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Theorem clwwlkf1 25603
Description: Lemma 3 for clwwlkbij 25606: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
clwwlkbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwwlkf1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, V    t, D    t, E, w    t, N    t, V    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    D( w)    F( w, t)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkbij.d . . 3  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
2 clwwlkbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
31, 2clwwlkf 25601 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D --> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
41, 2clwwlkfv 25602 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  N >. ) )
51, 2clwwlkfv 25602 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )
64, 5eqeqan12d 2487 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
76adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
8 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  x ) )
9 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
108, 9eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
1110, 1elrab2 3186 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
12 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  y ) )
13 fveq1 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
1412, 13eqeq12d 2486 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1514, 1elrab2 3186 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1611, 15anbi12i 711 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) ) )
17 wwlknimp 25494 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
18 wwlknimp 25494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
19 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )
20 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )
2119, 20eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
2221ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
23 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  CC
25 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2625eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2723, 24, 26sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
28 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  x )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
2928eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  x )  -  1 ) )
3027, 29sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =  ( (
# `  x )  -  1 ) )
3130opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  -> 
<. 0 ,  N >.  =  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )
3231oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3331oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3432, 33eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3534ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3635ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3837impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3938biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
40 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  y  e. Word  V
)
41 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  x  e. Word  V
)
4240, 41anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )
)
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V
) )
44 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
45 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  NN0
4644, 45jctil 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
48 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
4948lep1d 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
50 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  x
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5149, 50syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5251ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  x )
) )
5352adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5453impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 x ) )
55 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  y
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5649, 55syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5756ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  y )
) )
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5958impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 y ) )
60 swrdspsleq 12859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  x
)  /\  N  <_  (
# `  y )
) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
6143, 47, 54, 59, 60syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  (
0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
62 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
6362biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
x `  i )  =  ( x ` 
0 ) )
66 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
y `  i )  =  ( y ` 
0 ) )
6765, 66eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  (
( x `  i
)  =  ( y `
 i )  <->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6867rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `
 i )  =  ( y `  i
)  ->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i
)  =  ( y `
 i )  -> 
( x `  0
)  =  ( y `
 0 ) ) )
7061, 69sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  ( x ` 
0 )  =  ( y `  0 ) ) )
7170imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
72 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) )
73 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )
7472, 73eqeqan12rd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7574ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7671, 75mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) )
7722, 39, 76jca32 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) )
7841adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  x  e. Word  V )
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  x  e. Word  V
)
8040adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  y  e. Word  V )
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  y  e. Word  V
)
82 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
83 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
84 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  <  1
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
8648, 82, 83, 85addgt0d 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
87 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  x
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
8886, 87syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
8988ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  (
# `  x )
) )
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
9190impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  <  ( # `
 x ) )
9279, 81, 913jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x ) ) )
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) ) )
94 2swrd1eqwrdeq 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9677, 95mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  x  =  y )
9796exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
98973ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0
) )  /\  (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
9998expdcom 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
10099ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 )  -> 
( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1011003adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  y )  =  ( y `  0
)  ->  ( (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10218, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
103102imp 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
104103expdcom 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 )  -> 
( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1051043adant3 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( x `  0
)  ->  ( (
y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10617, 105syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 )  ->  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
107106imp31 439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
108107com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
10916, 108syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
110109imp 436 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) )
1117, 110sylbid 223 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
112111ralrimivva 2814 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
113 dff13 6177 . 2  |-  ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  <->  ( F : D
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1143, 112, 113sylanbrc 677 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   lastS clsw 12704   substr csubstr 12707   WWalksN cwwlkn 25485   ClWWalksN cclwwlkn 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-s1 12714  df-substr 12715  df-wwlk 25486  df-wwlkn 25487  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559
This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  25605
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