Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkn Structured version   Unicode version

Theorem clwwlkn 24558
 Description: The set of closed walks (in an undirected graph) of a fixed length as words over the set of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkn ClWWalksN ClWWalks
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem clwwlkn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . . 3
2 ovex 6319 . . . 4 ClWWalks
3 rabexg 4602 . . . 4 ClWWalks ClWWalks
42, 3mp1i 12 . . 3 ClWWalks
5 eqeq2 2482 . . . . 5
65rabbidv 3110 . . . 4 ClWWalks ClWWalks
7 eqid 2467 . . . 4 ClWWalks ClWWalks
86, 7fvmptg 5954 . . 3 ClWWalks ClWWalks ClWWalks
91, 4, 8syl2anc 661 . 2 ClWWalks ClWWalks
10 df-clwwlkn 24543 . . . . . . 7 ClWWalksN ClWWalks
1110a1i 11 . . . . . 6 ClWWalksN ClWWalks
12 oveq12 6303 . . . . . . . . 9 ClWWalks ClWWalks
13 rabeq 3112 . . . . . . . . 9 ClWWalks ClWWalks ClWWalks ClWWalks
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8 ClWWalks ClWWalks
1514mpteq2dv 4539 . . . . . . 7 ClWWalks ClWWalks
1615adantl 466 . . . . . 6 ClWWalks ClWWalks
17 elex 3127 . . . . . . 7
1817adantr 465 . . . . . 6
19 elex 3127 . . . . . . 7
2019adantl 466 . . . . . 6
21 nn0ex 10811 . . . . . . . 8
2221mptex 6141 . . . . . . 7 ClWWalks
2322a1i 11 . . . . . 6 ClWWalks
2411, 16, 18, 20, 23ovmpt2d 6424 . . . . 5 ClWWalksN ClWWalks
2524fveq1d 5873 . . . 4 ClWWalksN ClWWalks
2625eqeq1d 2469 . . 3 ClWWalksN ClWWalks ClWWalks ClWWalks
27263adant3 1016 . 2 ClWWalksN ClWWalks ClWWalks ClWWalks
289, 27mpbird 232 1 ClWWalksN ClWWalks
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  crab 2821  cvv 3118   cmpt 4510  cfv 5593  (class class class)co 6294   cmpt2 6296  cn0 10805  chash 12383   ClWWalks cclwwlk 24539   ClWWalksN cclwwlkn 24540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-nn 10547  df-n0 10806  df-clwwlkn 24543 This theorem is referenced by:  isclwwlkn  24560  clwwlknprop  24563  clwwlkn0  24565  clwwlknfi  24569
 Copyright terms: Public domain W3C validator