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Theorem cmetcaulem 21704
Description: Lemma for cmetcau 21705. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cmetcau.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
cmetcau.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
cmetcau.4  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
cmetcau.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
cmetcau.6  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
Assertion
Ref Expression
cmetcaulem  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Distinct variable groups:    x, D    x, F    x, P    x, J    ph, x    x, X
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem cmetcaulem
Dummy variables  j 
k  m  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmetcau.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 21702 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 20814 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
53, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
6 cmetcau.1 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
76mopntopon 20919 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
85, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 1z 10901 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
10 nnuz 11126 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1110uzfbas 20376 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
" NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
129, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN ) )
13 fgcl 20356 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  ->  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN ) )
15 elfvdm 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  X  e.  dom  CMet )
161, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  dom  CMet )
17 cnex 9576 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  CC  e.  _V )
19 cmetcau.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Cau `  D ) )
20 caufpm 21698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
215, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( X 
^pm  CC ) )
22 elpm2g 7437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  <->  ( F : dom  F --> X  /\  dom  F  C_  CC ) ) )
2322simprbda 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )  ->  F : dom  F --> X )
2416, 18, 21, 23syl21anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> X )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  F : dom  F --> X )
2625ffvelrnda 6016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( F `  x
)  e.  X )
27 cmetcau.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
2827ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  NN )  /\  -.  x  e.  dom  F )  ->  P  e.  X
)
2926, 28ifclda 3958 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  NN )  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  e.  X )
30 cmetcau.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  NN  |->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
) )
3129, 30fmptd 6040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
32 flfval 20468 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) )  e.  ( Fil `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
338, 14, 31, 32syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) ) )
34 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) )  =  ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) )
3534fmfg 20427 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  dom  CMet  /\  ( ZZ>= " NN )  e.  ( fBas `  NN )  /\  G : NN --> X )  ->  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3616, 12, 31, 35syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) )
3736oveq2d 6297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( NN filGen (
ZZ>= " NN ) ) ) ) )
3833, 37eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =  ( J  fLim  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) ) ) )
39 1rp 11234 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR+
40 1zzd 10902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4110, 5, 40iscau3 21694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) ) ) )
4241simplbda 624 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z ) )
4319, 42mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z ) )
44 simp1 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  k  e.  dom  F )
4544ralimi 2836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4645reximi 2911 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  ( ZZ>= `  k ) ( ( F `  k ) D ( F `  w ) )  < 
z )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4746ralimi 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  A. w  e.  (
ZZ>= `  k ) ( ( F `  k
) D ( F `
 w ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F
)
4843, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
49 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  1  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  <->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5049rspcv 3192 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F ) )
5139, 48, 50mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F )
52 dfss3 3479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  <->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) k  e.  dom  F )
53 nnsscn 10548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  C_  CC
5431, 53jctir 538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )
55 elpm2r 7438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  dom  CMet  /\  CC  e.  _V )  /\  ( G : NN --> X  /\  NN  C_  CC ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5616, 18, 54, 55syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( X 
^pm  CC ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( X  ^pm  CC ) )
5819adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  F  e.  ( Cau `  D
) )
59 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  j )  =  (
ZZ>= `  j )
605adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
61 nnz 10893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
6261ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  ZZ )
63 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  k ) )
64 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  m ) )
6559, 60, 62, 63, 64iscau4 21695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( F  e.  ( Cau `  D )  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
6665simplbda 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  F  e.  ( Cau `  D ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
6758, 66mpdan 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
68 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  j  e.  NN )
69 eluznn 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
7068, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN )
71 eluznn 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  NN )
7230, 29dmmptd 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  dom  G  =  NN )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  dom  G  =  NN )
7473eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  (
k  e.  dom  G  <->  k  e.  NN ) )
7574biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  dom  G )
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e. 
dom  F  ->  k  e. 
dom  G ) )
77 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `
 k )  e.  X  ->  ( F `  k )  e.  X
) )
78 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z  ->  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  < 
z ) )
7976, 77, 783anim123d 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8071, 79sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  ( m  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  ( k  e. 
dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8180anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  m ) )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  -> 
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8281ralimdva 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8370, 82syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8483reximdva 2918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z )  ->  E. m  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) )
8584ralimdv 2853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m )
( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) ) )
8667, 85mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. m  e.  ( ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>=
`  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D ( F `  m ) )  <  z ) )
87 eluznn 11162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  NN )
8868, 87sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  NN )
89 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( ZZ>=
`  j )  C_  dom  F )
9089sselda 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  k  e.  dom  F )
91 iftrue 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  dom  F  ->  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  =  ( F `
 k ) )
9291adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  =  ( F `  k ) )
93 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
9492, 93syl6eqel 2539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  if ( k  e.  dom  F , 
( F `  k
) ,  P )  e.  _V )
95 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  (
x  e.  dom  F  <->  k  e.  dom  F ) )
96 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
9795, 96ifbieq1d 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  k  ->  if ( x  e.  dom  F ,  ( F `  x ) ,  P
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
9897, 30fvmptg 5939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  NN  /\  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
)  e.  _V )  ->  ( G `  k
)  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
9994, 98syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  if ( k  e.  dom  F ,  ( F `  k ) ,  P
) )
10099, 92eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  k  e.  dom  F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10188, 90, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
10289sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  dom  F )
10370, 102elind 3673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  ( NN  i^i  dom  F
) )
104 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( G `  k )  =  ( G `  m ) )
105 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
106104, 105eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  (
( G `  k
)  =  ( F `
 k )  <->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) ) )
107 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  e. 
dom  F ) )
108107, 100sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
109106, 108vtoclga 3159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ( NN  i^i  dom 
F )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
110103, 109syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_ 
dom  F ) )  /\  m  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( G `  m )  =  ( F `  m ) )
11159, 60, 62, 101, 110iscau4 21695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  A. z  e.  RR+  E. m  e.  (
ZZ>= `  j ) A. k  e.  ( ZZ>= `  m ) ( k  e.  dom  G  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D ( F `
 m ) )  <  z ) ) ) )
11257, 86, 111mpbir2and 922 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  ( ZZ>= `  j )  C_  dom  F ) )  ->  G  e.  ( Cau `  D
) )
113112expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
ZZ>= `  j )  C_  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11452, 113syl5bir 218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D
) ) )
115114rexlimdva 2935 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  ->  G  e.  ( Cau `  D ) ) )
11651, 115mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
117 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  =  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )
11810, 117caucfil 21699 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN --> X )  ->  ( G  e.  ( Cau `  D
)  <->  ( ( X 
FilMap  G ) `  ( ZZ>=
" NN ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
1195, 40, 31, 118syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( Cau `  D )  <-> 
( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) ) )
120116, 119mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  G ) `  ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )
1216cmetcvg 21701 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) )  e.  (CauFil `  D ) )  -> 
( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
1221, 120, 121syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  (
( X  FilMap  G ) `
 ( ZZ>= " NN ) ) )  =/=  (/) )
12338, 122eqnetrd 2736 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/) )
124 n0 3780 . . 3  |-  ( ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
125123, 124sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) )
12610, 34lmflf 20483 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  1  e.  ZZ  /\  G : NN
--> X )  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
1278, 40, 31, 126syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G ) ) )
12821adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  ( X  ^pm  CC ) )
129 lmcl 19775 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  G
( ~~> t `  J
) y )  -> 
y  e.  X )
1308, 129sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  y  e.  X )
1316, 5, 10, 40lmmbr3 21676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  <->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
132131biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( G  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )
133132simp3d 1011 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )
134 r19.26 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) k  e. 
dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
13510rexanuz2 13163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  <->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) ) )
136 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  k  e.  dom  F )
137100ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  =  ( F `  k ) )
138 simprr2 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( G `  k )  e.  X )
139137, 138eqeltrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  X )
140137oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  =  ( ( F `
 k ) D y ) )
141 simprr3 1047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  <  z )
142140, 141eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
( F `  k
) D y )  <  z )
143136, 139, 1423jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) ) )  ->  (
k  e.  dom  F  /\  ( F `  k
)  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
144143ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
14587, 144sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e. 
dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
146145anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
147146ralimdva 2851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
148147reximdva 2918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( k  e. 
dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
149135, 148syl5bir 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
150149ralimdv 2853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
151134, 150syl5bir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
k  e.  dom  F  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z ) )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
15248, 151mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  (
( G `  k
) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) ) )
153152adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  G  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( ( G `  k ) D y )  <  z )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) )
154133, 153mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  ( ( F `  k ) D y )  <  z ) )
1555adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
156 1zzd 10902 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  1  e.  ZZ )
1576, 155, 10, 156lmmbr3 21676 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  ( F ( ~~> t `  J ) y  <->  ( F  e.  ( X  ^pm  CC )  /\  y  e.  X  /\  A. z  e.  RR+  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( k  e.  dom  F  /\  ( F `  k )  e.  X  /\  (
( F `  k
) D y )  <  z ) ) ) )
158128, 130, 154, 157mpbir3and 1180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F
( ~~> t `  J
) y )
159 lmrel 19708 . . . . . . 7  |-  Rel  ( ~~> t `  J )
160159releldmi 5229 . . . . . 6  |-  ( F ( ~~> t `  J
) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
161158, 160syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  G ( ~~> t `  J )
y )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
162161ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G ( ~~> t `  J ) y  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
163127, 162sylbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( ( J  fLimf  ( NN
filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  (
~~> t `  J ) ) )
164163exlimdv 1711 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  y  e.  ( ( J 
fLimf  ( NN filGen ( ZZ>= " NN ) ) ) `  G )  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J ) ) )
165125, 164mpd 15 1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   "cima 4992   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    ^pm cpm 7423   CCcc 9493   1c1 9496    < clt 9631   NNcn 10543   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11091   RR+crp 11230   *Metcxmt 18381   Metcme 18382   fBascfbas 18384   filGencfg 18385   MetOpencmopn 18386  TopOnctopon 19372   ~~> tclm 19704   Filcfil 20323    FilMap cfm 20411    fLim cflim 20412    fLimf cflf 20413  CauFilccfil 21668   Caucca 21669   CMetcms 21670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ico 11545  df-rest 14801  df-topgen 14822  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-fbas 18394  df-fg 18395  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-ntr 19498  df-nei 19576  df-lm 19707  df-fil 20324  df-fm 20416  df-flim 20417  df-flf 20418  df-cfil 21671  df-cau 21672  df-cmet 21673
This theorem is referenced by:  cmetcau  21705
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