Theorem clwwlkf1 25603

Description: Lemma 3 for clwwlkbij 25606: F is a 1-1 function. (Contributed by AV, 28-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkbij.d	|- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
clwwlkbij.f	|- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )

Assertion

Ref	Expression
clwwlkf1	|- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Distinct variable groups:   w, E   w, N   w, V   t, D   t, E, w   t, N   t, V   t, X   t, Y

Allowed substitution hints:   D( w)   F( w, t)   X( w)   Y( w)

Proof of Theorem clwwlkf1

Dummy variables i x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clwwlkbij.d	. . 3 |- D = { w e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) | ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) }
2		clwwlkbij.f	. . 3 |- F = ( t e. D |-> ( t substr <. 0 , N >. ) )
3	1, 2	clwwlkf 25601	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )
4	1, 2	clwwlkfv 25602	. . . . . 6 |- ( x e. D -> ( F ` x ) = ( x substr <. 0 , N >. ) )
5	1, 2	clwwlkfv 25602	. . . . . 6 |- ( y e. D -> ( F ` y ) = ( y substr <. 0 , N >. ) )
6	4, 5	eqeqan12d 2487	. . . . 5 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
7	6	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) )
8		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` x ) )
9		fveq1 5878	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` 0 ) = ( x ` 0 ) )
10	8, 9	eqeq12d 2486	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
11	10, 1	elrab2 3186	. . . . . . 7 |- ( x e. D <-> ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) )
12		fveq2 5879	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( lastS ` w ) = ( lastS ` y ) )
13		fveq1 5878	. . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( w ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
14	12, 13	eqeq12d 2486	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( lastS ` w ) = ( w ` 0 ) <-> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
15	14, 1	elrab2 3186	. . . . . . 7 |- ( y e. D <-> ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) )
16	11, 15	anbi12i 711	. . . . . 6 |- ( ( x e. D /\ y e. D ) <-> ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) )
17		wwlknimp 25494	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
18		wwlknimp 25494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) )
19		simprlr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( N + 1 ) )
20		simpllr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` y ) = ( N + 1 ) )
21	19, 20	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
22	21	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( # ` x ) = ( # ` y ) )
23		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. NN -> N e. CC )
24		ax-1cn 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 1 e. CC
25		pncan 9901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
26	25	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
27	23, 24, 26	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
28		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( # ` x ) - 1 ) = ( ( N + 1 ) - 1 ) )
29	28	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = ( ( # ` x ) - 1 ) )
30	27, 29	sylan9eqr 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> N = ( ( # ` x ) - 1 ) )
31	30	opeq2d 4165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> <. 0 , N >. = <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. )
32	31	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( x substr <. 0 , N >. ) = ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
33	31	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( y substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
34	32, 33	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
35	34	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
36	35	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
37	36	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) ) )
38	37	impcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) ) )
39	38	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) )
40		simpll 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> y e. Word V )
41		simpll 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> x e. Word V )
42	40, 41	anim12ci 577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
43	42	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V ) )
44		nnnn0 10900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
45		0nn0 10908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 0 e. NN0
46	44, 45	jctil 546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
47	46	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
48		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( N e. NN -> N e. RR )
49	48	lep1d 10560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( N e. NN -> N <_ ( N + 1 ) )
50		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` x ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
51	49, 50	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
52	51	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
53	52	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` x ) ) )
54	53	impcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` x ) )
55		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N <_ ( # ` y ) <-> N <_ ( N + 1 ) ) )
56	49, 55	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( # ` y ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
57	56	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
58	57	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> N <_ ( # ` y ) ) )
59	58	impcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> N <_ ( # ` y ) )
60		swrdspsleq 12859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ y e. Word V ) /\ ( 0 e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ ( N <_ ( # ` x ) /\ N <_ ( # ` y ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
61	43, 47, 54, 59, 60	syl112anc 1296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) <-> A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) ) )
62		lbfzo0 11983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) <-> N e. NN )
63	62	biimpri 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( N e. NN -> 0 e. ( 0..^ N ) )
64	63	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 e. ( 0..^ N ) )
65		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( x ` i ) = ( x ` 0 ) )
66		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = 0 -> ( y ` i ) = ( y ` 0 ) )
67	65, 66	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = 0 -> ( ( x ` i ) = ( y ` i ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
68	67	rspcv 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 e. ( 0..^ N ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
69	64, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ N ) ( x ` i ) = ( y ` i ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
70	61, 69	sylbid 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
71	70	imp 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) )
72		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) )
73		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) )
74	72, 73	eqeqan12rd 2489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
75	74	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) <-> ( x ` 0 ) = ( y ` 0 ) ) )
76	71, 75	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) )
77	22, 39, 76	jca32 544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) )
78	41	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> x e. Word V )
79	78	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> x e. Word V )
80	40	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> y e. Word V )
81	80	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> y e. Word V )
82		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
83		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < N )
84		0lt1 10157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- 0 < 1
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
86	48, 82, 83, 85	addgt0d 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> 0 < ( N + 1 ) )
87		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( 0 < ( # ` x ) <-> 0 < ( N + 1 ) ) )
88	86, 87	syl5ibr 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( # ` x ) = ( N + 1 ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
89	88	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
90	89	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( N e. NN -> 0 < ( # ` x ) ) )
91	90	impcom 437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> 0 < ( # ` x ) )
92	79, 81, 91	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
93	92	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) )
94		2swrd1eqwrdeq 12864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. Word V /\ y e. Word V /\ 0 < ( # ` x ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
95	93, 94	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> ( x = y <-> ( ( # ` x ) = ( # ` y ) /\ ( ( x substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) = ( y substr <. 0 , ( ( # ` x ) - 1 ) >. ) /\ ( lastS ` x ) = ( lastS ` y ) ) ) ) )
96	77, 95	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) ) /\ ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) ) -> x = y )
97	96	exp31 615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
98	97	3ad2ant3 1053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) /\ ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
99	98	expdcom 446	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
100	99	ex 441	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
101	100	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. Word V /\ ( # ` y ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( y ` i ) , ( y ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
102	18, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
103	102	imp 436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) )
104	103	expdcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
105	104	3adant3 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Word V /\ ( # ` x ) = ( N + 1 ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) { ( x ` i ) , ( x ` ( i + 1 ) ) } e. ran E ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
106	17, 105	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) -> ( ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) -> ( ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) ) ) )
107	106	imp31 439	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
108	107	com12 31	. . . . . 6 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( ( x e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` x ) = ( x ` 0 ) ) /\ ( y e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) /\ ( lastS ` y ) = ( y ` 0 ) ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
109	16, 108	syl5bi 225	. . . . 5 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> ( ( x e. D /\ y e. D ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) ) )
110	109	imp 436	. . . 4 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( x substr <. 0 , N >. ) = ( y substr <. 0 , N >. ) -> x = y ) )
111	7, 110	sylbid 223	. . 3 |- ( ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
112	111	ralrimivva 2814	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
113		dff13 6177	. 2 |- ( F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) <-> ( F : D --> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) /\ A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
114	3, 112, 113	sylanbrc 677	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN ) -> F : D -1-1-> ( ( V ClWWalksN E ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   ran crn 4840   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   lastS clsw 12704   substr csubstr 12707   WWalksN cwwlkn 25485   ClWWalksN cclwwlkn 25556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-s1 12714  df-substr 12715  df-wwlk 25486  df-wwlkn 25487  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559

This theorem is referenced by:  clwwlkf1o  25605