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Theorem clwwlkgt0 30572
Description: A closed walk in an undirected graph has a length of at least 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkgt0  |-  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) )

Proof of Theorem clwwlkgt0
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3  |-  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) )
21a1d 25 . 2  |-  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
3 clwwlkprop 30571 . . . 4  |-  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V
) )
4 lencl 12351 . . . . . 6  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
5 nn0re 10689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
6 2re 10492 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
76a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
85, 7ltnled 9622 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  <  2  <->  -.  2  <_  (
# `  P )
) )
9 nn0lt2 30324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  <  2 )  -> 
( ( # `  P
)  =  0  \/  ( # `  P
)  =  1 ) )
10 usgrav 23405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
11 isclwwlk 30569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  P
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
12 lsw 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
13 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  0  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
1413fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  0  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
0  -  1 ) ) )
1512, 14sylan9eq 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  P )  =  0 )  -> 
( lastS  `  P )  =  ( P `  (
0  -  1 ) ) )
1615preq1d 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  P )  =  0 )  ->  { ( lastS  `  P ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P `  ( 0  -  1 ) ) ,  ( P `  0 ) } )
17 hasheq0 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  =  0  <->  P  =  (/) ) )
18 fveq1 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  =  (/)  ->  ( P `
 ( 0  -  1 ) )  =  ( (/) `  ( 0  -  1 ) ) )
19 fveq1 5788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  =  (/)  ->  ( P `
 0 )  =  ( (/) `  0 ) )
2018, 19preq12d 4060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  =  (/)  ->  { ( P `  ( 0  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( (/) `  (
0  -  1 ) ) ,  ( (/) `  0 ) } )
21 0fv 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (/) `  ( 0  -  1 ) )  =  (/)
22 0fv 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (/) `  0 )  =  (/)
2321, 22preq12i 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { (
(/) `  ( 0  -  1 ) ) ,  ( (/) `  0
) }  =  { (/)
,  (/) }
2420, 23syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P  =  (/)  ->  { ( P `  ( 0  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { (/) ,  (/) } )
2517, 24syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  =  0  ->  { ( P `  ( 0  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { (/) ,  (/) } ) )
2625imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  P )  =  0 )  ->  { ( P `  ( 0  -  1 ) ) ,  ( P `  0 ) }  =  { (/) ,  (/) } )
2716, 26eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  P )  =  0 )  ->  { ( lastS  `  P ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { (/) ,  (/) } )
2827eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  P )  =  0 )  -> 
( { ( lastS  `  P
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { (/) ,  (/) }  e.  ran  E ) )
29 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  =  (/)
30 usgraedgrn 23435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { (/) ,  (/) }  e.  ran  E
)  ->  (/)  =/=  (/) )
31 eqneqall 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (/)  =  (/)  ->  ( (/)  =/=  (/)  ->  2  <_  ( # `  P
) ) )
3229, 30, 31mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { (/) ,  (/) }  e.  ran  E
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
3332expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( {
(/) ,  (/) }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  2  <_  ( # `
 P ) ) )
3428, 33syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  P )  =  0 )  -> 
( { ( lastS  `  P
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  -> 
( V USGrph  E  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
3534impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  { ( lastS  `  P ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( # `  P )  =  0  ->  ( V USGrph  E  ->  2  <_  (
# `  P )
) ) )
36353adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  P
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( # `  P )  =  0  ->  ( V USGrph  E  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
3711, 36syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  (
( # `  P )  =  0  ->  ( V USGrph  E  ->  2  <_  (
# `  P )
) ) ) )
3837com24 87 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  -> 
( ( # `  P
)  =  0  -> 
( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
3910, 38mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  P )  =  0  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
4039com12 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  P )  =  0  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
4112preq1d 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  { ( lastS  `  P ) ,  ( P `  0 ) }  =  { ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )
4241eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( { ( lastS  `  P ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
43 oveq1 6197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  1  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
4443fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  P )  =  1  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
1  -  1 ) ) )
45 1m1e0 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4645fveq2i 5792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( P `  0
)
4744, 46syl6eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
# `  P )  =  1  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  0
) )
4847preq1d 4058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
# `  P )  =  1  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P ` 
0 ) ,  ( P `  0 ) } )
4948eleq1d 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
# `  P )  =  1  ->  ( { ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )
50 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P `
 0 )  =  ( P `  0
)
51 usgraedgrn 23435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( P `  0 )  =/=  ( P `  0
) )
52 eqneqall 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P `  0 )  =  ( P ` 
0 )  ->  (
( P `  0
)  =/=  ( P `
 0 )  -> 
( P  e. Word  V  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
5350, 51, 52mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V USGrph  E  /\  { ( P `  0 ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( P  e. Word  V  ->  2  <_  ( # `  P
) ) )
5453expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( { ( P `  0
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P  e. Word  V  -> 
2  <_  ( # `  P
) ) ) )
5549, 54syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  P )  =  1  ->  ( { ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P  e. Word  V  -> 
2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
5655com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( { ( P `  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  -> 
( V USGrph  E  ->  ( ( # `  P
)  =  1  -> 
2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
5742, 56sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( { ( lastS  `  P ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  P )  =  1  ->  2  <_  ( # `
 P ) ) ) ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  { ( lastS  `  P ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `
 P )  =  1  ->  2  <_  (
# `  P )
) ) )
59583adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  P
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `  P
)  =  1  -> 
2  <_  ( # `  P
) ) ) )
6011, 59syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( ( # `
 P )  =  1  ->  2  <_  (
# `  P )
) ) ) )
6160com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( V USGrph  E  -> 
( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  (
( # `  P )  =  1  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
6210, 61mpcom 36 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( ( # `  P
)  =  1  -> 
2  <_  ( # `  P
) ) ) )
6362com3r 79 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  P )  =  1  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
6440, 63jaoi 379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
659, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  <  2 )  -> 
( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
6665ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  <  2  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
678, 66sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( -.  2  <_  ( # `  P
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
6867com24 87 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V USGrph  E  -> 
( -.  2  <_ 
( # `  P )  ->  2  <_  ( # `
 P ) ) ) ) )
694, 68syl 16 . . . . 5  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( -.  2  <_  ( # `  P
)  ->  2  <_  (
# `  P )
) ) ) )
70693ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  P  e. Word  V )  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( -.  2  <_  ( # `  P
)  ->  2  <_  (
# `  P )
) ) ) )
713, 70mpcom 36 . . 3  |-  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V USGrph  E  ->  ( -.  2  <_ 
( # `  P )  ->  2  <_  ( # `
 P ) ) ) )
7271com13 80 . 2  |-  ( -.  2  <_  ( # `  P
)  ->  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
732, 72pm2.61i 164 1  |-  ( V USGrph  E  ->  ( P  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  2  <_  ( # `  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   _Vcvv 3068   (/)c0 3735   {cpr 3977   class class class wbr 4390   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696   2c2 10472   NN0cn0 10680  ..^cfzo 11649   #chash 12204  Word cword 12323   lastS clsw 12324   USGrph cusg 23399   ClWWalks cclwwlk 30551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-hash 12205  df-word 12331  df-lsw 12332  df-usgra 23401  df-clwwlk 30554
This theorem is referenced by:  clwwlkn0  30575
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