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Theorem clwwisshclwwlem1 30394
Description: Lemma 1 for clwwisshclwwlem 30395. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwlem1  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  e.  R
)
Distinct variable groups:    A, i    B, i    i, L    R, i    i, W

Proof of Theorem clwwisshclwwlem1
StepHypRef Expression
1 zcn 10647 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
213ad2ant2 1005 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
3 ax-1cn 9336 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
5 zcn 10647 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
653ad2ant3 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
72, 4, 6add32d 9588 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  1 )  +  B )  =  ( ( A  +  B )  +  1 ) )
87oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) )
98fveq2d 5692 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W `  ( (
( A  +  1 )  +  B )  mod  L ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) )
1093ad2ant1 1004 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( W `  ( ( ( A  +  1 )  +  B )  mod  L
) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) )
1110preq2d 3958 . 2  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  =  {
( W `  (
( A  +  B
)  mod  L )
) ,  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) } )
12 zaddcl 10681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
13123adant1 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  ZZ )
14 uz2nn 30116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  L  e.  NN )
15143ad2ant1 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  L  e.  NN )
1613, 15zmodcld 11724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  NN0 )
1716adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  NN0 )
18 uz2m1nn 10925 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
19183ad2ant1 1004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
2019adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
21 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )
22 elfzo0 11583 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  <-> 
( ( ( A  +  B )  mod 
L )  e.  NN0  /\  ( L  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) ) )
2317, 20, 21, 22syl3anbrc 1167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) )
24 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
25 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
2625fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) )
2724, 26preq12d 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) } )
2827eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  <->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  +  1 ) ) }  e.  R
) )
2928rspcva 3068 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) }  e.  R )
3029ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) }  e.  R ) )
3123, 30syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( L  - 
1 ) ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) }  e.  R ) )
3212zred 10743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
33323adant1 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
3433adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
3514nnrpd 11022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  L  e.  RR+ )
36353ad2ant1 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR+ )
3736adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  L  e.  RR+ )
38 modltm1p1mod 11747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
3934, 37, 21, 38syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
4039fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( W `  ( (
( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) )
4140preq2d 3958 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) } )
4241eleq1d 2507 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R  <->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  +  1 ) ) }  e.  R
) )
4331, 42sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( L  - 
1 ) ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) }  e.  R ) )
4443impancom 438 . . . 4  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R )  ->  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
45443adant3 1003 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) )
4613, 15jca 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )
)
47 zmodfzo 11726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ L ) )
49 elfzonlteqm1 30150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L )  /\  -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( ( A  +  B )  mod 
L )  =  ( L  -  1 ) )
5049eqcomd 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L )  /\  -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( L  - 
1 )  =  ( ( A  +  B
)  mod  L )
)
5150ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ L )  ->  ( -.  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 )  ->  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
5248, 51syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  -> 
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) )
53 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
5453adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( W `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `
 ( ( A  +  B )  mod 
L ) ) )
55 zre 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
56 zre 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
57 readdcl 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
5855, 56, 57syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
59583adant1 1001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
6059, 36jca 529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+ ) )
6160adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( A  +  B )  e.  RR  /\  L  e.  RR+ )
)
62 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L ) )
6362eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( A  +  B )  mod  L
)  =  ( L  -  1 ) )
64 modm1p1mod0 11746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+ )  -> 
( ( ( A  +  B )  mod 
L )  =  ( L  -  1 )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L )  =  0 ) )
6561, 63, 64sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
)  =  0 )
6665eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
0  =  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) )
6766fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( W `  0
)  =  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) )
6854, 67preq12d 3959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  ->  { ( W `  ( L  -  1
) ) ,  ( W `  0 ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) } )
6968eleq1d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  <->  { ( W `  (
( A  +  B
)  mod  L )
) ,  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) }  e.  R ) )
7069biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
7170ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) ) )
7252, 71syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) ) )
7372com23 78 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( { ( W `  ( L  -  1
) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  R  -> 
( -.  ( ( A  +  B )  mod  L )  < 
( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) ) )
7473imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  {
( W `  ( L  -  1 ) ) ,  ( W `
 0 ) }  e.  R )  -> 
( -.  ( ( A  +  B )  mod  L )  < 
( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) )
75743adant2 1002 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
7645, 75pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
)
7711, 76eqeltrd 2515 1  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  e.  R
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {cpr 3876   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    - cmin 9591   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987  ..^cfzo 11544    mod cmo 11704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwlem  30395
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