Theorem clwwlknprop 30440

Description: Properties of a closed walk of a fixed length as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknprop	|- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )

Proof of Theorem clwwlknprop

Dummy variables e n p t v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3648	. . 3 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) )
2		ndmfv 5719	. . . 4 |- ( -. N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) )
3	2	necon1ai 2658	. . 3 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> N e. dom ( V ClWWalksN E ) )
4		df-clwwlkn 30422	. . . . . . . . . 10 |- ClWWalksN = ( v e. _V , e e. _V |-> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ClWWalksN = ( v e. _V , e e. _V |-> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) ) )
6		oveq12 6105	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( v ClWWalks e ) = ( V ClWWalks E ) )
7		rabeq 2971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v ClWWalks e ) = ( V ClWWalks E ) -> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } )
9	8	mpteq2dv 4384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( v = V /\ e = E ) ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
11		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> V e. _V )
12		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> E e. _V )
13		nn0ex 10590	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
14	13	mptex 5953	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) e. _V )
16	5, 10, 11, 12, 15	ovmpt2d 6223	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ClWWalksN E ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
17	16	3adant3 1008	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( V ClWWalksN E ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
18	17	dmeqd 5047	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> dom ( V ClWWalksN E ) = dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
19	18	eleq2d 2510	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) ) )
20		dmopabss 5056	. . . . . . . 8 |- dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } C_ NN0
21	20	sseli 3357	. . . . . . 7 |- ( N e. dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } -> N e. NN0 )
22		clwwlkn 30435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ N e. NN0 ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } )
23	22	3expa 1187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } )
24	23	eleq2d 2510	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) )
25		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = P -> ( # ` p ) = ( # ` P ) )
26	25	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = P -> ( ( # ` p ) = N <-> ( # ` P ) = N ) )
27	26	elrab 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } <-> ( P e. ( V ClWWalks E ) /\ ( # ` P ) = N ) )
28		clwwlkprop 30438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( V ClWWalks E ) -> ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) )
29		simpl3 993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> P e. Word V )
30		lencl 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Word V -> ( # ` P ) e. NN0 )
31		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` P ) = N -> ( ( # ` P ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
32	30, 31	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) = N -> N e. NN0 ) )
33	32	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) -> ( ( # ` P ) = N -> N e. NN0 ) )
34	33	impac 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) )
35	29, 34	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
36	28, 35	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( V ClWWalks E ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
37	27, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
38	37	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
39		3anass 969	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) <-> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
40	38, 39	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
43	24, 42	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
44	43	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. NN0 -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
46	45	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
47	4	reldmmpt2 6206	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ClWWalksN
48	47	ovprc 6123	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ClWWalksN E ) = (/) )
49		fveq1 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V ClWWalksN E ) = (/) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = ( (/) ` N ) )
50		0fv 5728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) ` N ) = (/)
51	49, 50	syl6eq 2491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V ClWWalksN E ) = (/) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) )
52		eqneqall 2710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
53	48, 51, 52	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
54	46, 53	pm2.61i 164	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
55	1, 54	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
56	55	pm2.43i 47	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
57	21, 56	syl5com 30	. . . . . 6 |- ( N e. dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
58		df-mpt 4357	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) = { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) }
59	58	dmeqi 5046	. . . . . 6 |- dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) = dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) }
60	57, 59	eleq2s 2535	. . . . 5 |- ( N e. dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
61	19, 60	syl6bi 228	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
62		3ianor 982	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) )
63		df-3or 966	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) )
64		ianor 488	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
65	48	dmeqd 5047	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V ClWWalksN E ) = dom (/) )
66	65	eleq2d 2510	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. dom (/) ) )
67		dm0 5058	. . . . . . . . . . 11 |- dom (/) = (/)
68	67	eleq2i 2507	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. dom (/) <-> N e. (/) )
69	66, 68	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. (/) ) )
70		noel 3646	. . . . . . . . . 10 |- -. N e. (/)
71	70	pm2.21i 131	. . . . . . . . 9 |- ( N e. (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
72	69, 71	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
73	64, 72	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
74	73, 72	jaoi 379	. . . . . 6 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
75	63, 74	sylbi 195	. . . . 5 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
76	62, 75	sylbi 195	. . . 4 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
77	61, 76	pm2.61i 164	. . 3 |- ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
78	1, 3, 77	3syl 20	. 2 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
79	78	pm2.43i 47	1 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 964   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   {crab 2724   _Vcvv 2977   (/)c0 3642   {copab 4354   e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   e. cmpt2 6098   NN0cn0 10584   #chash 12108  Word cword 12226   ClWWalks cclwwlk 30418   ClWWalksN cclwwlkn 30419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-hash 12109  df-word 12234  df-clwwlk 30421  df-clwwlkn 30422

This theorem is referenced by:  clwwlknndef  30441  clwwlknimp  30444  clwwlknwwlkncl  30467  clwwlkext2edg  30469  wwlksubclwwlk  30471  clwwnisshclwwn  30478  eleclclwwlknlem1  30495  eleclclwwlknlem2  30496  Lemma2  30498  erclwwlkneqlen  30503  erclwwlknref  30504  erclwwlknsym  30505  erclwwlkntr  30506  hashecclwwlkn1  30513  usghashecclwwlk  30514  clwlkfoclwwlk  30523  extwwlkfablem2  30676  numclwlk2lem2f  30701  numclwlk2lem2f1o  30703