Theorem clwwlkf1 25517

Description: Lemma 3 for clwwlkbij 25520: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkbij.d	|- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
clwwlkbij.f	|- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )

Assertion

Ref	Expression
clwwlkf1	|- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Distinct variable groups:   w, E   w, N   w, V   t, D   t, E, w   t, N   t, V   t, X   t, Y

Allowed substitution hints:   D( w)   F( w, t)   X( w)   Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkbij.d	. . 3 |- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
2		clwwlkbij.f	. . 3 |- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )
3	1, 2	clwwlkf 25515	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )
4	1, 2	clwwlkfv 25516	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( F ` x ) = ( x substr <. 0 , N >. ) )
5	1, 2	clwwlkfv 25516	. . . . . 6 |- ( y e. D -> ( F ` y ) = ( y substr <. 0 , N >. ) )
6	4, 5	eqeqan12d 2466	. . . . 5 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
7	6	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
8		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` x ) )
9		fveq1 5862	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
10	8, 9	eqeq12d 2465	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
11	10, 1	elrab2 3197	. . . . . . 7 |- ( x e. D <-> ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
12		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` y ) )
13		fveq1 5862	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
14	12, 13	eqeq12d 2465	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
15	14, 1	elrab2 3197	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
16	11, 15	anbi12i 702	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) <-> ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) )
17		wwlknimp 25408	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
18		wwlknimp 25408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
19		simprlr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( N + 1 ) )
20		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` y ) = ( N + 1 ) )
21	19, 20	eqtr4d 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
22	21	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
23		nncn 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> N e. CC )
24		ax-1cn 9594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 1 e. CC
25		pncan 9878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
26	25	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
27	23, 24, 26	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
28		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( # ` x ) - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
29	28	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = ( ( # ` x ) - 1 ) )
30	27, 29	sylan9eqr 2506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> N = ( ( # ` x ) - 1 ) )
31	30	opeq2d 4172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> <. 0 , N >. = <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. )
32	31	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
33	31	oveq2d 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( y substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
34	32, 33	eqeq12d 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
35	34	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
36	35	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
37	36	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
38	37	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
39	38	biimpa 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
40		simpll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> y e. Word V )
41		simpll 759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> x e. Word V )
42	40, 41	anim12ci 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
43	42	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
44		nnnn0 10873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
45		0nn0 10881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 e. NN0
46	44, 45	jctil 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
47	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
48		nnre 10613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N e. RR )
49	48	lep1d 10535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> N <_ ( N + 1 ) )
50		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` x ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
51	49, 50	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
52	51	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
53	52	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
54	53	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` x ) )
55		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` y ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
56	49, 55	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
57	56	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
58	57	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
59	58	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` y ) )
60		swrdspsleq 12800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ y e. Word V ) /\ ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` x ) /\ N <_ ( # ` y ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
61	43, 47, 54, 59, 60	syl112anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
62		lbfzo0 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) <-> N e. NN )
63	62	biimpri 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> 0 e. ( 0..^ N ) )
64	63	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ N ) )
65		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( x ` i ) = ( x ` 0 ) )
66		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( y ` i ) = ( y ` 0 ) )
67	65, 66	eqeq12d 2465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = 0 -> ( ( x ` i ) = ( y ` i ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
68	67	rspcv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
69	64, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
70	61, 69	sylbid 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
71	70	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
72		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) )
73		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) )
74	72, 73	eqeqan12rd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
75	74	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
76	71, 75	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) )
77	22, 39, 76	jca32 538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) )
78	41	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> x e. Word V )
79	78	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> x e. Word V )
80	40	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> y e. Word V )
81	80	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> y e. Word V )
82		1red 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
83		nngt0 10635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < N )
84		0lt1 10133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 < 1
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
86	48, 82, 83, 85	addgt0d 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
87		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` x ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
88	86, 87	syl5ibr 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
89	88	ad2antlr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
90	89	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
91	90	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 < ( # ` x ) )
92	79, 81, 91	3jca 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
93	92	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
94		2swrd1eqwrdeq 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
96	77, 95	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> x = y )
97	96	exp31 608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
98	97	3ad2ant3 1030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
99	98	expdcom 441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
100	99	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
101	100	3adant3 1027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
102	18, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
103	102	imp 431	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
104	103	expdcom 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
105	104	3adant3 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
106	17, 105	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
107	106	imp31 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
108	107	com12 32	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
109	16, 108	syl5bi 221	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
110	109	imp 431	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) )
111	7, 110	sylbid 219	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
112	111	ralrimivva 2808	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
113		dff13 6157	. 2 |- ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> ( F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) /\ A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
114	3, 112, 113	sylanbrc 669	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   {crab 2740   {cpr 3969   <.cop 3973   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   ran crn 4834   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   NNcn 10606   NN0cn0 10866  ..^cfzo 11912   #chash 12512  Word cword 12653   lastS clsw 12654   substr csubstr 12657   WWalksN cwwlkn 25399   ClWWalksN cclwwlkn 25470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-hash 12513  df-word 12661  df-lsw 12662  df-s1 12664  df-substr 12665  df-wwlk 25400  df-wwlkn 25401  df-clwwlk 25472  df-clwwlkn 25473

This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  25519