HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cmbr3i Structured version   Unicode version

Theorem cmbr3i 26349
Description: Alternate definition for the commutes relation. Lemma 3 of [Kalmbach] p. 23. (Contributed by NM, 6-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjoml2.1  |-  A  e. 
CH
pjoml2.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
cmbr3i  |-  ( A  C_H  B  <->  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  B )
)  =  ( A  i^i  B ) )

Proof of Theorem cmbr3i
StepHypRef Expression
1 pjoml2.1 . . . . 5  |-  A  e. 
CH
2 pjoml2.2 . . . . 5  |-  B  e. 
CH
31, 2cmcmi 26341 . . . 4  |-  ( A  C_H  B  <->  B  C_H  A )
42, 1cmbr2i 26345 . . . 4  |-  ( B  C_H  A  <->  B  =  ( ( B  vH  A )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A
) ) ) )
53, 4bitri 249 . . 3  |-  ( A  C_H  B  <->  B  =  ( ( B  vH  A )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A
) ) ) )
6 ineq2 3699 . . . 4  |-  ( B  =  ( ( B  vH  A )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( A  i^i  ( ( B  vH  A )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A ) ) ) ) )
7 inass 3713 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( B  vH  A ) )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( A  i^i  ( ( B  vH  A )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A ) ) ) )
82, 1chjcomi 26217 . . . . . . . 8  |-  ( B  vH  A )  =  ( A  vH  B
)
98ineq2i 3702 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( B  vH  A ) )  =  ( A  i^i  ( A  vH  B ) )
101, 2chabs2i 26268 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( A  vH  B ) )  =  A
119, 10eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( B  vH  A ) )  =  A
121choccli 26056 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
132, 12chjcomi 26217 . . . . . 6  |-  ( B  vH  ( _|_ `  A
) )  =  ( ( _|_ `  A
)  vH  B )
1411, 13ineq12i 3703 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( B  vH  A ) )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A ) ) )  =  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B ) )
157, 14eqtr3i 2498 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( ( B  vH  A )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A ) ) ) )  =  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B ) )
166, 15syl6req 2525 . . 3  |-  ( B  =  ( ( B  vH  A )  i^i  ( B  vH  ( _|_ `  A ) ) )  ->  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  B )
)  =  ( A  i^i  B ) )
175, 16sylbi 195 . 2  |-  ( A  C_H  B  ->  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B
) )  =  ( A  i^i  B ) )
18 inss1 3723 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) )  C_  A
192choccli 26056 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
201, 19chincli 26209 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) )  e.  CH
2120, 1pjoml2i 26334 . . . . . 6  |-  ( ( A  i^i  ( _|_ `  B ) )  C_  A  ->  ( ( A  i^i  ( _|_ `  B
) )  vH  (
( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A ) )  =  A )
2218, 21ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( _|_ `  B ) )  vH  ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A ) )  =  A
2320choccli 26056 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  e.  CH
2423, 1chincli 26209 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A )  e.  CH
2520, 24chjcomi 26217 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( _|_ `  B ) )  vH  ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A ) )  =  ( ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  i^i  A )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
2622, 25eqtr3i 2498 . . . 4  |-  A  =  ( ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  i^i  A )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )
271, 2chdmm3i 26228 . . . . . . . 8  |-  ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  =  ( ( _|_ `  A )  vH  B )
2827ineq2i 3702 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  B )
)
29 incom 3696 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )  =  ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  i^i  A )
3028, 29eqtr3i 2498 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B
) )  =  ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A )
3130eqeq1i 2474 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B ) )  =  ( A  i^i  B )  <->  ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B ) ) )  i^i  A )  =  ( A  i^i  B ) )
32 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A )  =  ( A  i^i  B )  ->  ( ( ( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( A  i^i  B )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )
3331, 32sylbi 195 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B ) )  =  ( A  i^i  B )  ->  ( (
( _|_ `  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  i^i 
A )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) )  =  ( ( A  i^i  B )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )
3426, 33syl5eq 2520 . . 3  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B ) )  =  ( A  i^i  B )  ->  A  =  ( ( A  i^i  B )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )
351, 2cmbri 26339 . . 3  |-  ( A  C_H  B  <->  A  =  ( ( A  i^i  B )  vH  ( A  i^i  ( _|_ `  B
) ) ) )
3634, 35sylibr 212 . 2  |-  ( ( A  i^i  ( ( _|_ `  A )  vH  B ) )  =  ( A  i^i  B )  ->  A  C_H  B )
3717, 36impbii 188 1  |-  ( A  C_H  B  <->  ( A  i^i  ( ( _|_ `  A
)  vH  B )
)  =  ( A  i^i  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    i^i cin 3480    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CHcch 25677   _|_cort 25678    vH chj 25681    C_H ccm 25684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25747  ax-hfvadd 25748  ax-hvcom 25749  ax-hvass 25750  ax-hv0cl 25751  ax-hvaddid 25752  ax-hfvmul 25753  ax-hvmulid 25754  ax-hvmulass 25755  ax-hvdistr1 25756  ax-hvdistr2 25757  ax-hvmul0 25758  ax-hfi 25827  ax-his1 25830  ax-his2 25831  ax-his3 25832  ax-his4 25833  ax-hcompl 25950
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-mulr 14585  df-starv 14586  df-sca 14587  df-vsca 14588  df-ip 14589  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ds 14593  df-unif 14594  df-hom 14595  df-cco 14596  df-rest 14694  df-topn 14695  df-0g 14713  df-gsum 14714  df-topgen 14715  df-pt 14716  df-prds 14719  df-xrs 14773  df-qtop 14778  df-imas 14779  df-xps 14781  df-mre 14857  df-mrc 14858  df-acs 14860  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-mulg 15931  df-cntz 16226  df-cmn 16671  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-fbas 18284  df-fg 18285  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-ntr 19387  df-cls 19388  df-nei 19465  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-lm 19596  df-haus 19682  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-fil 20213  df-fm 20305  df-flim 20306  df-flf 20307  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cfil 21560  df-cau 21561  df-cmet 21562  df-grpo 25024  df-gid 25025  df-ginv 25026  df-gdiv 25027  df-ablo 25115  df-subgo 25135  df-vc 25270  df-nv 25316  df-va 25319  df-ba 25320  df-sm 25321  df-0v 25322  df-vs 25323  df-nmcv 25324  df-ims 25325  df-dip 25442  df-ssp 25466  df-ph 25559  df-cbn 25610  df-hnorm 25716  df-hba 25717  df-hvsub 25719  df-hlim 25720  df-hcau 25721  df-sh 25955  df-ch 25970  df-oc 26001  df-ch0 26002  df-shs 26057  df-chj 26059  df-cm 26332
This theorem is referenced by:  cmbr4i  26350  cmbr3  26357
  Copyright terms: Public domain W3C validator