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Theorem clwwlkf1 30456
Description: Lemma 3 for clwwlkbij 30459: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
clwwlkbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwwlkf1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, V    t, D    t, E, w    t, N    t, V    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    D( w)    F( w, t)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkbij.d . . 3  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
2 clwwlkbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
31, 2clwwlkf 30454 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D --> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
41, 2clwwlkfv 30455 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  N >. ) )
51, 2clwwlkfv 30455 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )
64, 5eqeqan12d 2457 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
8 fveq2 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  x ) )
9 fveq1 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
108, 9eqeq12d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
1110, 1elrab2 3118 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
12 fveq2 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  y ) )
13 fveq1 5689 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
1412, 13eqeq12d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1514, 1elrab2 3118 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1611, 15anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) ) )
17 wwlknimp 30319 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
18 wwlknimp 30319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
19 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )
20 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )
2119, 20eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
23 nncn 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 ax-1cn 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  e.  CC
25 pncan 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2625eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2723, 24, 26sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
28 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  x )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
2928eqcomd 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  x )  -  1 ) )
3027, 29sylan9eqr 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =  ( (
# `  x )  -  1 ) )
3130opeq2d 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  -> 
<. 0 ,  N >.  =  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )
3231oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3331oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3432, 33eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3837impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3938biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
40 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  y  e. Word  V
)
41 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  x  e. Word  V
)
4240, 41anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )
)
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V
) )
44 nnnn0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
45 0nn0 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  NN0
4644, 45jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
48 nnre 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
4948lep1d 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
50 breq2 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  x
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5149, 50syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  x )
) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 x ) )
55 breq2 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  y
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5649, 55syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5756ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  y )
) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5958impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 y ) )
60 swrdspsleq 12341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  x
)  /\  N  <_  (
# `  y )
) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
6143, 47, 54, 59, 60syl112anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  (
0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
62 lbfzo0 11585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
6362biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
65 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  0  ->  (
x `  i )  =  ( x ` 
0 ) )
66 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  0  ->  (
y `  i )  =  ( y ` 
0 ) )
6765, 66eqeq12d 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
( x `  i
)  =  ( y `
 i )  <->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6867rspcv 3068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `
 i )  =  ( y `  i
)  ->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6964, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i
)  =  ( y `
 i )  -> 
( x `  0
)  =  ( y `
 0 ) ) )
7061, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  ( x ` 
0 )  =  ( y `  0 ) ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )
7472, 73eqeqan12rd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7671, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) )
7722, 39, 76jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) )
7841adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  x  e. Word  V )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  x  e. Word  V
)
8040adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  y  e. Word  V )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  y  e. Word  V
)
82 1re 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  RR
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
84 nngt0 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
85 0lt1 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
8748, 83, 84, 86addgt0d 9913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
88 breq2 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  x
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
8987, 88syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
9089ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  (
# `  x )
) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
9291impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  <  ( # `
 x ) )
9379, 81, 923jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x ) ) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) ) )
95 2swrd1eqwrdeq 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9777, 96mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  x  =  y )
9897ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) )
9998ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
100993ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0
) )  /\  (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
101100expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
102101ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 )  -> 
( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1031023adant3 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  y )  =  ( y `  0
)  ->  ( (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10418, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
105104imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
106105expdcom 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 )  -> 
( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1071063adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( x `  0
)  ->  ( (
y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10817, 107syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 )  ->  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
109108imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
110109com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
11116, 110syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
112111imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) )
1137, 112sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
114113ralrimivva 2807 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
115 dff13 5970 . 2  |-  ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  <->  ( F : D
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1163, 114, 115sylanbrc 664 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718   {cpr 3878   <.cop 3882   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   ran crn 4840   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594   NNcn 10321   NN0cn0 10578  ..^cfzo 11547   #chash 12102  Word cword 12220   lastS clsw 12221   substr csubstr 12224   WWalksN cwwlkn 30310   ClWWalksN cclwwlkn 30412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103  df-word 12228  df-lsw 12229  df-s1 12231  df-substr 12232  df-wwlk 30311  df-wwlkn 30312  df-clwwlk 30414  df-clwwlkn 30415
This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  30458
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