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Theorem clwwlkf1 24923
Description: Lemma 3 for clwwlkbij 24926: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
clwwlkbij.f  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwwlkf1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Distinct variable groups:    w, E    w, N    w, V    t, D    t, E, w    t, N    t, V    t, X    t, Y
Allowed substitution hints:    D( w)    F( w, t)    X( w)    Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1
Dummy variables  i  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkbij.d . . 3  |-  D  =  { w  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  |  ( lastS  `  w )  =  ( w `  0 ) }
2 clwwlkbij.f . . 3  |-  F  =  ( t  e.  D  |->  ( t substr  <. 0 ,  N >. ) )
31, 2clwwlkf 24921 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D --> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
41, 2clwwlkfv 24922 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  ->  ( F `  x )  =  ( x substr  <. 0 ,  N >. ) )
51, 2clwwlkfv 24922 . . . . . 6  |-  ( y  e.  D  ->  ( F `  y )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )
64, 5eqeqan12d 2480 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
76adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) ) )
8 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  x ) )
9 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w `  0 )  =  ( x ` 
0 ) )
108, 9eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
1110, 1elrab2 3259 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) ) )
12 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  ( lastS  `  w )  =  ( lastS  `  y ) )
13 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
1412, 13eqeq12d 2479 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( lastS  `  w )  =  ( w `  0
)  <->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1514, 1elrab2 3259 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  D  <->  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )
1611, 15anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) ) )
17 wwlknimp 24814 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
18 wwlknimp 24814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  +  1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
19 simprlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )
20 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )
2119, 20eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  y
) )
23 nncn 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
24 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  1  e.  CC
25 pncan 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2625eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2723, 24, 26sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
28 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( # `  x )  -  1 )  =  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )
2928eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  x )  -  1 ) )
3027, 29sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  =  ( (
# `  x )  -  1 ) )
3130opeq2d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  -> 
<. 0 ,  N >.  =  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )
3231oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3331oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
3432, 33eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  x
)  =  ( N  +  1 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3534ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3635ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  ( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x )  -  1 ) >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) ) )
3837impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <-> 
( x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) ) )
3938biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. ) )
40 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  y  e. Word  V
)
41 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  x  e. Word  V
)
4240, 41anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )
)
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V
) )
44 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
45 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  0  e.  NN0
4644, 45jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
48 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
4948lep1d 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( N  +  1 ) )
50 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  x
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5149, 50syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5251ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  x )
) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  x
) ) )
5453impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 x ) )
55 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  <_  ( # `  y
)  <->  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
5649, 55syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  y )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5756ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  (
# `  y )
) )
5857adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  N  <_  ( # `  y
) ) )
5958impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  N  <_  ( # `
 y ) )
60 swrdspsleq 12686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V )  /\  ( 0  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( N  <_  ( # `  x
)  /\  N  <_  (
# `  y )
) )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
6143, 47, 54, 59, 60syl112anc 1232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  <->  A. i  e.  (
0..^ N ) ( x `  i )  =  ( y `  i ) ) )
62 lbfzo0 11861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  <->  N  e.  NN )
6362biimpri 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  e.  ( 0..^ N ) )
65 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
x `  i )  =  ( x ` 
0 ) )
66 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( i  =  0  ->  (
y `  i )  =  ( y ` 
0 ) )
6765, 66eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  0  ->  (
( x `  i
)  =  ( y `
 i )  <->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6867rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  e.  ( 0..^ N )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `
 i )  =  ( y `  i
)  ->  ( x `  0 )  =  ( y `  0
) ) )
6964, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) ( x `  i
)  =  ( y `
 i )  -> 
( x `  0
)  =  ( y `
 0 ) ) )
7061, 69sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  ( x ` 
0 )  =  ( y `  0 ) ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) )
72 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( x ` 
0 ) )
73 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )
7472, 73eqeqan12rd 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y )  <->  ( x `  0 )  =  ( y ` 
0 ) ) )
7671, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) )
7722, 39, 76jca32 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
( # `  x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) )
7841adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  x  e. Word  V )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  x  e. Word  V
)
8040adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  y  e. Word  V )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  y  e. Word  V
)
82 1red 9628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
83 nngt0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
84 0lt1 10096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  0  <  1
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  1 )
8648, 82, 83, 85addgt0d 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( N  +  1 ) )
87 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  (
0  <  ( # `  x
)  <->  0  <  ( N  +  1 ) ) )
8886, 87syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  x )  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
8988ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  (
# `  x )
) )
9089adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) ) )  ->  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( # `  x
) ) )
9190impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  0  <  ( # `
 x ) )
9279, 81, 913jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  ->  ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x ) ) )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) ) )
94 2swrd1eqwrdeq 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  y  e. Word  V  /\  0  <  ( # `  x
) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  (
x  =  y  <->  ( ( # `
 x )  =  ( # `  y
)  /\  ( (
x substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  =  (
y substr  <. 0 ,  ( ( # `  x
)  -  1 )
>. )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( lastS  `  y ) ) ) ) )
9677, 95mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) ) )  /\  ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. ) )  ->  x  =  y )
9796exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `
 y )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 ) )  /\  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
98973ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y `  0
) )  /\  (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) ) )  ->  ( (
x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
9998expdcom 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
10099ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 )  -> 
( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `
 x )  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1011003adant3 1016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e. Word  V  /\  ( # `  y )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( y `  i ) ,  ( y `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  y )  =  ( y `  0
)  ->  ( (
( x  e. Word  V  /\  ( # `  x
)  =  ( N  +  1 ) )  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10218, 101syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  y )  =  ( y `  0 )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
103102imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0
) )  ->  (
( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) )
104103expdcom 439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 )  -> 
( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) )  -> 
( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
1051043adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e. Word  V  /\  ( # `  x )  =  ( N  + 
1 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( x `  i ) ,  ( x `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  x )  =  ( x `  0
)  ->  ( (
y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
10617, 105syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  ->  ( ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 )  ->  ( ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) ) ) )
107106imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  /\  ( lastS  `  x )  =  ( x `  0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  y
)  =  ( y `
 0 ) ) )  ->  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
108107com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( x  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  /\  ( lastS  `  x
)  =  ( x `
 0 ) )  /\  ( y  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )  /\  ( lastS  `  y )  =  ( y ` 
0 ) ) )  ->  ( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
10916, 108syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  ->  (
( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) ) )
110109imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( x substr  <. 0 ,  N >. )  =  ( y substr  <. 0 ,  N >. )  ->  x  =  y ) )
1117, 110sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) )  -> 
( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
112111ralrimivva 2878 . 2  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  A. x  e.  D  A. y  e.  D  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
113 dff13 6167 . 2  |-  ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
)  <->  ( F : D
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N )  /\  A. x  e.  D  A. y  e.  D  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
1143, 112, 113sylanbrc 664 1  |-  ( ( V  e.  X  /\  E  e.  Y  /\  N  e.  NN )  ->  F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   {cpr 4034   <.cop 4038   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538   lastS clsw 12539   substr csubstr 12542   WWalksN cwwlkn 24805   ClWWalksN cclwwlkn 24876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-s1 12549  df-substr 12550  df-wwlk 24806  df-wwlkn 24807  df-clwwlk 24878  df-clwwlkn 24879
This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  24925
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