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Theorem cmetcaulem 21455
Description: Lemma for cmetcau 21456. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cmetcau.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
cmetcau.4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
cmetcau.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
cmetcau.6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
Assertion
Ref Expression
cmetcaulem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Distinct variable groups:    x, D    x, F    x, P    x, J    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem cmetcaulem
Dummy variables  j 
k  m  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetcau.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 21453 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 20565 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
6 cmetcau.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 20670 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 1z 10883 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
10 nnuz 11106 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uzfbas 20127 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
129, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
13 fgcl 20107 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  ->  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
15 elfvdm 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
161, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  CMet )
17 cnex 9562 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
19 cmetcau.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
20 caufpm 21449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
215, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
22 elpm2g 7425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( F : dom  F --> X  /\  dom  F  C_  CC ) ) )
2322simprbda 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  F : dom  F --> X )
2416, 18, 21, 23syl21anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> X )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  F : dom  F --> X )
2625ffvelrnda 6012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  X )
27 cmetcau.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  P  e.  X
)
2926, 28ifclda 3964 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  e.  X )
30 cmetcau.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
3129, 30fmptd 6036 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
32 flfval 20219 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
338, 14, 31, 32syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ) )
34 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) )  =  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )
3534fmfg 20178 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3616, 12, 31, 35syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3736oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
3833, 37eqtr4d 2504 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) ) ) )
39 1rp 11213 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
40 1zzd 10884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4110, 5, 40iscau3 21445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) ) ) )
4241simplbda 624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z ) )
4319, 42mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) )
44 simp1 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  k  e.  dom  F )
4544ralimi 2850 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4645reximi 2925 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4746ralimi 2850 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4843, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
49 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5049rspcv 3203 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5139, 48, 50mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
52 dfss3 3487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  dom  F )
53 nnsscn 10530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  C_  CC
5431, 53jctir 538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )
55 elpm2r 7426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5616, 18, 54, 55syl21anc 1222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X 
^pm  CC ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5819adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D
) )
59 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
605adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
61 nnz 10875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  ZZ )
63 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
64 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  m ) )
6559, 60, 62, 63, 64iscau4 21446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
6665simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
6758, 66mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
68 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  NN )
69 eluznn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
7068, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
71 eluznn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
72 fdm 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( G : NN --> X  ->  dom  G  =  NN )
7331, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  dom  G  =  NN )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  dom  G  =  NN )
7574eleq2d 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  (
k  e.  dom  G  <->  k  e.  NN ) )
7675biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  dom  G )
7776a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e. 
dom  F  ->  k  e. 
dom  G ) )
78 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  e.  X  ->  ( F `  k )  e.  X
) )
79 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z ) )
8077, 78, 793anim123d 1301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8171, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  ( k  e. 
dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8281anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8382ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8470, 83syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8584reximdva 2931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  ->  E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8685ralimdv 2867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
88 eluznn 11141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
8968, 88sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
90 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  dom  F )
9190sselda 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  dom  F )
92 iftrue 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  dom  F  ->  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  =  ( F `
 k ) )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  =  ( F `  k ) )
94 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
9593, 94syl6eqel 2556 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  e.  _V )
96 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  F ) )
97 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
9896, 97ifbieq1d 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
9998, 30fvmptg 5939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  e.  _V )  ->  ( G `  k
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
10095, 99syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
101100, 93eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10289, 91, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10390sselda 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  dom  F )
10470, 103elind 3681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  ( NN  i^i  dom  F
) )
105 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( G `  k )  =  ( G `  m ) )
106 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
107105, 106eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 k )  <->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) ) )
108 elin 3680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  e. 
dom  F ) )
109108, 101sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
110107, 109vtoclga 3170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
111104, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
11259, 60, 62, 102, 111iscau4 21446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
11357, 87, 112mpbir2and 915 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( Cau `  D
) )
114113expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11552, 114syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D
) ) )
116115rexlimdva 2948 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11751, 116mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
118 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )
11910, 118caucfil 21450 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN --> X )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
1205, 40, 31, 119syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) ) )
121117, 120mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )
1226cmetcvg 21452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
1231, 121, 122syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
12438, 123eqnetrd 2753 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/) )
125 n0 3787 . . 3  |-  ( ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
126124, 125sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
12710, 34lmflf 20234 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN
--> X )  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
1288, 40, 31, 127syl3anc 1223 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
12921adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
130 lmcl 19557 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  X )
1318, 130sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  X )
1326, 5, 10, 40lmmbr3 21427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
133132biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )
134133simp3d 1005 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )
135 r19.26 2982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
13610rexanuz2 13131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
137 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  k  e.  dom  F )
138101ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
139 simprr2 1040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  X )
140138, 139eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
141138oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  =  ( ( F `
 k ) D y ) )
142 simprr3 1041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  <  z )
143141, 142eqbrtrrd 4462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  z )
144137, 140, 1433jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
145144ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
14688, 145sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
147146anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
148147ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
149148reximdva 2931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
150136, 149syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
151150ralimdv 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
152135, 151syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
15348, 152mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
154153adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
155134, 154mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
1565adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
157 1zzd 10884 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  1  e.  ZZ )
1586, 156, 10, 157lmmbr3 21427 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) y  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
159129, 131, 155, 158mpbir3and 1174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F
( ~~> t `  J
) y )
160 lmrel 19490 . . . . . . 7  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
161160releldmi 5230 . . . . . 6  |-  ( F ( ~~> t `  J
) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
162159, 161syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
163162ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
164128, 163sylbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  J ) ) )
165164exlimdv 1695 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  y  e.  ( ( J 
fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
166126, 165mpd 15 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3468    C_ wss 3469   (/)c0 3778   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   dom cdm 4992   "cima 4995   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    ^pm cpm 7411   CCcc 9479   1c1 9482    < clt 9617   NNcn 10525   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   *Metcxmt 18167   Metcme 18168   fBascfbas 18170   filGencfg 18171   MetOpencmopn 18172  TopOnctopon 19155   ~~> tclm 19486   Filcfil 20074    FilMap cfm 20162    fLim cflim 20163    fLimf cflf 20164  CauFilccfil 21419   Caucca 21420   CMetcms 21421
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ico 11524  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-ntr 19280  df-nei 19358  df-lm 19489  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-cfil 21422  df-cau 21423  df-cmet 21424
This theorem is referenced by:  cmetcau  21456
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