Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem clwwlkn2 25582
 Description: In an undirected simple graph, a closed walk of length 2 represented as word is a word consisting of 2 symbols representing vertices connected by an edge. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn2 USGrph ClWWalksN Word

Proof of Theorem clwwlkn2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 25144 . . 3 USGrph
2 2nn0 10910 . . . . 5
3 isclwwlkn 25576 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalks
42, 3mp3an3 1379 . . . 4 ClWWalksN ClWWalks
5 isclwwlk 25575 . . . . 5 ClWWalks Word ..^ lastS
65anbi1d 719 . . . 4 ClWWalks Word ..^ lastS
74, 6bitrd 261 . . 3 ClWWalksN Word ..^ lastS
81, 7syl 17 . 2 USGrph ClWWalksN Word ..^ lastS
9 3anass 1011 . . . . 5 Word ..^ lastS Word ..^ lastS
10 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . 12
1110oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
1211raleqdv 2979 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
1312ad2antlr 741 . . . . . . . . 9 USGrph Word ..^ ..^
14 2m1e1 10746 . . . . . . . . . . . . 13
1514oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
16 fzo01 12024 . . . . . . . . . . . 12 ..^
1715, 16eqtri 2493 . . . . . . . . . . 11 ..^
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10 USGrph Word ..^
1918raleqdv 2979 . . . . . . . . 9 USGrph Word ..^
20 c0ex 9655 . . . . . . . . . 10
21 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
22 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . 15
2422, 23syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14
2524fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13
2621, 25preq12d 4050 . . . . . . . . . . . 12
2726eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11
2827ralsng 3997 . . . . . . . . . 10
2920, 28mp1i 13 . . . . . . . . 9 USGrph Word
3013, 19, 293bitrd 287 . . . . . . . 8 USGrph Word ..^
3130anbi1d 719 . . . . . . 7 USGrph Word ..^ lastS lastS
32 lsw 12762 . . . . . . . . . . . . . 14 Word lastS
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph Word lastS
3410ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 USGrph Word
3534, 14syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14 USGrph Word
3635fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13 USGrph Word
3733, 36eqtr2d 2506 . . . . . . . . . . . 12 USGrph Word lastS
3837preq2d 4049 . . . . . . . . . . 11 USGrph Word lastS
39 prcom 4041 . . . . . . . . . . 11 lastS lastS
4038, 39syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10 USGrph Word lastS
4140eleq1d 2533 . . . . . . . . 9 USGrph Word lastS
4241biimpd 212 . . . . . . . 8 USGrph Word lastS
4342pm4.71d 646 . . . . . . 7 USGrph Word lastS
4431, 43bitr4d 264 . . . . . 6 USGrph Word ..^ lastS
4544pm5.32da 653 . . . . 5 USGrph Word ..^ lastS Word
469, 45syl5bb 265 . . . 4 USGrph Word ..^ lastS Word
4746ex 441 . . 3 USGrph Word ..^ lastS Word
4847pm5.32rd 652 . 2 USGrph Word ..^ lastS Word
49 3anass 1011 . . . 4 Word Word
50 ancom 457 . . . 4 Word Word
5149, 50bitr2i 258 . . 3 Word Word
5251a1i 11 . 2 USGrph Word Word
538, 48, 523bitrd 287 1 USGrph ClWWalksN Word
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmin 9880  c2 10681  cn0 10893  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703   lastS clsw 12704   USGrph cusg 25136   ClWWalks cclwwlk 25555   ClWWalksN cclwwlkn 25556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-usgra 25139  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559 This theorem is referenced by:  numclwwlkovf2  25891
 Copyright terms: Public domain W3C validator