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Theorem clwwlkf1 25603
 Description: Lemma 3 for clwwlkbij 25606: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d WWalksN lastS
clwwlkbij.f substr
Assertion
Ref Expression
clwwlkf1 ClWWalksN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem clwwlkf1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkbij.d . . 3 WWalksN lastS
2 clwwlkbij.f . . 3 substr
31, 2clwwlkf 25601 . 2 ClWWalksN
41, 2clwwlkfv 25602 . . . . . 6 substr
51, 2clwwlkfv 25602 . . . . . 6 substr
64, 5eqeqan12d 2487 . . . . 5 substr substr
76adantl 473 . . . 4 substr substr
8 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 lastS lastS
9 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
108, 9eqeq12d 2486 . . . . . . . 8 lastS lastS
1110, 1elrab2 3186 . . . . . . 7 WWalksN lastS
12 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 lastS lastS
13 fveq1 5878 . . . . . . . . 9
1412, 13eqeq12d 2486 . . . . . . . 8 lastS lastS
1514, 1elrab2 3186 . . . . . . 7 WWalksN lastS
1611, 15anbi12i 711 . . . . . 6 WWalksN lastS WWalksN lastS
17 wwlknimp 25494 . . . . . . . . 9 WWalksN Word ..^
18 wwlknimp 25494 . . . . . . . . . . . . 13 WWalksN Word ..^
19 simprlr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS
20 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS
2119, 20eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word lastS Word lastS
2221ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word lastS Word lastS substr substr
23 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
24 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
25 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2625eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2723, 24, 26sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
28 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2928eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3027, 29sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3130opeq2d 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3231oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 substr substr
3331oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 substr substr
3432, 33eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 substr substr substr substr
3534ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 substr substr substr substr
3635ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS substr substr substr substr
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS substr substr substr substr
3837impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word lastS Word lastS substr substr substr substr
3938biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word lastS Word lastS substr substr substr substr
40 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word lastS Word
41 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word lastS Word
4240, 41anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word lastS Word lastS Word Word
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word lastS Word lastS Word Word
44 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
45 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4644, 45jctil 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word lastS Word lastS
48 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4948lep1d 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
50 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5149, 50syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5251ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word lastS
5352adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word lastS Word lastS
5453impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word lastS Word lastS
55 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5649, 55syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5756ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Word lastS
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Word lastS Word lastS
5958impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word lastS Word lastS
60 swrdspsleq 12859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word Word substr substr ..^
6143, 47, 54, 59, 60syl112anc 1296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS Word lastS substr substr ..^
62 lbfzo0 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
6362biimpri 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word lastS Word lastS ..^
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
66 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6765, 66eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6867rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^ ..^
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS Word lastS ..^
7061, 69sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS substr substr
7170imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word lastS Word lastS substr substr
72 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS lastS
73 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS lastS
7472, 73eqeqan12rd 2489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS lastS lastS
7574ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word lastS Word lastS substr substr lastS lastS
7671, 75mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word lastS Word lastS substr substr lastS lastS
7722, 39, 76jca32 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word lastS Word lastS substr substr substr substr lastS lastS
7841adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS Word lastS Word
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS Word
8040adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS Word lastS Word
8180adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS Word
82 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
83 nngt0 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
84 0lt1 10157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8648, 82, 83, 85addgt0d 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
87 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8886, 87syl5ibr 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8988ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Word lastS
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word lastS Word lastS
9190impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word lastS Word lastS
9279, 81, 913jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word lastS Word lastS Word Word
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word lastS Word lastS substr substr Word Word
94 2swrd1eqwrdeq 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word Word substr substr lastS lastS
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word lastS Word lastS substr substr substr substr lastS lastS
9677, 95mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word lastS Word lastS substr substr
9796exp31 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word lastS Word lastS substr substr
98973ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word lastS Word lastS substr substr
9998expdcom 446 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word lastS Word lastS substr substr
10099ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14 Word lastS Word lastS substr substr
1011003adant3 1050 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ lastS Word lastS substr substr
10218, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 WWalksN lastS Word lastS substr substr
103102imp 436 . . . . . . . . . . 11 WWalksN lastS Word lastS substr substr
104103expdcom 446 . . . . . . . . . 10 Word lastS WWalksN lastS substr substr
1051043adant3 1050 . . . . . . . . 9 Word ..^ lastS WWalksN lastS substr substr
10617, 105syl 17 . . . . . . . 8 WWalksN lastS WWalksN lastS substr substr
107106imp31 439 . . . . . . 7 WWalksN lastS WWalksN lastS substr substr
108107com12 31 . . . . . 6 WWalksN lastS WWalksN lastS substr substr
10916, 108syl5bi 225 . . . . 5 substr substr
110109imp 436 . . . 4 substr substr
1117, 110sylbid 223 . . 3
112111ralrimivva 2814 . 2
113 dff13 6177 . 2 ClWWalksN ClWWalksN
1143, 112, 113sylanbrc 677 1 ClWWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cpr 3961  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  wf 5585  wf1 5586  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  ..^cfzo 11942  chash 12553  Word cword 12703   lastS clsw 12704   substr csubstr 12707   WWalksN cwwlkn 25485   ClWWalksN cclwwlkn 25556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-s1 12714  df-substr 12715  df-wwlk 25486  df-wwlkn 25487  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559 This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  25605
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