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Theorem cmetcaulem 20768
Description: Lemma for cmetcau 20769. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cmetcau.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
cmetcau.4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
cmetcau.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
cmetcau.6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
Assertion
Ref Expression
cmetcaulem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Distinct variable groups:    x, D    x, F    x, P    x, J    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem cmetcaulem
Dummy variables  j 
k  m  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetcau.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 20766 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 19878 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
6 cmetcau.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 19983 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 1z 10668 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
10 nnuz 10888 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uzfbas 19440 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
129, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
13 fgcl 19420 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  ->  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
15 elfvdm 5709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
161, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  CMet )
17 cnex 9355 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
19 cmetcau.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
20 caufpm 20762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
215, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
22 elpm2g 7221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( F : dom  F --> X  /\  dom  F  C_  CC ) ) )
2322simprbda 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  F : dom  F --> X )
2416, 18, 21, 23syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> X )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  F : dom  F --> X )
2625ffvelrnda 5836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  X )
27 cmetcau.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  P  e.  X
)
2926, 28ifclda 3814 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  e.  X )
30 cmetcau.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
3129, 30fmptd 5860 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
32 flfval 19532 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
338, 14, 31, 32syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ) )
34 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) )  =  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )
3534fmfg 19491 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3616, 12, 31, 35syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3736oveq2d 6102 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
3833, 37eqtr4d 2472 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) ) ) )
39 1rp 10987 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
40 1zzd 10669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4110, 5, 40iscau3 20758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) ) ) )
4241simplbda 624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z ) )
4319, 42mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) )
44 simp1 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  k  e.  dom  F )
4544ralimi 2785 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4645reximi 2817 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4746ralimi 2785 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4843, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
49 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5049rspcv 3062 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5139, 48, 50mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
52 dfss3 3339 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  dom  F )
53 nnsscn 10319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  C_  CC
5431, 53jctir 538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )
55 elpm2r 7222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5616, 18, 54, 55syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X 
^pm  CC ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5819adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D
) )
59 eqid 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
605adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
61 nnz 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  ZZ )
63 eqidd 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
64 eqidd 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  m ) )
6559, 60, 62, 63, 64iscau4 20759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
6665simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
6758, 66mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
68 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  NN )
69 eluznn 10917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
7068, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
71 eluznn 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
72 fdm 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( G : NN --> X  ->  dom  G  =  NN )
7331, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  dom  G  =  NN )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  dom  G  =  NN )
7574eleq2d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  (
k  e.  dom  G  <->  k  e.  NN ) )
7675biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  dom  G )
7776a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e. 
dom  F  ->  k  e. 
dom  G ) )
78 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  e.  X  ->  ( F `  k )  e.  X
) )
79 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z ) )
8077, 78, 793anim123d 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8171, 80sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  ( k  e. 
dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8281anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8382ralimdva 2788 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8470, 83syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8584reximdva 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  ->  E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8685ralimdv 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
88 eluznn 10917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
8968, 88sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
90 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  dom  F )
9190sselda 3349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  dom  F )
92 iftrue 3790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  dom  F  ->  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  =  ( F `
 k ) )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  =  ( F `  k ) )
94 fvex 5694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
9593, 94syl6eqel 2525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  e.  _V )
96 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  F ) )
97 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
9896, 97ifbieq1d 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
9998, 30fvmptg 5765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  e.  _V )  ->  ( G `  k
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
10095, 99syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
101100, 93eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10289, 91, 101syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10390sselda 3349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  dom  F )
10470, 103elind 3533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  ( NN  i^i  dom  F
) )
105 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( G `  k )  =  ( G `  m ) )
106 fveq2 5684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
107105, 106eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 k )  <->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) ) )
108 elin 3532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  e. 
dom  F ) )
109108, 101sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
110107, 109vtoclga 3029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
111104, 110syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
11259, 60, 62, 102, 111iscau4 20759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
11357, 87, 112mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( Cau `  D
) )
114113expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11552, 114syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D
) ) )
116115rexlimdva 2835 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11751, 116mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
118 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )
11910, 118caucfil 20763 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN --> X )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
1205, 40, 31, 119syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) ) )
121117, 120mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )
1226cmetcvg 20765 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
1231, 121, 122syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
12438, 123eqnetrd 2620 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/) )
125 n0 3639 . . 3  |-  ( ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
126124, 125sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
12710, 34lmflf 19547 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN
--> X )  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
1288, 40, 31, 127syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
12921adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
130 lmcl 18870 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  X )
1318, 130sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  X )
1326, 5, 10, 40lmmbr3 20740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
133132biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )
134133simp3d 1002 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )
135 r19.26 2843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
13610rexanuz2 12829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
137 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  k  e.  dom  F )
138101ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
139 simprr2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  X )
140138, 139eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
141138oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  =  ( ( F `
 k ) D y ) )
142 simprr3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  <  z )
143141, 142eqbrtrrd 4307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  z )
144137, 140, 1433jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
145144ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
14688, 145sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
147146anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
148147ralimdva 2788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
149148reximdva 2822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
150136, 149syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
151150ralimdv 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
152135, 151syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
15348, 152mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
154153adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
155134, 154mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
1565adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
157 1zzd 10669 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  1  e.  ZZ )
1586, 156, 10, 157lmmbr3 20740 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) y  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
159129, 131, 155, 158mpbir3and 1171 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F
( ~~> t `  J
) y )
160 lmrel 18803 . . . . . . 7  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
161160releldmi 5068 . . . . . 6  |-  ( F ( ~~> t `  J
) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
162159, 161syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
163162ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
164128, 163sylbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  J ) ) )
165164exlimdv 1690 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  y  e.  ( ( J 
fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
166126, 165mpd 15 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2600   A.wral 2709   E.wrex 2710   _Vcvv 2966    i^i cin 3320    C_ wss 3321   (/)c0 3630   ifcif 3784   class class class wbr 4285    e. cmpt 4343   dom cdm 4832   "cima 4835   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086    ^pm cpm 7207   CCcc 9272   1c1 9275    < clt 9410   NNcn 10314   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   *Metcxmt 17770   Metcme 17771   fBascfbas 17773   filGencfg 17774   MetOpencmopn 17775  TopOnctopon 18468   ~~> tclm 18799   Filcfil 19387    FilMap cfm 19475    fLim cflim 19476    fLimf cflf 19477  CauFilccfil 20732   Caucca 20733   CMetcms 20734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ico 11298  df-rest 14353  df-topgen 14374  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-ntr 18593  df-nei 18671  df-lm 18802  df-fil 19388  df-fm 19480  df-flim 19481  df-flf 19482  df-cfil 20735  df-cau 20736  df-cmet 20737
This theorem is referenced by:  cmetcau  20769
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