Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clwwlkf1o Structured version   Unicode version

Theorem clwwlkf1o 30609
Description: Lemma 5 for clwwlkbij 30610: F is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
clwwlkbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwwlkf1o  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-onto-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, V    t, D    t, E, w    t, N    t, V    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    D( w)    F( w, t)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1o
StepHypRef Expression
1 clwwlkbij.d . . 3  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
2 clwwlkbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
31, 2clwwlkf1 30607 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
41, 2clwwlkfo 30608 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -onto-> (
( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
5 df-f1o 5534 . 2  |-  ( F : D -1-1-onto-> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  <->  ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  /\  F : D -onto-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-onto-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   <.cop 3992    |-> cmpt 4459   -1-1->wf1 5524   -onto->wfo 5525   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   NNcn 10434   lastS clsw 12341   substr csubstr 12344   WWalksN cwwlkn 30461   ClWWalksN cclwwlkn 30563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-pm 7328  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-lsw 12349  df-concat 12350  df-s1 12351  df-substr 12352  df-wwlk 30462  df-wwlkn 30463  df-clwwlk 30565  df-clwwlkn 30566
This theorem is referenced by:  clwwlkbij  30610  clwwlkvbij  30612
  Copyright terms: Public domain W3C validator