Theorem clwwlkf1 24923

Description: Lemma 3 for clwwlkbij 24926: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkbij.d	|- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
clwwlkbij.f	|- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )

Assertion

Ref	Expression
clwwlkf1	|- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Distinct variable groups:   w, E   w, N   w, V   t, D   t, E, w   t, N   t, V   t, X   t, Y

Allowed substitution hints:   D( w)   F( w, t)   X( w)   Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkbij.d	. . 3 |- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
2		clwwlkbij.f	. . 3 |- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )
3	1, 2	clwwlkf 24921	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )
4	1, 2	clwwlkfv 24922	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( F ` x ) = ( x substr <. 0 , N >. ) )
5	1, 2	clwwlkfv 24922	. . . . . 6 |- ( y e. D -> ( F ` y ) = ( y substr <. 0 , N >. ) )
6	4, 5	eqeqan12d 2480	. . . . 5 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
7	6	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
8		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` x ) )
9		fveq1 5871	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
10	8, 9	eqeq12d 2479	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
11	10, 1	elrab2 3259	. . . . . . 7 |- ( x e. D <-> ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
12		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` y ) )
13		fveq1 5871	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
14	12, 13	eqeq12d 2479	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
15	14, 1	elrab2 3259	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
16	11, 15	anbi12i 697	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) <-> ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) )
17		wwlknimp 24814	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
18		wwlknimp 24814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
19		simprlr 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( N + 1 ) )
20		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` y ) = ( N + 1 ) )
21	19, 20	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
23		nncn 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> N e. CC )
24		ax-1cn 9567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 1 e. CC
25		pncan 9845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
26	25	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
27	23, 24, 26	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
28		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( # ` x ) - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
29	28	eqcomd 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = ( ( # ` x ) - 1 ) )
30	27, 29	sylan9eqr 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> N = ( ( # ` x ) - 1 ) )
31	30	opeq2d 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> <. 0 , N >. = <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. )
32	31	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
33	31	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( y substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
34	32, 33	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
35	34	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
36	35	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
38	37	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
39	38	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
40		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> y e. Word V )
41		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> x e. Word V )
42	40, 41	anim12ci 567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
44		nnnn0 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
45		0nn0 10831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 e. NN0
46	44, 45	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
48		nnre 10563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N e. RR )
49	48	lep1d 10497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> N <_ ( N + 1 ) )
50		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` x ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
51	49, 50	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
52	51	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
54	53	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` x ) )
55		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` y ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
56	49, 55	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
57	56	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
58	57	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
59	58	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` y ) )
60		swrdspsleq 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ y e. Word V ) /\ ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` x ) /\ N <_ ( # ` y ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
61	43, 47, 54, 59, 60	syl112anc 1232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
62		lbfzo0 11861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) <-> N e. NN )
63	62	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> 0 e. ( 0..^ N ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ N ) )
65		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( x ` i ) = ( x ` 0 ) )
66		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( y ` i ) = ( y ` 0 ) )
67	65, 66	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = 0 -> ( ( x ` i ) = ( y ` i ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
68	67	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
69	64, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
70	61, 69	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
71	70	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
72		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) )
74	72, 73	eqeqan12rd 2482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
75	74	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
76	71, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) )
77	22, 39, 76	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) )
78	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> x e. Word V )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> x e. Word V )
80	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> y e. Word V )
81	80	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> y e. Word V )
82		1red 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
83		nngt0 10585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < N )
84		0lt1 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 < 1
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
86	48, 82, 83, 85	addgt0d 10148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
87		breq2 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` x ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
88	86, 87	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
89	88	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
90	89	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
91	90	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 < ( # ` x ) )
92	79, 81, 91	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
93	92	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
94		2swrd1eqwrdeq 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
95	93, 94	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
96	77, 95	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> x = y )
97	96	exp31 604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
98	97	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
99	98	expdcom 439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
100	99	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
101	100	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
102	18, 101	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
103	102	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
104	103	expdcom 439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
105	104	3adant3 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
106	17, 105	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
107	106	imp31 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
108	107	com12 31	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
109	16, 108	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
110	109	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) )
111	7, 110	sylbid 215	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
112	111	ralrimivva 2878	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
113		dff13 6167	. 2 |- ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> ( F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) /\ A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
114	3, 112, 113	sylanbrc 664	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   {cpr 4034   <.cop 4038   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   ran crn 5009   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538   lastS clsw 12539   substr csubstr 12542   WWalksN cwwlkn 24805   ClWWalksN cclwwlkn 24876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-s1 12549  df-substr 12550  df-wwlk 24806  df-wwlkn 24807  df-clwwlk 24878  df-clwwlkn 24879

This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  24925