Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwnisshclwwn Structured version   Unicode version

Theorem clwwnisshclwwn 24632
 Description: Cyclically shifting a closed walk as word of fixed length results in a closed walk as word of the same length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwnisshclwwn ClWWalksN cyclShift ClWWalksN

Proof of Theorem clwwnisshclwwn
StepHypRef Expression
1 clwwlknprop 24595 . . . . . . 7 ClWWalksN Word
2 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
32anim2i 569 . . . . . . . . . 10
4 df-3an 975 . . . . . . . . . 10
53, 4sylibr 212 . . . . . . . . 9
653adant2 1015 . . . . . . . 8 Word
7 clwwlkisclwwlkn 24614 . . . . . . . 8 ClWWalksN ClWWalks
86, 7syl 16 . . . . . . 7 Word ClWWalksN ClWWalks
91, 8mpcom 36 . . . . . 6 ClWWalksN ClWWalks
109adantl 466 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalks
1110adantr 465 . . . 4 ClWWalksN ClWWalks
12 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12
1312biimpi 194 . . . . . . . . . . 11
1413adantl 466 . . . . . . . . . 10
15143ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9 Word
161, 15syl 16 . . . . . . . 8 ClWWalksN
1716adantl 466 . . . . . . 7 ClWWalksN
1817oveq2d 6311 . . . . . 6 ClWWalksN
1918eleq2d 2537 . . . . 5 ClWWalksN
2019biimpa 484 . . . 4 ClWWalksN
21 clwwisshclwwn 24631 . . . 4 ClWWalks cyclShift ClWWalks
2211, 20, 21syl2anc 661 . . 3 ClWWalksN cyclShift ClWWalks
23 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . 11
2423anim2i 569 . . . . . . . . . 10 Word Word
25 cshwlen 12750 . . . . . . . . . 10 Word cyclShift
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9 Word cyclShift
2726ex 434 . . . . . . . 8 Word cyclShift
28273ad2ant2 1018 . . . . . . 7 Word cyclShift
29 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12
3029eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11
31 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . 11 cyclShift cyclShift
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . 10 cyclShift cyclShift
3332eqcoms 2479 . . . . . . . . 9 cyclShift cyclShift
3433adantl 466 . . . . . . . 8 cyclShift cyclShift
35343ad2ant3 1019 . . . . . . 7 Word cyclShift cyclShift
3628, 35mpbird 232 . . . . . 6 Word cyclShift
371, 36syl 16 . . . . 5 ClWWalksN cyclShift
3837adantl 466 . . . 4 ClWWalksN cyclShift
3938imp 429 . . 3 ClWWalksN cyclShift
401simp1d 1008 . . . . . . . 8 ClWWalksN
4140anim1i 568 . . . . . . 7 ClWWalksN
4241, 4sylibr 212 . . . . . 6 ClWWalksN
4342ancoms 453 . . . . 5 ClWWalksN
4443adantr 465 . . . 4 ClWWalksN
45 isclwwlkn 24592 . . . 4 cyclShift ClWWalksN cyclShift ClWWalks cyclShift
4644, 45syl 16 . . 3 ClWWalksN cyclShift ClWWalksN cyclShift ClWWalks cyclShift
4722, 39, 46mpbir2and 920 . 2 ClWWalksN cyclShift ClWWalksN
4847ex 434 1 ClWWalksN cyclShift ClWWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3118  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc0 9504  cn0 10807  cz 10876  cfz 11684  chash 12385  Word cword 12515   cyclShift ccsh 12739   ClWWalks cclwwlk 24571   ClWWalksN cclwwlkn 24572 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-hash 12386  df-word 12523  df-lsw 12524  df-concat 12525  df-substr 12527  df-csh 12740  df-clwwlk 24574  df-clwwlkn 24575 This theorem is referenced by:  clwwlknscsh  24642
 Copyright terms: Public domain W3C validator