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Theorem clwwlkf1 24460
Description: Lemma 3 for clwwlkbij 24463: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
clwwlkbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwwlkf1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, V    t, D    t, E, w    t, N    t, V    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    D( w)    F( w, t)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkbij.d . . 3  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
2 clwwlkbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
31, 2clwwlkf 24458 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D --> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
41, 2clwwlkfv 24459 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  N >. ) )
51, 2clwwlkfv 24459 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )
64, 5eqeqan12d 2485 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
8 fveq2 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  x ) )
9 fveq1 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
108, 9eqeq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
1110, 1elrab2 3258 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
12 fveq2 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  y ) )
13 fveq1 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
1412, 13eqeq12d 2484 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1514, 1elrab2 3258 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1611, 15anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) ) )
17 wwlknimp 24351 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
18 wwlknimp 24351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
19 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )
20 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )
2119, 20eqtr4d 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
23 nncn 10535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 ax-1cn 9541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  1  e.  CC
25 pncan 9817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2625eqcomd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2723, 24, 26sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
28 oveq1 6284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  x )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
2928eqcomd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  x )  -  1 ) )
3027, 29sylan9eqr 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =  ( (
# `  x )  -  1 ) )
3130opeq2d 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  -> 
<. 0 ,  N >.  =  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )
3231oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3331oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3432, 33eqeq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3837impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3938biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
40 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  y  e. Word  V
)
41 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  x  e. Word  V
)
4240, 41anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )
)
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V
) )
44 nnnn0 10793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
45 0nn0 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  NN0
4644, 45jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
48 nnre 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
4948lep1d 10468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
50 breq2 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  x
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5149, 50syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  x )
) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 x ) )
55 breq2 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  y
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5649, 55syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5756ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  y )
) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5958impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 y ) )
60 swrdspsleq 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  x
)  /\  N  <_  (
# `  y )
) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
6143, 47, 54, 59, 60syl112anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  (
0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
62 lbfzo0 11821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
6362biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
65 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  0  ->  (
x `  i )  =  ( x ` 
0 ) )
66 fveq2 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  0  ->  (
y `  i )  =  ( y ` 
0 ) )
6765, 66eqeq12d 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
( x `  i
)  =  ( y `
 i )  <->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6867rspcv 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `
 i )  =  ( y `  i
)  ->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6964, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i
)  =  ( y `
 i )  -> 
( x `  0
)  =  ( y `
 0 ) ) )
7061, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  ( x ` 
0 )  =  ( y `  0 ) ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )
7472, 73eqeqan12rd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7671, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) )
7722, 39, 76jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) )
7841adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  x  e. Word  V )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  x  e. Word  V
)
8040adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  y  e. Word  V )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  y  e. Word  V
)
82 1re 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  RR
8382a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
84 nngt0 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
85 0lt1 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  <  1
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
8748, 83, 84, 86addgt0d 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
88 breq2 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  x
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
8987, 88syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
9089ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  (
# `  x )
) )
9190adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
9291impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  <  ( # `
 x ) )
9379, 81, 923jca 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x ) ) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) ) )
95 2swrd1eqwrdeq 12631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9777, 96mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  x  =  y )
9897ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) )
9998ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
100993ad2ant3 1014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0
) )  /\  (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
101100expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
102101ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 )  -> 
( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1031023adant3 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  y )  =  ( y `  0
)  ->  ( (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10418, 103syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
105104imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
106105expdcom 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 )  -> 
( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1071063adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( x `  0
)  ->  ( (
y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10817, 107syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 )  ->  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
109108imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
110109com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
11116, 110syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
112111imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) )
1137, 112sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
114113ralrimivva 2880 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
115 dff13 6147 . 2  |-  ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  <->  ( F : D
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1163, 114, 115sylanbrc 664 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   {crab 2813   {cpr 4024   <.cop 4028   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   ran crn 4995   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    < clt 9619    <_ cle 9620    - cmin 9796   NNcn 10527   NN0cn0 10786  ..^cfzo 11783   #chash 12362  Word cword 12489   lastS clsw 12490   substr csubstr 12493   WWalksN cwwlkn 24342   ClWWalksN cclwwlkn 24413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-hash 12363  df-word 12497  df-lsw 12498  df-s1 12500  df-substr 12501  df-wwlk 24343  df-wwlkn 24344  df-clwwlk 24415  df-clwwlkn 24416
This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  24462
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