Theorem clwwlknprop 30360

Description: Properties of a closed walk of a fixed length as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknprop	|- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )

Proof of Theorem clwwlknprop

Dummy variables e n p t v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3640	. . 3 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) )
2		ndmfv 5711	. . . 4 |- ( -. N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) )
3	2	necon1ai 2651	. . 3 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> N e. dom ( V ClWWalksN E ) )
4		df-clwwlkn 30342	. . . . . . . . . 10 |- ClWWalksN = ( v e. _V , e e. _V |-> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ClWWalksN = ( v e. _V , e e. _V |-> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) ) )
6		oveq12 6099	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( v ClWWalks e ) = ( V ClWWalks E ) )
7		rabeq 2964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v ClWWalks e ) = ( V ClWWalks E ) -> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } )
9	8	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
10	9	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( v = V /\ e = E ) ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
11		simpl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> V e. _V )
12		simpr 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> E e. _V )
13		nn0ex 10581	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
14	13	mptex 5945	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) e. _V )
16	5, 10, 11, 12, 15	ovmpt2d 6217	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ClWWalksN E ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
17	16	3adant3 1003	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( V ClWWalksN E ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
18	17	dmeqd 5038	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> dom ( V ClWWalksN E ) = dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
19	18	eleq2d 2508	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) ) )
20		dmopabss 5047	. . . . . . . 8 |- dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } C_ NN0
21	20	sseli 3349	. . . . . . 7 |- ( N e. dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } -> N e. NN0 )
22		clwwlkn 30355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ N e. NN0 ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } )
23	22	3expa 1182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } )
24	23	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) )
25		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = P -> ( # ` p ) = ( # ` P ) )
26	25	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = P -> ( ( # ` p ) = N <-> ( # ` P ) = N ) )
27	26	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } <-> ( P e. ( V ClWWalks E ) /\ ( # ` P ) = N ) )
28		clwwlkprop 30358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( V ClWWalks E ) -> ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) )
29		simpl3 988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> P e. Word V )
30		lencl 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Word V -> ( # ` P ) e. NN0 )
31		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` P ) = N -> ( ( # ` P ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
32	30, 31	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) = N -> N e. NN0 ) )
33	32	3ad2ant3 1006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) -> ( ( # ` P ) = N -> N e. NN0 ) )
34	33	impac 618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) )
35	29, 34	jca 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
36	28, 35	sylan 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( V ClWWalks E ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
37	27, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
38	37	anim2i 566	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
39		3anass 964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) <-> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
40	38, 39	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
42	41	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
43	24, 42	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
44	43	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. NN0 -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
46	45	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
47	4	reldmmpt2 6200	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ClWWalksN
48	47	ovprc 6117	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ClWWalksN E ) = (/) )
49		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V ClWWalksN E ) = (/) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = ( (/) ` N ) )
50		0fv 5720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) ` N ) = (/)
51	49, 50	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V ClWWalksN E ) = (/) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) )
52		eqneqall 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
53	48, 51, 52	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
54	46, 53	pm2.61i 164	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
55	1, 54	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
56	55	pm2.43i 47	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
57	21, 56	syl5com 30	. . . . . 6 |- ( N e. dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
58		df-mpt 4349	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) = { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) }
59	58	dmeqi 5037	. . . . . 6 |- dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) = dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) }
60	57, 59	eleq2s 2533	. . . . 5 |- ( N e. dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
61	19, 60	syl6bi 228	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
62		3ianor 977	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) )
63		df-3or 961	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) )
64		ianor 485	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
65	48	dmeqd 5038	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V ClWWalksN E ) = dom (/) )
66	65	eleq2d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. dom (/) ) )
67		dm0 5049	. . . . . . . . . . 11 |- dom (/) = (/)
68	67	eleq2i 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. dom (/) <-> N e. (/) )
69	66, 68	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. (/) ) )
70		noel 3638	. . . . . . . . . 10 |- -. N e. (/)
71	70	pm2.21i 131	. . . . . . . . 9 |- ( N e. (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
72	69, 71	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
73	64, 72	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
74	73, 72	jaoi 379	. . . . . 6 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
75	63, 74	sylbi 195	. . . . 5 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
76	62, 75	sylbi 195	. . . 4 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
77	61, 76	pm2.61i 164	. . 3 |- ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
78	1, 3, 77	3syl 20	. 2 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
79	78	pm2.43i 47	1 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 959   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   {crab 2717   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   {copab 4346   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   NN0cn0 10575   #chash 12099  Word cword 12217   ClWWalks cclwwlk 30338   ClWWalksN cclwwlkn 30339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-hash 12100  df-word 12225  df-clwwlk 30341  df-clwwlkn 30342

This theorem is referenced by:  clwwlknndef  30361  clwwlknimp  30364  clwwlknwwlkncl  30387  clwwlkext2edg  30389  wwlksubclwwlk  30391  clwwnisshclwwn  30398  eleclclwwlknlem1  30415  eleclclwwlknlem2  30416  Lemma2  30418  erclwwlkneqlen  30423  erclwwlknref  30424  erclwwlknsym  30425  erclwwlkntr  30426  hashecclwwlkn1  30433  usghashecclwwlk  30434  clwlkfoclwwlk  30443  extwwlkfablem2  30596  numclwlk2lem2f  30621  numclwlk2lem2f1o  30623