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Theorem clwwlknprop 25579
Description: Properties of a closed walk of a fixed length as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknprop  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )

Proof of Theorem clwwlknprop
Dummy variables  e  n  p  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3728 . . 3  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/) )
2 ndmfv 5903 . . . 4  |-  ( -.  N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  (
( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  (/) )
32necon1ai 2670 . . 3  |-  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  =/=  (/)  ->  N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E ) )
4 oveq12 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( v ClWWalks  e )  =  ( V ClWWalks  E ) )
5 rabeq 3024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v ClWWalks  e )  =  ( V ClWWalks  E )  ->  { w  e.  ( v ClWWalks  e )  |  ( # `  w
)  =  n }  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } )
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  { w  e.  ( v ClWWalks  e )  |  ( # `  w
)  =  n }  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } )
76mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
v ClWWalks  e )  |  (
# `  w )  =  n } )  =  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) )
8 df-clwwlkn 25559 . . . . . . . . 9  |- ClWWalksN  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( v ClWWalks  e )  |  ( # `  w
)  =  n }
) )
9 nn0ex 10899 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
109mptex 6152 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  e.  _V
117, 8, 10ovmpt2a 6446 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ClWWalksN  E )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) )
12113adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  -> 
( V ClWWalksN  E )  =  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) )
1312dmeqd 5042 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  ->  dom  ( V ClWWalksN  E )  =  dom  ( n  e. 
NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) )
1413eleq2d 2534 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  -> 
( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  <->  N  e.  dom  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) ) )
15 dmopabss 5052 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) } 
C_  NN0
1615sseli 3414 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e.  NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) }  ->  N  e.  NN0 )
17 clwwlkn 25574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  {
p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N } )
18173expa 1231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }
)
1918eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  <->  P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N } ) )
20 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  P  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  P
) )
2120eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  P  ->  (
( # `  p )  =  N  <->  ( # `  P
)  =  N ) )
2221elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }  <->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 P )  =  N ) )
23 clwwlkprop 25577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
) )
24 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( # `  P
)  =  N )  ->  P  e. Word  V
)
25 lencl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
26 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  N  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2725, 26syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  =  N  ->  N  e.  NN0 ) )
28273ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( # `  P )  =  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2928impac 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( # `  P
)  =  N )  ->  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) )
3024, 29jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( # `  P
)  =  N )  ->  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) )
3123, 30sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 P )  =  N )  ->  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )
3222, 31sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }  ->  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) )
3332anim2i 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
34 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
3533, 34sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )
3635ex 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  {
p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N }  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  e. 
{ p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N }  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
3819, 37sylbid 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
3938ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
4039com23 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
4140a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) ) )
428mpt2ndm0 6529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ClWWalksN  E )  =  (/) )
43 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V ClWWalksN  E )  =  (/)  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  =  ( (/) `  N ) )
44 0fv 5912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/) `  N )  =  (/)
4543, 44syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V ClWWalksN  E )  =  (/)  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  =  (/) )
46 eqneqall 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  (/)  ->  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) ) )
4742, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) ) )
4841, 47pm2.61i 169 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) )
491, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
5049pm2.43i 48 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
5116, 50syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( N  e.  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e.  NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) }  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
52 df-mpt 4456 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  =  { <. n ,  t >.  |  ( n  e.  NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) }
5352dmeqi 5041 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  =  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) }
5451, 53eleq2s 2567 . . . . 5  |-  ( N  e.  dom  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
5514, 54syl6bi 236 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  -> 
( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  -> 
( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
56 3ianor 1024 . . . . 5  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) ) )
57 df-3or 1008 . . . . . 6  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )  <->  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) ) )
58 ianor 496 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V ) )
5942dmeqd 5042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  ( V ClWWalksN  E )  =  dom  (/) )
6059eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  <->  N  e.  dom  (/) ) )
61 dm0 5054 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (/)  =  (/)
6261eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  dom  (/)  <->  N  e.  (/) )
6360, 62syl6bb 269 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  <->  N  e.  (/) ) )
64 noel 3726 . . . . . . . . . 10  |-  -.  N  e.  (/)
6564pm2.21i 136 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
6663, 65syl6bi 236 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  -> 
( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
6758, 66sylbir 218 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( N  e. 
dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
6867, 66jaoi 386 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
6957, 68sylbi 200 . . . . 5  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) )
7056, 69sylbi 200 . . . 4  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
7155, 70pm2.61i 169 . . 3  |-  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
721, 3, 713syl 18 . 2  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
7372pm2.43i 48 1  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   {copab 4453    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   NN0cn0 10893   #chash 12553  Word cword 12703   ClWWalks cclwwlk 25555   ClWWalksN cclwwlkn 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559
This theorem is referenced by:  clwwlknndef  25580  clwwlknimp  25583  clwwlknwwlkncl  25607  clwwlkext2edg  25609  wwlksubclwwlk  25611  clwwnisshclwwn  25616  eleclclwwlknlem1  25624  eleclclwwlknlem2  25625  clwwlknscsh  25626  erclwwlkneqlen  25631  erclwwlknref  25632  erclwwlknsym  25633  erclwwlkntr  25634  hashecclwwlkn1  25641  usghashecclwwlk  25642  clwlkfoclwwlk  25652  extwwlkfablem2  25885  numclwlk2lem2f  25910  numclwlk2lem2f1o  25912
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