Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkprop Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem clwwlkprop 25577
 Description: Properties of a closed walk (in an undirected graph) as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkprop ClWWalks Word

Proof of Theorem clwwlkprop
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-clwwlk 25558 . . 3 ClWWalks Word ..^ lastS
21elmpt2cl 6530 . 2 ClWWalks
3 pm3.22 456 . . . . . 6 Word Word
4 df-3an 1009 . . . . . 6 Word Word
53, 4sylibr 217 . . . . 5 Word Word
65a1d 25 . . . 4 Word ClWWalks Word
76ex 441 . . 3 Word ClWWalks Word
8 clwwlk 25573 . . . . . 6 ClWWalks Word ..^ lastS
98eleq2d 2534 . . . . 5 ClWWalks Word ..^ lastS
10 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
1110oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
1211oveq2d 6324 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
13 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11
14 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11
1513, 14preq12d 4050 . . . . . . . . . 10
1615eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
1712, 16raleqbidv 2987 . . . . . . . 8 ..^ ..^
18 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10 lastS lastS
19 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10
2018, 19preq12d 4050 . . . . . . . . 9 lastS lastS
2120eleq1d 2533 . . . . . . . 8 lastS lastS
2217, 21anbi12d 725 . . . . . . 7 ..^ lastS ..^ lastS
2322elrab 3184 . . . . . 6 Word ..^ lastS Word ..^ lastS
24 pm2.24 112 . . . . . . 7 Word Word Word
2524adantr 472 . . . . . 6 Word ..^ lastS Word Word
2623, 25sylbi 200 . . . . 5 Word ..^ lastS Word Word
279, 26syl6bi 236 . . . 4 ClWWalks Word Word
2827com3r 81 . . 3 Word ClWWalks Word
297, 28pm2.61i 169 . 2 ClWWalks Word
302, 29mpcom 36 1 ClWWalks Word
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cvv 3031  cpr 3961   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmin 9880  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703   lastS clsw 12704   ClWWalks cclwwlk 25555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-clwwlk 25558 This theorem is referenced by:  clwwlkgt0  25578  clwwlknprop  25579  clwwlkn0  25581  clwwisshclww  25614  clwwisshclwwn  25615  erclwwlkeqlen  25619  erclwwlkref  25620  erclwwlksym  25621  erclwwlktr  25622
 Copyright terms: Public domain W3C validator