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Theorem clwwisshclwwlem1 30474
Description: Lemma 1 for clwwisshclwwlem 30475. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwlem1  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  e.  R
)
Distinct variable groups:    A, i    B, i    i, L    R, i    i, W

Proof of Theorem clwwisshclwwlem1
StepHypRef Expression
1 zcn 10656 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
213ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
3 ax-1cn 9345 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
5 zcn 10656 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
653ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
72, 4, 6add32d 9597 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  1 )  +  B )  =  ( ( A  +  B )  +  1 ) )
87oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) )
98fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W `  ( (
( A  +  1 )  +  B )  mod  L ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) )
1093ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( W `  ( ( ( A  +  1 )  +  B )  mod  L
) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) )
1110preq2d 3966 . 2  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  =  {
( W `  (
( A  +  B
)  mod  L )
) ,  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) } )
12 zaddcl 10690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
13123adant1 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  ZZ )
14 uz2nn 30196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  L  e.  NN )
15143ad2ant1 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  L  e.  NN )
1613, 15zmodcld 11733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  NN0 )
1716adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  NN0 )
18 uz2m1nn 10934 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
19183ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
21 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )
22 elfzo0 11592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  <-> 
( ( ( A  +  B )  mod 
L )  e.  NN0  /\  ( L  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) ) )
2317, 20, 21, 22syl3anbrc 1172 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) )
24 fveq2 5696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
25 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
2625fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) )
2724, 26preq12d 3967 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) } )
2827eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  <->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  +  1 ) ) }  e.  R
) )
2928rspcva 3076 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) }  e.  R )
3029ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) }  e.  R ) )
3123, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( L  - 
1 ) ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) }  e.  R ) )
3212zred 10752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
33323adant1 1006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
3433adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
3514nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  L  e.  RR+ )
36353ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR+ )
3736adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  L  e.  RR+ )
38 modltm1p1mod 11756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
3934, 37, 21, 38syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
4039fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( W `  ( (
( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) )
4140preq2d 3966 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) } )
4241eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R  <->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  +  1 ) ) }  e.  R
) )
4331, 42sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( L  - 
1 ) ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) }  e.  R ) )
4443impancom 440 . . . 4  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R )  ->  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
45443adant3 1008 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) )
4613, 15jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )
)
47 zmodfzo 11735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ L ) )
49 elfzonlteqm1 30230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L )  /\  -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( ( A  +  B )  mod 
L )  =  ( L  -  1 ) )
5049eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L )  /\  -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( L  - 
1 )  =  ( ( A  +  B
)  mod  L )
)
5150ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ L )  ->  ( -.  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 )  ->  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
5248, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  -> 
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) )
53 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( W `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `
 ( ( A  +  B )  mod 
L ) ) )
55 zre 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
56 zre 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
57 readdcl 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
59583adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
6059, 36jca 532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+ ) )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( A  +  B )  e.  RR  /\  L  e.  RR+ )
)
62 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L ) )
6362eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( A  +  B )  mod  L
)  =  ( L  -  1 ) )
64 modm1p1mod0 11755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+ )  -> 
( ( ( A  +  B )  mod 
L )  =  ( L  -  1 )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L )  =  0 ) )
6561, 63, 64sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
)  =  0 )
6665eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
0  =  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) )
6766fveq2d 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( W `  0
)  =  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) )
6854, 67preq12d 3967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  ->  { ( W `  ( L  -  1
) ) ,  ( W `  0 ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) } )
6968eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  <->  { ( W `  (
( A  +  B
)  mod  L )
) ,  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) }  e.  R ) )
7069biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
7170ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) ) )
7252, 71syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) ) )
7372com23 78 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( { ( W `  ( L  -  1
) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  R  -> 
( -.  ( ( A  +  B )  mod  L )  < 
( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) ) )
7473imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  {
( W `  ( L  -  1 ) ) ,  ( W `
 0 ) }  e.  R )  -> 
( -.  ( ( A  +  B )  mod  L )  < 
( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) )
75743adant2 1007 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
7645, 75pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
)
7711, 76eqeltrd 2517 1  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  e.  R
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   {cpr 3884   class class class wbr 4297   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    - cmin 9600   NNcn 10327   2c2 10376   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996  ..^cfzo 11553    mod cmo 11713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwlem  30475
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