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Theorem cmpcld 19136
Description: A closed subset of a compact space is compact. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Jun-2009.)
Assertion
Ref Expression
cmpcld  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )

Proof of Theorem cmpcld
Dummy variables  t 
s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 selpw 3974 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P J  <->  s  C_  J )
2 simp1l 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  J  e.  Comp )
3 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
s  C_  J )
4 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
54cldopn 18766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
65adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J )
763ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. J  \  S )  e.  J
)
87snssd 4125 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  { ( U. J  \  S ) }  C_  J )
93, 8unssd 3639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  J )
10 simp3 990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. s )
11 uniss 4219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s 
C_  J  ->  U. s  C_ 
U. J )
12113ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. s  C_  U. J
)
1310, 12sstrd 3473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  S  C_  U. J )
14 undif 3866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. J  <->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) )  = 
U. J )
1513, 14sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  =  U. J
)
16 unss1 3632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  U. s  ->  ( S  u.  ( U. J  \  S ) ) 
C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
17163ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( S  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
1815, 17eqsstr3d 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  C_  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
19 difss 3590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. J  \  S )  C_  U. J
2012, 19jctir 538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J ) )
21 unss 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. s  C_  U. J  /\  ( U. J  \  S )  C_  U. J
)  <->  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u.  ( U. J  \  S ) )  C_  U. J )
2318, 22eqssd 3480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
24 uniexg 6486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Comp  ->  U. J  e.  _V )
2524ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J )  ->  U. J  e.  _V )
26253adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  e.  _V )
27 difexg 4547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. J  e.  _V  ->  ( U. J  \  S
)  e.  _V )
28 unisng 4214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U. J  \  S
)  e.  _V  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
2926, 27, 283syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. { ( U. J  \  S ) }  =  ( U. J  \  S
) )
3029uneq2d 3617 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )  =  ( U. s  u.  ( U. J  \  S ) ) )
3123, 30eqtr4d 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  ( U. s  u.  U. {
( U. J  \  S ) } ) )
32 uniun 4217 . . . . . . . 8  |-  U. (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  =  ( U. s  u. 
U. { ( U. J  \  S ) } )
3331, 32syl6eqr 2513 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  U. J  =  U. ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } ) )
344cmpcov 19123 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  C_  J  /\  U. J  = 
U. ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u )
352, 9, 33, 34syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. u  e.  ( ~P ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u
)
36 elfpw 7723 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( ~P (
s  u.  { ( U. J  \  S
) } )  i^i 
Fin )  <->  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )
37 simp2l 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } ) )
38 uncom 3607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  =  ( { ( U. J  \  S ) }  u.  s )
3937, 38syl6sseq 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  u  C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
) )
40 ssundif 3869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u 
C_  ( { ( U. J  \  S
) }  u.  s
)  <->  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) 
C_  s )
42 diffi 7653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin ) )  ->  (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
44433adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin )
45 elfpw 7723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  \  { ( U. J  \  S
) } )  e.  ( ~P s  i^i 
Fin )  <->  ( (
u  \  { ( U. J  \  S ) } )  C_  s  /\  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  Fin ) )
4641, 44, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) )
47103ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. s )
48123ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. J
)
49 simp3 990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. J  =  U. u )
5048, 49sseqtrd 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  U. s  C_  U. u
)
5147, 50sstrd 3473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. u )
5251sselda 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  v  e.  U. u
)
53 eluni 4201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  e.  U. u  <->  E. w
( v  e.  w  /\  w  e.  u
) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u ) )
55 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w )
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  v  e.  w ) )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  u ) )
59 elndif 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  S  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
6059ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  v  e.  ( U. J  \  S ) )
61 eleq2 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  <->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) )
6261biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  (
v  e.  w  -> 
v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  ( v  e.  w  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) ) )
6463com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  ( w  =  ( U. J  \  S
)  ->  v  e.  ( U. J  \  S
) ) ) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  ( w  =  ( U. J  \  S )  ->  v  e.  ( U. J  \  S ) ) )
6660, 65mtod 177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  /\  v  e.  w
)  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
6766ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( v  e.  w  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S
) ) )
6867adantrd 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) ) )
69 elsn 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  { ( U. J  \  S ) }  <-> 
w  =  ( U. J  \  S ) )
7069notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) }  <->  -.  w  =  ( U. J  \  S ) )
7168, 70syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  -.  w  e.  { ( U. J  \  S ) } ) )
7258, 71jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
w  e.  u  /\  -.  w  e.  { ( U. J  \  S
) } ) ) )
73 eldif 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  <-> 
( w  e.  u  /\  -.  w  e.  {
( U. J  \  S ) } ) )
7472, 73syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7556, 74jcad 533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  (
v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7675eximdv 1677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  ( E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  u )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
7754, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s )  /\  (
u  C_  ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  /\  v  e.  S )  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
7877ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) ) )
79 eluni 4201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } )  <->  E. w ( v  e.  w  /\  w  e.  ( u  \  {
( U. J  \  S ) } ) ) )
8078, 79syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  -> 
( v  e.  S  ->  v  e.  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8180ssrdv 3469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  S  C_  U. ( u 
\  { ( U. J  \  S ) } ) )
82 unieq 4206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  U. t  =  U. ( u  \  { ( U. J  \  S
) } ) )
8382sseq2d 3491 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( u  \  { ( U. J  \  S ) } )  ->  ( S  C_  U. t  <->  S  C_  U. (
u  \  { ( U. J  \  S ) } ) ) )
8483rspcev 3177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  \  {
( U. J  \  S ) } )  e.  ( ~P s  i^i  Fin )  /\  S  C_ 
U. ( u  \  { ( U. J  \  S ) } ) )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8546, 81, 84syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  ( u  C_  ( s  u.  {
( U. J  \  S ) } )  /\  u  e.  Fin )  /\  U. J  = 
U. u )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
8636, 85syl3an2b 1256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
Comp  /\  S  e.  (
Clsd `  J )
)  /\  s  C_  J  /\  S  C_  U. s
)  /\  u  e.  ( ~P ( s  u. 
{ ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin )  /\  U. J  =  U. u
)  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t )
8786rexlimdv3a 2947 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  -> 
( E. u  e.  ( ~P ( s  u.  { ( U. J  \  S ) } )  i^i  Fin ) U. J  =  U. u  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) )
8835, 87mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  s  C_  J  /\  S  C_ 
U. s )  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t )
89883exp 1187 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  C_  J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
901, 89syl5bi 217 . . 3  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
s  e.  ~P J  ->  ( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9190ralrimiv 2827 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) )
92 cmptop 19129 . . 3  |-  ( J  e.  Comp  ->  J  e. 
Top )
934cldss 18764 . . 3  |-  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  ->  S  C_  U. J
)
944cmpsub 19134 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( ( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J ( S 
C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i 
Fin ) S  C_  U. t ) ) )
9592, 93, 94syl2an 477 . 2  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  (
( Jt  S )  e.  Comp  <->  A. s  e.  ~P  J
( S  C_  U. s  ->  E. t  e.  ( ~P s  i^i  Fin ) S  C_  U. t
) ) )
9691, 95mpbird 232 1  |-  ( ( J  e.  Comp  /\  S  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( Jt  S )  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    \ cdif 3432    u. cun 3433    i^i cin 3434    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   {csn 3984   U.cuni 4198   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   Fincfn 7419   ↾t crest 14477   Topctop 18629   Clsdccld 18751   Compccmp 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-fin 7423  df-fi 7771  df-rest 14479  df-topgen 14500  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-cld 18754  df-cmp 19121
This theorem is referenced by:  hausllycmp  19229  cldllycmp  19230  txkgen  19356  cmphaushmeo  19504  cnheiborlem  20657  cmpcmet  20959  stoweidlem28  29970  stoweidlem50  29992  stoweidlem57  29999
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