Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmetcusp1 Structured version   Unicode version

Theorem cmetcusp1 21769
 Description: If the uniform set of a complete metric space is the uniform structure generated by its metric, then it is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcusp1.x
cmetcusp1.d
cmetcusp1.u UnifSt
Assertion
Ref Expression
cmetcusp1 CMetSp metUnif CUnifSp

Proof of Theorem cmetcusp1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmsms 21764 . . . 4 CMetSp
2 msxms 20934 . . . 4
31, 2syl 16 . . 3 CMetSp
4 cmetcusp1.x . . . 4
5 cmetcusp1.d . . . 4
6 cmetcusp1.u . . . 4 UnifSt
74, 5, 6xmsusp 21066 . . 3 metUnif UnifSp
83, 7syl3an2 1263 . 2 CMetSp metUnif UnifSp
9 simpl3 1002 . . . . . . 7 CMetSp metUnif metUnif
109fveq2d 5860 . . . . . 6 CMetSp metUnif CauFilu CauFilumetUnif
1110eleq2d 2513 . . . . 5 CMetSp metUnif CauFilu CauFilumetUnif
12 simpl1 1000 . . . . . 6 CMetSp metUnif
134, 5cmscmet 21762 . . . . . . . . 9 CMetSp
14 cmetmet 21702 . . . . . . . . 9
15 metxmet 20814 . . . . . . . . 9
1613, 14, 153syl 20 . . . . . . . 8 CMetSp
17163ad2ant2 1019 . . . . . . 7 CMetSp metUnif
1817adantr 465 . . . . . 6 CMetSp metUnif
19 simpr 461 . . . . . 6 CMetSp metUnif
20 cfilucfil4 21737 . . . . . 6 CauFilumetUnif CauFil
2112, 18, 19, 20syl3anc 1229 . . . . 5 CMetSp metUnif CauFilumetUnif CauFil
2211, 21bitrd 253 . . . 4 CMetSp metUnif CauFilu CauFil
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12
2423iscmet 21700 . . . . . . . . . . 11 CauFil
2524simprbi 464 . . . . . . . . . 10 CauFil
2613, 25syl 16 . . . . . . . . 9 CMetSp CauFil
27 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14
2827, 4, 5xmstopn 20931 . . . . . . . . . . . . 13
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12 CMetSp
3029oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11 CMetSp
3130neeq1d 2720 . . . . . . . . . 10 CMetSp
3231ralbidv 2882 . . . . . . . . 9 CMetSp CauFil CauFil
3326, 32mpbird 232 . . . . . . . 8 CMetSp CauFil
3433r19.21bi 2812 . . . . . . 7 CMetSp CauFil
3534ex 434 . . . . . 6 CMetSp CauFil
36353ad2ant2 1019 . . . . 5 CMetSp metUnif CauFil
3736adantr 465 . . . 4 CMetSp metUnif CauFil
3822, 37sylbid 215 . . 3 CMetSp metUnif CauFilu
3938ralrimiva 2857 . 2 CMetSp metUnif CauFilu
404, 6, 27iscusp2 20782 . 2 CUnifSp UnifSp CauFilu
418, 39, 40sylanbrc 664 1 CMetSp metUnif CUnifSp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  c0 3770   cxp 4987   cres 4991  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14613  cds 14687  ctopn 14800  cxmt 18381  cme 18382  cmopn 18386  metUnifcmetu 18388  cfil 20323   cflim 20412  UnifStcuss 20733  UnifSpcusp 20734  CauFiluccfilu 20766  CUnifSpccusp 20777  cxme 20797  cmt 20798  CauFilccfil 21668  cms 21670  CMetSpccms 21748 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ico 11545  df-topgen 14822  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-metu 18397  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-topsp 19380  df-fil 20324  df-ust 20680  df-utop 20711  df-usp 20737  df-cfilu 20767  df-cusp 20778  df-xms 20800  df-ms 20801  df-cfil 21671  df-cmet 21673  df-cms 21751 This theorem is referenced by:  cnfldcusp  21774  recusp  21791
 Copyright terms: Public domain W3C validator