Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkndivn Structured version   Unicode version

Theorem clwwlkndivn 25241
 Description: The size of the set of closed walks (defined as words) of length n is divisible by n. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkndivn USGrph ClWWalksN

Proof of Theorem clwwlkndivn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 998 . . . . . 6 USGrph
2 usgrav 24742 . . . . . . . 8 USGrph
32simprd 461 . . . . . . 7 USGrph
433ad2ant1 1018 . . . . . 6 USGrph
5 prmnn 14427 . . . . . . . 8
65nnnn0d 10892 . . . . . . 7
763ad2ant3 1020 . . . . . 6 USGrph
8 eqid 2402 . . . . . . 7 ClWWalksN ClWWalksN
9 eqid 2402 . . . . . . 7 ClWWalksN ClWWalksN cyclShift ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
108, 9qerclwwlknfi 25233 . . . . . 6 ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
111, 4, 7, 10syl3anc 1230 . . . . 5 USGrph ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
12 hashcl 12473 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
1311, 12syl 17 . . . 4 USGrph ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
1413nn0zd 11005 . . 3 USGrph ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
15 prmz 14428 . . . 4
16153ad2ant3 1020 . . 3 USGrph
17 dvdsmul2 14213 . . 3 ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
1814, 16, 17syl2anc 659 . 2 USGrph ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
198, 9hashclwwlkn 25240 . . 3 USGrph ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
20193com12 1201 . 2 USGrph ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN ClWWalksN cyclShift
2118, 20breqtrrd 4420 1 USGrph ClWWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842  wrex 2754  cvv 3058   class class class wbr 4394  copab 4451  cfv 5568  (class class class)co 6277  cqs 7346  cfn 7553  cc0 9521   cmul 9526  cn0 10835  cz 10904  cfz 11724  chash 12450   cyclShift ccsh 12813   cdvds 14193  cprime 14424   USGrph cusg 24734   ClWWalksN cclwwlkn 25153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-ico 11587  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-word 12589  df-lsw 12590  df-concat 12591  df-substr 12593  df-reps 12596  df-csh 12814  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-dvds 14194  df-gcd 14352  df-prm 14425  df-phi 14503  df-usgra 24737  df-clwwlk 25155  df-clwwlkn 25156 This theorem is referenced by:  clwlkndivn  25257  numclwwlk8  25519
 Copyright terms: Public domain W3C validator