Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwwlknndef Structured version   Unicode version

Theorem clwwlknndef 30577
Description: Conditions for ClWWalksN not being defined. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlknndef  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  (/) )

Proof of Theorem clwwlknndef
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neq0 3748 . . 3  |-  ( -.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  =  (/) 
<->  E. w  w  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )
2 clwwlknprop 30576 . . . . 5  |-  ( w  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  w  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `
 w )  =  N ) ) )
3 nnel 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  V  e/  _V  <->  V  e.  _V )
43bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  e.  _V  <->  -.  V  e/  _V )
5 nnel 2793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  E  e/  _V  <->  E  e.  _V )
65bicomi 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E  e.  _V  <->  -.  E  e/  _V )
74, 6anbi12i 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V ) )
8 nnel 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  N  e/  NN0  <->  N  e.  NN0 )
98bicomi 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  -.  N  e/  NN0 )
107, 9anbi12i 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1110biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
12 df-3an 967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  V  e/  _V  /\ 
-.  E  e/  _V  /\ 
-.  N  e/  NN0 ) 
<->  ( ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V )  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1311, 12sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1413adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  w
)  =  N ) )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
15143adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  w  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  w
)  =  N ) )  ->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
16 3ioran 983 . . . . . 6  |-  ( -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  <->  ( -.  V  e/  _V  /\  -.  E  e/  _V  /\  -.  N  e/  NN0 ) )
1715, 16sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  w  e. Word  V  /\  ( N  e.  NN0  /\  ( # `  w
)  =  N ) )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
182, 17syl 16 . . . 4  |-  ( w  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
1918exlimiv 1689 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
201, 19sylbi 195 . 2  |-  ( -.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  =  (/)  ->  -.  ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 ) )
2120con4i 130 1  |-  ( ( V  e/  _V  \/  E  e/  _V  \/  N  e/  NN0 )  ->  (
( V ClWWalksN  E ) `  N )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    e/ wnel 2645   _Vcvv 3071   (/)c0 3738   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   NN0cn0 10683   #chash 12213  Word cword 12332   ClWWalksN cclwwlkn 30555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-hash 12214  df-word 12340  df-clwwlk 30557  df-clwwlkn 30558
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator