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Theorem cmpcld 20403
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )

Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables  t 
s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3986 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P J  <->  s  C_  J )
2 simp1l 1029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  J  e.  Comp )
3 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
s  C_  J )
4 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 20032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
65adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
763ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. J  \  S )  e.  J
)
87snssd 4142 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  { ( U. J  \  S ) }  C_  J )
93, 8unssd 3642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  J )
10 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. s )
11 uniss 4237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  J  ->  U. s  C_ 
U. J )
12113ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. s  C_  U. J
)
1310, 12sstrd 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. J )
14 undif 3876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. J  <->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) )  = 
U. J )
1513, 14sylib 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  =  U. J
)
16 unss1 3635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. s  ->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) ) 
C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
17163ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
1815, 17eqsstr3d 3499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
19 difss 3592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  S )  C_  U. J
2012, 19jctir 540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J ) )
21 unss 3640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J
)  <->  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2220, 21sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2318, 22eqssd 3481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
24 uniexg 6598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2524ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J )  ->  U. J  e.  _V )
26253adant3 1025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  e.  _V )
27 difexg 4568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  S
)  e.  _V )
28 unisng 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. J  \  S
)  e.  _V  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
3029uneq2d 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
3123, 30eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  U. {
( U. J  \  S ) } ) )
32 uniun 4235 . . . . . . . 8  |-  U. (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  =  ( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )
3331, 32syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  U. ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) )
344cmpcov 20390 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  C_  J  /\  U. J  = 
U. ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u )
352, 9, 33, 34syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u
)
36 elfpw 7878 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  i^i 
Fin )  <->  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )
37 simp2l 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )
38 uncom 3610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  =  ( { ( U. J  \  S ) }  u.  s )
3937, 38syl6sseq 3510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
) )
40 ssundif 3879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
)  <->  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
4139, 40sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
42 diffi 7805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
4342ad2antll 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
44433adant3 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
45 elfpw 7878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { ( U. J  \  S
) } )  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  <->  ( (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  C_  s  /\  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin ) )
4641, 44, 45sylanbrc 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )
47103ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. s )
48123ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. J
)
49 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. J  =  U. u )
5048, 49sseqtrd 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. u
)
5147, 50sstrd 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. u )
5251sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  U. u
)
53 eluni 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U. u  <->  E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  u
) )
5452, 53sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u ) )
55 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w ) )
57 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u ) )
59 elndif 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  S  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
6059ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
61 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  <->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) )
6261biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  -> 
v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  ( v  e.  w  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) ) )
6463com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) ) )
6564imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6660, 65mtod 180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
6766ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S
) ) )
6867adantrd 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) ) )
69 elsn 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  { ( U. J  \  S ) }  <-> 
w  =  ( U. J  \  S ) )
7069notbii 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) }  <->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
7168, 70syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  e.  { ( U. J  \  S ) } ) )
7258, 71jcad 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
w  e.  u  /\  -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) } ) ) )
73 eldif 3446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  <-> 
( w  e.  u  /\  -.  w  e.  {
( U. J  \  S ) } ) )
7472, 73syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7556, 74jcad 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7675eximdv 1754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7754, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7877ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
79 eluni 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } )  <->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
8078, 79syl6ibr 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  v  e.  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8180ssrdv 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } ) )
82 unieq 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  U. t  =  U. ( u  \  { ( U. J  \  S
) } ) )
8382sseq2d 3492 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  ( S  C_  U. t  <->  S  C_  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8483rspcev 3182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  S  C_ 
U. ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8546, 81, 84syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
8636, 85syl3an2b 1301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  u  e.  ( ~P ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. u
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8786rexlimdv3a 2919 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) )
8835, 87mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
89883exp 1204 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  C_  J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
901, 89syl5bi 220 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  e.  ~P J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9190ralrimiv 2837 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) )
92 cmptop 20396 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
934cldss 20030 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
944cmpsub 20401 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) ) )
9592, 93, 94syl2an 479 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J
( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9691, 95mpbird 235 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   U.cuni 4216   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   Fincfn 7573   ↾t crest 15306   Topctop 19903   Clsdccld 20017   Compccmp 20387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-fin 7577  df-fi 7927  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cld 20020  df-cmp 20388
This theorem is referenced by:  hausllycmp  20495  cldllycmp  20496  txkgen  20653  cmphaushmeo  20801  cnheiborlem  21968  cmpcmet  22273  stoweidlem28  37707  stoweidlem50  37730  stoweidlem57  37737
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