Theorem clwwlkf1 24460

Description: Lemma 3 for clwwlkbij 24463: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkbij.d	|- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
clwwlkbij.f	|- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )

Assertion

Ref	Expression
clwwlkf1	|- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Distinct variable groups:   w, E   w, N   w, V   t, D   t, E, w   t, N   t, V   t, X   t, Y

Allowed substitution hints:   D( w)   F( w, t)   X( w)   Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkbij.d	. . 3 |- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
2		clwwlkbij.f	. . 3 |- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )
3	1, 2	clwwlkf 24458	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )
4	1, 2	clwwlkfv 24459	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( F ` x ) = ( x substr <. 0 , N >. ) )
5	1, 2	clwwlkfv 24459	. . . . . 6 |- ( y e. D -> ( F ` y ) = ( y substr <. 0 , N >. ) )
6	4, 5	eqeqan12d 2485	. . . . 5 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
7	6	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
8		fveq2 5859	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` x ) )
9		fveq1 5858	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
10	8, 9	eqeq12d 2484	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
11	10, 1	elrab2 3258	. . . . . . 7 |- ( x e. D <-> ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
12		fveq2 5859	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` y ) )
13		fveq1 5858	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
14	12, 13	eqeq12d 2484	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
15	14, 1	elrab2 3258	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
16	11, 15	anbi12i 697	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) <-> ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) )
17		wwlknimp 24351	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
18		wwlknimp 24351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
19		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( N + 1 ) )
20		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` y ) = ( N + 1 ) )
21	19, 20	eqtr4d 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
23		nncn 10535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( N e. NN -> N e. CC )
24		ax-1cn 9541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 1 e. CC
25		pncan 9817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
26	25	eqcomd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
27	23, 24, 26	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
28		oveq1 6284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( # ` x ) - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
29	28	eqcomd 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = ( ( # ` x ) - 1 ) )
30	27, 29	sylan9eqr 2525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> N = ( ( # ` x ) - 1 ) )
31	30	opeq2d 4215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> <. 0 , N >. = <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. )
32	31	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
33	31	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( y substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
34	32, 33	eqeq12d 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
35	34	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
36	35	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
38	37	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
39	38	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
40		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> y e. Word V )
41		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> x e. Word V )
42	40, 41	anim12ci 567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
44		nnnn0 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
45		0nn0 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. NN0
46	44, 45	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
48		nnre 10534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> N e. RR )
49	48	lep1d 10468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N <_ ( N + 1 ) )
50		breq2 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` x ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
51	49, 50	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
52	51	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
54	53	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` x ) )
55		breq2 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` y ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
56	49, 55	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
57	56	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
58	57	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
59	58	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` y ) )
60		swrdspsleq 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. Word V /\ y e. Word V ) /\ ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` x ) /\ N <_ ( # ` y ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
61	43, 47, 54, 59, 60	syl112anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
62		lbfzo0 11821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) <-> N e. NN )
63	62	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> 0 e. ( 0..^ N ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ N ) )
65		fveq2 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = 0 -> ( x ` i ) = ( x ` 0 ) )
66		fveq2 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = 0 -> ( y ` i ) = ( y ` 0 ) )
67	65, 66	eqeq12d 2484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( ( x ` i ) = ( y ` i ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
68	67	rspcv 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
69	64, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
70	61, 69	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
71	70	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
72		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) )
74	72, 73	eqeqan12rd 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
75	74	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
76	71, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) )
77	22, 39, 76	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) )
78	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> x e. Word V )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> x e. Word V )
80	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> y e. Word V )
81	80	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> y e. Word V )
82		1re 9586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 1 e. RR
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
84		nngt0 10556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> 0 < N )
85		0lt1 10066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 < 1
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
87	48, 83, 84, 86	addgt0d 10118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
88		breq2 4446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` x ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
89	87, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
90	89	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
92	91	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 < ( # ` x ) )
93	79, 81, 92	3jca 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
95		2swrd1eqwrdeq 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
97	77, 96	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> x = y )
98	97	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) )
99	98	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
100	99	3ad2ant3 1014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
101	100	expdcom 439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
102	101	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
103	102	3adant3 1011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
104	18, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
105	104	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
106	105	expdcom 439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
107	106	3adant3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
108	17, 107	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
109	108	imp31 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
110	109	com12 31	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
111	16, 110	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
112	111	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) )
113	7, 112	sylbid 215	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
114	113	ralrimivva 2880	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
115		dff13 6147	. 2 |- ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> ( F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) /\ A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
116	3, 114, 115	sylanbrc 664	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2809   {crab 2813   {cpr 4024   <.cop 4028   class class class wbr 4442   |-> cmpt 4500   ran crn 4995   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484   + caddc 9486   < clt 9619   <_ cle 9620   - cmin 9796   NNcn 10527   NN0cn0 10786  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   lastS clsw 12490   substr csubstr 12493   WWalksN cwwlkn 24342   ClWWalksN cclwwlkn 24413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-lsw 12498  df-s1 12500  df-substr 12501  df-wwlk 24343  df-wwlkn 24344  df-clwwlk 24415  df-clwwlkn 24416

This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  24462