Theorem clwwlkf1 30456

Description: Lemma 3 for clwwlkbij 30459: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkbij.d	|- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
clwwlkbij.f	|- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )

Assertion

Ref	Expression
clwwlkf1	|- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Distinct variable groups:   w, E   w, N   w, V   t, D   t, E, w   t, N   t, V   t, X   t, Y

Allowed substitution hints:   D( w)   F( w, t)   X( w)   Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkbij.d	. . 3 |- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
2		clwwlkbij.f	. . 3 |- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )
3	1, 2	clwwlkf 30454	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )
4	1, 2	clwwlkfv 30455	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( F ` x ) = ( x substr <. 0 , N >. ) )
5	1, 2	clwwlkfv 30455	. . . . . 6 |- ( y e. D -> ( F ` y ) = ( y substr <. 0 , N >. ) )
6	4, 5	eqeqan12d 2457	. . . . 5 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
7	6	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
8		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` x ) )
9		fveq1 5689	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
10	8, 9	eqeq12d 2456	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
11	10, 1	elrab2 3118	. . . . . . 7 |- ( x e. D <-> ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
12		fveq2 5690	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` y ) )
13		fveq1 5689	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
14	12, 13	eqeq12d 2456	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
15	14, 1	elrab2 3118	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
16	11, 15	anbi12i 697	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) <-> ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) )
17		wwlknimp 30319	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
18		wwlknimp 30319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
19		simprlr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( N + 1 ) )
20		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` y ) = ( N + 1 ) )
21	19, 20	eqtr4d 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
23		nncn 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( N e. NN -> N e. CC )
24		ax-1cn 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- 1 e. CC
25		pncan 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
26	25	eqcomd 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
27	23, 24, 26	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
28		oveq1 6097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( # ` x ) - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
29	28	eqcomd 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = ( ( # ` x ) - 1 ) )
30	27, 29	sylan9eqr 2496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> N = ( ( # ` x ) - 1 ) )
31	30	opeq2d 4065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> <. 0 , N >. = <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. )
32	31	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
33	31	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( y substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
34	32, 33	eqeq12d 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
35	34	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
36	35	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
37	36	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
38	37	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
39	38	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
40		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> y e. Word V )
41		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> x e. Word V )
42	40, 41	anim12ci 567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
43	42	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
44		nnnn0 10585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
45		0nn0 10593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 0 e. NN0
46	44, 45	jctil 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
48		nnre 10328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> N e. RR )
49	48	lep1d 10263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N <_ ( N + 1 ) )
50		breq2 4295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` x ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
51	49, 50	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
52	51	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
54	53	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` x ) )
55		breq2 4295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` y ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
56	49, 55	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
57	56	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
58	57	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
59	58	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` y ) )
60		swrdspsleq 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. Word V /\ y e. Word V ) /\ ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` x ) /\ N <_ ( # ` y ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
61	43, 47, 54, 59, 60	syl112anc 1222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
62		lbfzo0 11585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) <-> N e. NN )
63	62	biimpri 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> 0 e. ( 0..^ N ) )
64	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ N ) )
65		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = 0 -> ( x ` i ) = ( x ` 0 ) )
66		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = 0 -> ( y ` i ) = ( y ` 0 ) )
67	65, 66	eqeq12d 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( ( x ` i ) = ( y ` i ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
68	67	rspcv 3068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
69	64, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
70	61, 69	sylbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
71	70	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
72		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) )
73		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) )
74	72, 73	eqeqan12rd 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
75	74	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
76	71, 75	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) )
77	22, 39, 76	jca32 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) )
78	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> x e. Word V )
79	78	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> x e. Word V )
80	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> y e. Word V )
81	80	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> y e. Word V )
82		1re 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 1 e. RR
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
84		nngt0 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> 0 < N )
85		0lt1 9861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- 0 < 1
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
87	48, 83, 84, 86	addgt0d 9913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
88		breq2 4295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` x ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
89	87, 88	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
90	89	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
91	90	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
92	91	impcom 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 < ( # ` x ) )
93	79, 81, 92	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
95		2swrd1eqwrdeq 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
97	77, 96	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> x = y )
98	97	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) )
99	98	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
100	99	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
101	100	expdcom 439	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
102	101	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
103	102	3adant3 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
104	18, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
105	104	imp 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
106	105	expdcom 439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
107	106	3adant3 1008	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
108	17, 107	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
109	108	imp31 432	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
110	109	com12 31	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
111	16, 110	syl5bi 217	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
112	111	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) )
113	7, 112	sylbid 215	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
114	113	ralrimivva 2807	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
115		dff13 5970	. 2 |- ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> ( F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) /\ A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
116	3, 114, 115	sylanbrc 664	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718   {cpr 3878   <.cop 3882   class class class wbr 4291   e. cmpt 4349   ran crn 4840   -->wf 5413   -1-1->wf1 5414   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281   1c1 9282   + caddc 9284   < clt 9417   <_ cle 9418   - cmin 9594   NNcn 10321   NN0cn0 10578  ..^cfzo 11547   #chash 12102  Word cword 12220   lastS clsw 12221   substr csubstr 12224   WWalksN cwwlkn 30310   ClWWalksN cclwwlkn 30412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-hash 12103  df-word 12228  df-lsw 12229  df-s1 12231  df-substr 12232  df-wwlk 30311  df-wwlkn 30312  df-clwwlk 30414  df-clwwlkn 30415

This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  30458