Theorem clwwlknprop 24448

Description: Properties of a closed walk of a fixed length as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
clwwlknprop	|- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )

Proof of Theorem clwwlknprop

Dummy variables e n p t v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3791	. . 3 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) )
2		ndmfv 5888	. . . 4 |- ( -. N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) )
3	2	necon1ai 2698	. . 3 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> N e. dom ( V ClWWalksN E ) )
4		df-clwwlkn 24428	. . . . . . . . . 10 |- ClWWalksN = ( v e. _V , e e. _V |-> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ClWWalksN = ( v e. _V , e e. _V |-> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) ) )
6		oveq12 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( v ClWWalks e ) = ( V ClWWalks E ) )
7		rabeq 3107	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v ClWWalks e ) = ( V ClWWalks E ) -> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } )
9	8	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( v = V /\ e = E ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
10	9	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( v = V /\ e = E ) ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( v ClWWalks e ) | ( # ` w ) = n } ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
11		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> V e. _V )
12		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> E e. _V )
13		nn0ex 10797	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 e. _V
14	13	mptex 6129	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) e. _V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) e. _V )
16	5, 10, 11, 12, 15	ovmpt2d 6412	. . . . . . . 8 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ClWWalksN E ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
17	16	3adant3 1016	. . . . . . 7 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( V ClWWalksN E ) = ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
18	17	dmeqd 5203	. . . . . 6 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> dom ( V ClWWalksN E ) = dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) )
19	18	eleq2d 2537	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) ) )
20		dmopabss 5212	. . . . . . . 8 |- dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } C_ NN0
21	20	sseli 3500	. . . . . . 7 |- ( N e. dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } -> N e. NN0 )
22		clwwlkn 24443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ N e. NN0 ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } )
23	22	3expa 1196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } )
24	23	eleq2d 2537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) )
25		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = P -> ( # ` p ) = ( # ` P ) )
26	25	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = P -> ( ( # ` p ) = N <-> ( # ` P ) = N ) )
27	26	elrab 3261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } <-> ( P e. ( V ClWWalks E ) /\ ( # ` P ) = N ) )
28		clwwlkprop 24446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( V ClWWalks E ) -> ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) )
29		simpl3 1001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> P e. Word V )
30		lencl 12524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Word V -> ( # ` P ) e. NN0 )
31		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` P ) = N -> ( ( # ` P ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
32	30, 31	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( P e. Word V -> ( ( # ` P ) = N -> N e. NN0 ) )
33	32	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) -> ( ( # ` P ) = N -> N e. NN0 ) )
34	33	impac 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) )
35	29, 34	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ P e. Word V ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
36	28, 35	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ( V ClWWalks E ) /\ ( # ` P ) = N ) -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
37	27, 36	sylbi 195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
38	37	anim2i 569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
39		3anass 977	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) <-> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ ( P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
40	38, 39	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. { p e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` p ) = N } -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
43	24, 42	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ N e. NN0 ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
44	43	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. NN0 -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
45	44	com23 78	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
46	45	a1d 25	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
47	4	reldmmpt2 6395	. . . . . . . . . . . 12 |- Rel dom ClWWalksN
48	47	ovprc 6309	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( V ClWWalksN E ) = (/) )
49		fveq1 5863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( V ClWWalksN E ) = (/) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = ( (/) ` N ) )
50		0fv 5897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) ` N ) = (/)
51	49, 50	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( V ClWWalksN E ) = (/) -> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) )
52		eqneqall 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) = (/) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
53	48, 51, 52	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) ) )
54	46, 53	pm2.61i 164	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) =/= (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
55	1, 54	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
56	55	pm2.43i 47	. . . . . . 7 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( N e. NN0 -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
57	21, 56	syl5com 30	. . . . . 6 |- ( N e. dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) } -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
58		df-mpt 4507	. . . . . . 7 |- ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) = { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) }
59	58	dmeqi 5202	. . . . . 6 |- dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) = dom { <. n , t >. | ( n e. NN0 /\ t = { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) }
60	57, 59	eleq2s 2575	. . . . 5 |- ( N e. dom ( n e. NN0 |-> { w e. ( V ClWWalks E ) | ( # ` w ) = n } ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
61	19, 60	syl6bi 228	. . . 4 |- ( ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
62		3ianor 990	. . . . 5 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) )
63		df-3or 974	. . . . . 6 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) <-> ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) )
64		ianor 488	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) <-> ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) )
65	48	dmeqd 5203	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> dom ( V ClWWalksN E ) = dom (/) )
66	65	eleq2d 2537	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. dom (/) ) )
67		dm0 5214	. . . . . . . . . . 11 |- dom (/) = (/)
68	67	eleq2i 2545	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. dom (/) <-> N e. (/) )
69	66, 68	syl6bb 261	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) <-> N e. (/) ) )
70		noel 3789	. . . . . . . . . 10 |- -. N e. (/)
71	70	pm2.21i 131	. . . . . . . . 9 |- ( N e. (/) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
72	69, 71	syl6bi 228	. . . . . . . 8 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
73	64, 72	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
74	73, 72	jaoi 379	. . . . . 6 |- ( ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V ) \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
75	63, 74	sylbi 195	. . . . 5 |- ( ( -. V e. _V \/ -. E e. _V \/ -. ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
76	62, 75	sylbi 195	. . . 4 |- ( -. ( V e. _V /\ E e. _V /\ ( V e. _V /\ E e. _V ) ) -> ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) ) )
77	61, 76	pm2.61i 164	. . 3 |- ( N e. dom ( V ClWWalksN E ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
78	1, 3, 77	3syl 20	. 2 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) ) )
79	78	pm2.43i 47	1 |- ( P e. ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) -> ( ( V e. _V /\ E e. _V ) /\ P e. Word V /\ ( N e. NN0 /\ ( # ` P ) = N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   \/ w3o 972   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   {crab 2818   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {copab 4504   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   NN0cn0 10791   #chash 12369  Word cword 12496   ClWWalks cclwwlk 24424   ClWWalksN cclwwlkn 24425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-clwwlk 24427  df-clwwlkn 24428

This theorem is referenced by:  clwwlknndef  24449  clwwlknimp  24452  clwwlknwwlkncl  24476  clwwlkext2edg  24478  wwlksubclwwlk  24480  clwwnisshclwwn  24485  eleclclwwlknlem1  24493  eleclclwwlknlem2  24494  clwwlknscsh  24495  erclwwlkneqlen  24500  erclwwlknref  24501  erclwwlknsym  24502  erclwwlkntr  24503  hashecclwwlkn1  24510  usghashecclwwlk  24511  clwlkfoclwwlk  24521  extwwlkfablem2  24755  numclwlk2lem2f  24780  numclwlk2lem2f1o  24782