MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlknprop Structured version   Unicode version

Theorem clwwlknprop 24898
Description: Properties of a closed walk of a fixed length as word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknprop  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )

Proof of Theorem clwwlknprop
Dummy variables  e  n  p  t  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ne0i 3799 . . 3  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/) )
2 ndmfv 5896 . . . 4  |-  ( -.  N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  (
( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  (/) )
32necon1ai 2688 . . 3  |-  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  =/=  (/)  ->  N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E ) )
4 oveq12 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( v ClWWalks  e )  =  ( V ClWWalks  E ) )
5 rabeq 3103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v ClWWalks  e )  =  ( V ClWWalks  E )  ->  { w  e.  ( v ClWWalks  e )  |  ( # `  w
)  =  n }  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  { w  e.  ( v ClWWalks  e )  |  ( # `  w
)  =  n }  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } )
76mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  V  /\  e  =  E )  ->  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  (
v ClWWalks  e )  |  (
# `  w )  =  n } )  =  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) )
8 df-clwwlkn 24878 . . . . . . . . 9  |- ClWWalksN  =  ( v  e.  _V , 
e  e.  _V  |->  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( v ClWWalks  e )  |  ( # `  w
)  =  n }
) )
9 nn0ex 10822 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  e.  _V
109mptex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  e.  _V
117, 8, 10ovmpt2a 6432 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ClWWalksN  E )  =  ( n  e. 
NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) )
12113adant3 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  -> 
( V ClWWalksN  E )  =  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) )
1312dmeqd 5215 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  ->  dom  ( V ClWWalksN  E )  =  dom  ( n  e. 
NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) )
1413eleq2d 2527 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  -> 
( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  <->  N  e.  dom  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) ) )
15 dmopabss 5224 . . . . . . . 8  |-  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) } 
C_  NN0
1615sseli 3495 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e.  NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) }  ->  N  e.  NN0 )
17 clwwlkn 24893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  {
p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N } )
18173expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }
)
1918eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  <->  P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N } ) )
20 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  P  ->  ( # `
 p )  =  ( # `  P
) )
2120eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  P  ->  (
( # `  p )  =  N  <->  ( # `  P
)  =  N ) )
2221elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }  <->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 P )  =  N ) )
23 clwwlkprop 24896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
) )
24 simpl3 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( # `  P
)  =  N )  ->  P  e. Word  V
)
25 lencl 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
26 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  N  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2725, 26syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  =  N  ->  N  e.  NN0 ) )
28273ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  (
( # `  P )  =  N  ->  N  e.  NN0 ) )
2928impac 621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( # `  P
)  =  N )  ->  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) )
3024, 29jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  /\  ( # `  P
)  =  N )  ->  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) )
3123, 30sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 P )  =  N )  ->  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )
3222, 31sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }  ->  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) )
3332anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
34 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e.  { p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  p
)  =  N }
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )
3635ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  {
p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N }  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
3736adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  e. 
{ p  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  p )  =  N }  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
3819, 37sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
3938ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
4039com23 78 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  ( N  e.  NN0  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
4140a1d 25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) ) )
428mpt2ndm0 6515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V ClWWalksN  E )  =  (/) )
43 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V ClWWalksN  E )  =  (/)  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  =  ( (/) `  N ) )
44 0fv 5905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/) `  N )  =  (/)
4543, 44syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V ClWWalksN  E )  =  (/)  ->  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  =  (/) )
46 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  (/)  ->  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) ) )
4742, 45, 463syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) ) )
4841, 47pm2.61i 164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  =/=  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) )
491, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
5049pm2.43i 47 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
5116, 50syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( N  e.  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e.  NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) }  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
52 df-mpt 4517 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  =  { <. n ,  t >.  |  ( n  e.  NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
) }
5352dmeqi 5214 . . . . . 6  |-  dom  (
n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  =  dom  { <. n ,  t >.  |  ( n  e. 
NN0  /\  t  =  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  (
# `  w )  =  n } ) }
5451, 53eleq2s 2565 . . . . 5  |-  ( N  e.  dom  ( n  e.  NN0  |->  { w  e.  ( V ClWWalks  E )  |  ( # `  w
)  =  n }
)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
5514, 54syl6bi 228 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )  -> 
( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  -> 
( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
56 3ianor 990 . . . . 5  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) ) )
57 df-3or 974 . . . . . 6  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )  <->  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) ) )
58 ianor 488 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V ) )
5942dmeqd 5215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  dom  ( V ClWWalksN  E )  =  dom  (/) )
6059eleq2d 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  <->  N  e.  dom  (/) ) )
61 dm0 5226 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  (/)  =  (/)
6261eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  dom  (/)  <->  N  e.  (/) )
6360, 62syl6bb 261 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  <->  N  e.  (/) ) )
64 noel 3797 . . . . . . . . . 10  |-  -.  N  e.  (/)
6564pm2.21i 131 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  (/)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
6663, 65syl6bi 228 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  -> 
( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  (
( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
6758, 66sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V )  ->  ( N  e. 
dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
6867, 66jaoi 379 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  V  e. 
_V  \/  -.  E  e.  _V )  \/  -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
6957, 68sylbi 195 . . . . 5  |-  ( ( -.  V  e.  _V  \/  -.  E  e.  _V  \/  -.  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) ) )
7056, 69sylbi 195 . . . 4  |-  ( -.  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )
)  ->  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) ) )
7155, 70pm2.61i 164 . . 3  |-  ( N  e.  dom  ( V ClWWalksN  E )  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) ) )
721, 3, 713syl 20 . 2  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  -> 
( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e. 
NN0  /\  ( # `  P
)  =  N ) ) ) )
7372pm2.43i 47 1  |-  ( P  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  P  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  =  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {crab 2811   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   {copab 4514    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   NN0cn0 10816   #chash 12407  Word cword 12537   ClWWalks cclwwlk 24874   ClWWalksN cclwwlkn 24875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-hash 12408  df-word 12545  df-clwwlk 24877  df-clwwlkn 24878
This theorem is referenced by:  clwwlknndef  24899  clwwlknimp  24902  clwwlknwwlkncl  24926  clwwlkext2edg  24928  wwlksubclwwlk  24930  clwwnisshclwwn  24935  eleclclwwlknlem1  24943  eleclclwwlknlem2  24944  clwwlknscsh  24945  erclwwlkneqlen  24950  erclwwlknref  24951  erclwwlknsym  24952  erclwwlkntr  24953  hashecclwwlkn1  24960  usghashecclwwlk  24961  clwlkfoclwwlk  24971  extwwlkfablem2  25204  numclwlk2lem2f  25229  numclwlk2lem2f1o  25231
  Copyright terms: Public domain W3C validator