Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1OLD Structured version   Unicode version

Theorem cmetcusp1OLD 21618
 Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x
cmetcusp1.d
cmetcusp1.u UnifSt
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1OLD CMetSp metUnifOLD CUnifSp

Proof of Theorem cmetcusp1OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 21614 . . . 4 CMetSp
2 msxms 20784 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3 CMetSp
4 cmetcusp1.x . . . 4
5 cmetcusp1.d . . . 4
6 cmetcusp1.u . . . 4 UnifSt
74, 5, 6xmsuspOLD 20915 . . 3 metUnifOLD UnifSp
83, 7syl3an2 1262 . 2 CMetSp metUnifOLD UnifSp
9 simpl3 1001 . . . . . . 7 CMetSp metUnifOLD metUnifOLD
109fveq2d 5870 . . . . . 6 CMetSp metUnifOLD CauFilu CauFilumetUnifOLD
1110eleq2d 2537 . . . . 5 CMetSp metUnifOLD CauFilu CauFilumetUnifOLD
12 simpl1 999 . . . . . 6 CMetSp metUnifOLD
134, 5cmscmet 21612 . . . . . . . . 9 CMetSp
14 cmetmet 21552 . . . . . . . . 9
15 metxmet 20664 . . . . . . . . 9
1613, 14, 153syl 20 . . . . . . . 8 CMetSp
17163ad2ant2 1018 . . . . . . 7 CMetSp metUnifOLD
1817adantr 465 . . . . . 6 CMetSp metUnifOLD
19 simpr 461 . . . . . 6 CMetSp metUnifOLD
20 cfilucfil4OLD 21586 . . . . . 6 CauFilumetUnifOLD CauFil
2112, 18, 19, 20syl3anc 1228 . . . . 5 CMetSp metUnifOLD CauFilumetUnifOLD CauFil
2211, 21bitrd 253 . . . 4 CMetSp metUnifOLD CauFilu CauFil
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
2423iscmet 21550 . . . . . . . . . . 11 CauFil
2524simprbi 464 . . . . . . . . . 10 CauFil
2613, 25syl 16 . . . . . . . . 9 CMetSp CauFil
27 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14
2827, 4, 5xmstopn 20781 . . . . . . . . . . . . 13
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12 CMetSp
3029oveq1d 6300 . . . . . . . . . . 11 CMetSp
3130neeq1d 2744 . . . . . . . . . 10 CMetSp
3231ralbidv 2903 . . . . . . . . 9 CMetSp CauFil CauFil
3326, 32mpbird 232 . . . . . . . 8 CMetSp CauFil
3433r19.21bi 2833 . . . . . . 7 CMetSp CauFil
3534ex 434 . . . . . 6 CMetSp CauFil
36353ad2ant2 1018 . . . . 5 CMetSp metUnifOLD CauFil
3736adantr 465 . . . 4 CMetSp metUnifOLD CauFil
3822, 37sylbid 215 . . 3 CMetSp metUnifOLD CauFilu
3938ralrimiva 2878 . 2 CMetSp metUnifOLD CauFilu
404, 6, 27iscusp2 20632 . 2 CUnifSp UnifSp CauFilu
418, 39, 40sylanbrc 664 1 CMetSp metUnifOLD CUnifSp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  c0 3785   cxp 4997   cres 5001  cfv 5588  (class class class)co 6285  cbs 14493  cds 14567  ctopn 14680  cxmt 18214  cme 18215  cmopn 18219  metUnifOLDcmetuOLD 18220  cfil 20173   cflim 20262  UnifStcuss 20583  UnifSpcusp 20584  CauFiluccfilu 20616  CUnifSpccusp 20627  cxme 20647  cmt 20648  CauFilccfil 21518  cms 21520  CMetSpccms 21598 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ico 11536  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-fbas 18227  df-fg 18228  df-metuOLD 18229  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-fil 20174  df-ust 20530  df-utop 20561  df-usp 20587  df-cfilu 20617  df-cusp 20628  df-xms 20650  df-ms 20651  df-cfil 21521  df-cmet 21523  df-cms 21601 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator