65mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) /\ v e. w ) -> -. w = ( U. J \ S ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( v e. w -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
6867adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w = ( U. J \ S ) ) )
69 elsn 3886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. { ( U. J \ S ) } <-> w = ( U. J \ S ) )
7069notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. w e. { ( U. J \ S ) } <-> -. w = ( U. J \ S ) )
7168, 70syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7258, 71jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) ) )
73 eldif 3333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> ( w e. u /\ -. w e. { ( U. J \ S ) } ) )
7472, 73syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7556, 74jcad 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( ( v e. w /\ w e. u ) -> ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7675eximdv 1676 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> ( E. w ( v e. w /\ w e. u ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
7754, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) /\ v e. S ) -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
7877ex 434 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) ) )
79 eluni 4089 . . . . . . . . . . 11 |- ( v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) <-> E. w ( v e. w /\ w e. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8078, 79syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> ( v e. S -> v e. U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8180ssrdv 3357 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
82 unieq 4094 . . . . . . . . . . 11 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> U. t = U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) )
8382sseq2d 3379 . . . . . . . . . 10 |- ( t = ( u \ { ( U. J \ S ) } ) -> ( S C_ U. t <-> S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) )
8483rspcev 3068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( u \ { ( U. J \ S ) } ) e. ( ~P s i^i Fin ) /\ S C_ U. ( u \ { ( U. J \ S ) } ) ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8546, 81, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ ( u C_ ( s u. { ( U. J \ S ) } ) /\ u e. Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8636, 85syl3an2b 1255 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) /\ u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) /\ U. J = U. u ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
8786rexlimdv3a 2838 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> ( E. u e. ( ~P ( s u. { ( U. J \ S ) } ) i^i Fin ) U. J = U. u -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
8835, 87mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) /\ s C_ J /\ S C_ U. s ) -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t )
89883exp 1186 . . . 4 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s C_ J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
901, 89syl5bi 217 . . 3 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( s e. ~P J -> ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9190ralrimiv 2793 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) )
92 cmptop 18978 . . 3 |- ( J e. Comp -> J e. Top )
934cldss 18613 . . 3 |- ( S e. ( Clsd ` J ) -> S C_ U. J )
944cmpsub 18983 . . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ U. J ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9592, 93, 94syl2an 477 . 2 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( ( J ↾t S ) e. Comp <-> A. s e. ~P J ( S C_ U. s -> E. t e. ( ~P s i^i Fin ) S C_ U. t ) ) )
9691, 95mpbird 232 1 |- ( ( J e. Comp /\ S e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t S ) e. Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   \ cdif 3320   u. cun 3321   i^i cin 3322   C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {csn 3872   U.cuni 4086   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   ↾t crest 14351   Topctop 18478   Clsdccld 18600   Compccmp 18969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-fin 7306  df-fi 7653  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-cld 18603  df-cmp 18970
This theorem is referenced by:  hausllycmp  19078  cldllycmp  19079  txkgen  19205  cmphaushmeo  19353  cnheiborlem  20506  cmpcmet  20808  stoweidlem28  29794  stoweidlem50  29816  stoweidlem57  29823
  Copyright terms: Public domain W3C validator