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Theorem cmetss 22276
Description: A subspace of a complete metric space is complete iff it is closed in the parent space. Theorem 1.4-7 of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cmetss.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
cmetss  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )

Proof of Theorem cmetss
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetmet 22248 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 21341 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
31, 2syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
43adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
5 cmetss.2 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
65mopntopon 21446 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
74, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
8 resss 5145 . . . . . . . 8  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  D
9 dmss 5051 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  D  ->  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  D )
10 dmss 5051 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  D  ->  dom 
dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  C_  dom  dom 
D )
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7  |-  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) 
C_  dom  dom  D
12 cmetmet 22248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y ) )
13 metdmdm 21343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  ->  Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )
15 metdmdm 21343 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
161, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  =  dom  dom  D )
17 sseq12 3488 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  =  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  /\  X  =  dom  dom 
D )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1814, 16, 17syl2anr 481 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  C_  X  <->  dom  dom  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  C_  dom  dom  D ) )
1911, 18mpbiri 237 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_  X )
20 flimcls 20992 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
217, 19, 20syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  <->  E. f  e.  ( Fil `  X
) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
22 simprrr 774 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  ( J  fLim  f ) )
234adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
245methaus 21527 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
25 hausflimi 20987 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2623, 24, 253syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  f ) )
2723, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
28 simprl 763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  X ) )
29 simprrl 773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
30 flimrest 20990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  f )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
3219adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
33 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
34 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
3533, 5, 34metrest 21531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3623, 32, 35syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( Jt  Y
)  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
3736oveq1d 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  (
ft 
Y ) )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( ft  Y ) ) )
3831, 37eqtr3d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) ) )
39 simplr 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  (
CMet `  Y )
)
405flimcfil 22275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  x  e.  ( J  fLim  f )
)  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
4123, 22, 40syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  f  e.  (CauFil `  D ) )
42 cfilres 22258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  f  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  f )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4323, 28, 29, 42syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( f  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ft  Y )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) ) )
4441, 43mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
4534cmetcvg 22247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( ft  Y
)  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4639, 44, 45syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( ft  Y ) )  =/=  (/) )
4738, 46eqnetrd 2718 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( ( J  fLim  f )  i^i 
Y )  =/=  (/) )
48 n0 3772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f )  i^i  Y ) )
49 elin 3650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( ( J 
fLim  f )  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5049exbii 1713 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  x  e.  ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  x  e.  Y ) )
5148, 50bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  fLim  f
)  i^i  Y )  =/=  (/)  <->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y ) )
5247, 51sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )
53 mopick 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ( E* x  x  e.  ( J  fLim  f
)  /\  E. x
( x  e.  ( J  fLim  f )  /\  x  e.  Y
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  ->  x  e.  Y )
)
5426, 52, 53syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  x  e.  Y ) )
5522, 54mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  /\  (
f  e.  ( Fil `  X )  /\  ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) ) ) )  ->  x  e.  Y )
5655rexlimdvaa 2919 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( E. f  e.  ( Fil `  X ) ( Y  e.  f  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  x  e.  Y )
)
5721, 56sylbid 219 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 Y )  ->  x  e.  Y )
)
5857ssrdv 3471 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  C_  Y )
595mopntop 21447 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
604, 59syl 17 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  J  e.  Top )
615mopnuni 21448 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
624, 61syl 17 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  X  =  U. J )
6319, 62sseqtrd 3501 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
64 eqid 2423 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
6564iscld4 20073 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  C_  U. J )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  Y
)  C_  Y )
)
6660, 63, 65syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  ( Y  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  Y )  C_  Y
) )
6758, 66mpbird 236 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )  ->  Y  e.  ( Clsd `  J
) )
681adantr 467 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
6964cldss 20036 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  Y  C_  U. J
)
7069adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_ 
U. J )
7168, 2, 613syl 18 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  X  =  U. J )
7270, 71sseqtr4d 3502 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  Y  C_  X )
73 metres2 21370 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
7468, 72, 73syl2anc 666 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
753ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
7672adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  C_  X )
7775, 76, 35syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( Jt  Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
7877eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( MetOpen
`  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
79 metxmet 21341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( *Met `  Y
) )
8074, 79syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y ) )
81 cfilfil 22229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( *Met `  Y )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y ) )
8280, 81sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( Fil `  Y
) )
83 elfvdm 5905 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
8483ad2antrr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  X  e.  dom  CMet )
85 trfg 20898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  Y )  /\  Y  C_  X  /\  X  e. 
dom  CMet )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8682, 76, 84, 85syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( X filGen f )t  Y )  =  f )
8786eqcomd 2431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  =  ( ( X
filGen f )t  Y ) )
8878, 87oveq12d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) ) )
8975, 6syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
90 filfbas 20855 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  e.  ( fBas `  Y )
)
9182, 90syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  Y
) )
92 filsspw 20858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  C_  ~P Y )
9382, 92syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P Y )
94 sspwb 4668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
9576, 94sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X )
9693, 95sstrd 3475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_ 
~P X )
97 fbasweak 20872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  Y )  /\  f  C_ 
~P X  /\  X  e.  dom  CMet )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
9891, 96, 84, 97syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  e.  ( fBas `  X
) )
99 fgcl 20885 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X ) )
10098, 99syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )
101 ssfg 20879 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
10298, 101syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
103 filtop 20862 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  f )
10482, 103syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  f )
105102, 104sseldd 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  Y  e.  ( X filGen f ) )
106 flimrest 20990 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen f ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i 
Y ) )
10789, 100, 105, 106syl3anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen f )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y ) )
108 flimclsi 20985 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( X filGen f )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  ( ( cls `  J ) `  Y ) )
109105, 108syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  (
( cls `  J
) `  Y )
)
110 cldcls 20049 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  Y )  =  Y )
111110ad2antlr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( cls `  J
) `  Y )  =  Y )
112109, 111sseqtrd 3501 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y
)
113 df-ss 3451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  C_  Y 
<->  ( ( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
114112, 113sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( J  fLim  ( X filGen f ) )  i^i  Y )  =  ( J  fLim  ( X filGen f ) ) )
11588, 107, 1143eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =  ( J 
fLim  ( X filGen f ) ) )
116 simpll 759 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
11768, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
118 cfilresi 22257 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
119117, 118sylan 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)
1205cmetcvg 22247 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  ( X filGen f )  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
121116, 119, 120syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  ( J  fLim  ( X filGen f ) )  =/=  (/) )
122115, 121eqnetrd 2718 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J ) )  /\  f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
123122ralrimiva 2840 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) )
12434iscmet 22246 . . 3  |-  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  e.  ( Met `  Y )  /\  A. f  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  f )  =/=  (/) ) )
12574, 123, 124sylanbrc 669 . 2  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  Y  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
12667, 125impbida 841 1  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  <->  Y  e.  ( Clsd `  J ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869   E*wmo 2267    =/= wne 2619   A.wral 2776   E.wrex 2777    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   U.cuni 4217    X. cxp 4849   dom cdm 4851    |` cres 4853   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   ↾t crest 15312   *Metcxmt 18948   Metcme 18949   fBascfbas 18951   filGencfg 18952   MetOpencmopn 18953   Topctop 19909  TopOnctopon 19910   Clsdccld 20023   clsccl 20025   Hauscha 20316   Filcfil 20852    fLim cflim 20941  CauFilccfil 22214   CMetcms 22216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ico 11643  df-icc 11644  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-haus 20323  df-fil 20853  df-flim 20946  df-cfil 22217  df-cmet 22219
This theorem is referenced by:  recmet  22283  cmsss  22310  bnsscmcl  26502  rrnheibor  32089
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