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Theorem clwwlkf1 25517
Description: Lemma 3 for clwwlkbij 25520: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
clwwlkbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwwlkf1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, V    t, D    t, E, w    t, N    t, V    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    D( w)    F( w, t)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkbij.d . . 3  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
2 clwwlkbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
31, 2clwwlkf 25515 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D --> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
41, 2clwwlkfv 25516 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  N >. ) )
51, 2clwwlkfv 25516 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )
64, 5eqeqan12d 2466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
76adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
8 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  x ) )
9 fveq1 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
108, 9eqeq12d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
1110, 1elrab2 3197 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
12 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  y ) )
13 fveq1 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
1412, 13eqeq12d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1514, 1elrab2 3197 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1611, 15anbi12i 702 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) ) )
17 wwlknimp 25408 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
18 wwlknimp 25408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
19 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )
20 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )
2119, 20eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
2221ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
23 nncn 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 ax-1cn 9594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  CC
25 pncan 9878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2625eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2723, 24, 26sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
28 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  x )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
2928eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  x )  -  1 ) )
3027, 29sylan9eqr 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =  ( (
# `  x )  -  1 ) )
3130opeq2d 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  -> 
<. 0 ,  N >.  =  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )
3231oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3331oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3432, 33eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3534ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3635ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3736adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3837impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3938biimpa 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
40 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  y  e. Word  V
)
41 simpll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  x  e. Word  V
)
4240, 41anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )
)
4342adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V
) )
44 nnnn0 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
45 0nn0 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  NN0
4644, 45jctil 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
4746adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
48 nnre 10613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
4948lep1d 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
50 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  x
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5149, 50syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5251ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  x )
) )
5352adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5453impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 x ) )
55 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  y
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5649, 55syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5756ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  y )
) )
5857adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5958impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 y ) )
60 swrdspsleq 12800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  x
)  /\  N  <_  (
# `  y )
) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
6143, 47, 54, 59, 60syl112anc 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  (
0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
62 lbfzo0 11952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
6362biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
6463adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
65 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
x `  i )  =  ( x ` 
0 ) )
66 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
y `  i )  =  ( y ` 
0 ) )
6765, 66eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  (
( x `  i
)  =  ( y `
 i )  <->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6867rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `
 i )  =  ( y `  i
)  ->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i
)  =  ( y `
 i )  -> 
( x `  0
)  =  ( y `
 0 ) ) )
7061, 69sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  ( x ` 
0 )  =  ( y `  0 ) ) )
7170imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
72 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) )
73 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )
7472, 73eqeqan12rd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7574ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7671, 75mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) )
7722, 39, 76jca32 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) )
7841adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  x  e. Word  V )
7978adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  x  e. Word  V
)
8040adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  y  e. Word  V )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  y  e. Word  V
)
82 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
83 nngt0 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
84 0lt1 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  <  1
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
8648, 82, 83, 85addgt0d 10185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
87 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  x
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
8886, 87syl5ibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
8988ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  (
# `  x )
) )
9089adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
9190impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  <  ( # `
 x ) )
9279, 81, 913jca 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x ) ) )
9392adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) ) )
94 2swrd1eqwrdeq 12805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9677, 95mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  x  =  y )
9796exp31 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
98973ad2ant3 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0
) )  /\  (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
9998expdcom 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
10099ex 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 )  -> 
( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1011003adant3 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  y )  =  ( y `  0
)  ->  ( (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10218, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
103102imp 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
104103expdcom 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 )  -> 
( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1051043adant3 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( x `  0
)  ->  ( (
y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10617, 105syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 )  ->  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
107106imp31 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
108107com12 32 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
10916, 108syl5bi 221 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
110109imp 431 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) )
1117, 110sylbid 219 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
112111ralrimivva 2808 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
113 dff13 6157 . 2  |-  ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  <->  ( F : D
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1143, 112, 113sylanbrc 669 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   {cpr 3969   <.cop 3973   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   NNcn 10606   NN0cn0 10866  ..^cfzo 11912   #chash 12512  Word cword 12653   lastS clsw 12654   substr csubstr 12657   WWalksN cwwlkn 25399   ClWWalksN cclwwlkn 25470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513  df-word 12661  df-lsw 12662  df-s1 12664  df-substr 12665  df-wwlk 25400  df-wwlkn 25401  df-clwwlk 25472  df-clwwlkn 25473
This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  25519
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