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Theorem clwwisshclwwlem1 25103
Description: Lemma 1 for clwwisshclwwlem 25104. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclwwlem1  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  e.  R
)
Distinct variable groups:    A, i    B, i    i, L    R, i    i, W

Proof of Theorem clwwisshclwwlem1
StepHypRef Expression
1 zcn 10830 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
213ad2ant2 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
3 1cnd 9562 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
4 zcn 10830 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
543ad2ant3 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
62, 3, 5add32d 9758 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  1 )  +  B )  =  ( ( A  +  B )  +  1 ) )
76oveq1d 6249 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) )
87fveq2d 5809 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( W `  ( (
( A  +  1 )  +  B )  mod  L ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) )
983ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( W `  ( ( ( A  +  1 )  +  B )  mod  L
) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) )
109preq2d 4057 . 2  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  =  {
( W `  (
( A  +  B
)  mod  L )
) ,  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) } )
11 zaddcl 10865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
12113adant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  ZZ )
13 eluz2nn 11083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  L  e.  NN )
14133ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  L  e.  NN )
1512, 14zmodcld 11968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  NN0 )
1615adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  NN0 )
17 uz2m1nn 11119 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
18173ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
1918adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
20 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )
21 elfzo0 11808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  <-> 
( ( ( A  +  B )  mod 
L )  e.  NN0  /\  ( L  -  1 )  e.  NN  /\  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) ) )
2216, 19, 20, 21syl3anbrc 1181 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) )
23 fveq2 5805 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
24 oveq1 6241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
2524fveq2d 5809 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) )
2623, 25preq12d 4058 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) } )
2726eleq1d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  <->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  +  1 ) ) }  e.  R
) )
2827rspcv 3155 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) }  e.  R ) )
2922, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( L  - 
1 ) ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) }  e.  R ) )
3011zred 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
31303adant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
3231adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
3313nnrpd 11220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  L  e.  RR+ )
34333ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR+ )
3534adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  L  e.  RR+ )
36 modltm1p1mod 11993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
3732, 35, 20, 36syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L )  =  ( ( ( A  +  B )  mod  L )  +  1 ) )
3837fveq2d 5809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( W `  ( (
( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) )  =  ( W `  ( ( ( A  +  B )  mod 
L )  +  1 ) ) )
3938preq2d 4057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  +  1 ) ) } )
4039eleq1d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R  <->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  +  1 ) ) }  e.  R
) )
4129, 40sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( L  - 
1 ) ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) }  e.  R ) )
4241impancom 438 . . . 4  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R )  ->  (
( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
43423adant3 1017 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  ( (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) )
44 zmodfzo 11970 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L ) )
4512, 14, 44syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ L ) )
46 elfzonlteqm1 11840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L )  /\  -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( ( A  +  B )  mod 
L )  =  ( L  -  1 ) )
4746eqcomd 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  +  B )  mod  L
)  e.  ( 0..^ L )  /\  -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 ) )  ->  ( L  - 
1 )  =  ( ( A  +  B
)  mod  L )
)
4847ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  +  B
)  mod  L )  e.  ( 0..^ L )  ->  ( -.  (
( A  +  B
)  mod  L )  <  ( L  -  1 )  ->  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
4945, 48syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  -> 
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) )
50 fveq2 5805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L )  ->  ( W `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) )
5150adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( W `  ( L  -  1 ) )  =  ( W `
 ( ( A  +  B )  mod 
L ) ) )
52 zre 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
53 zre 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
54 readdcl 9525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
5552, 53, 54syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
56553adant1 1015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
5756, 34jca 530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+ ) )
5857adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( A  +  B )  e.  RR  /\  L  e.  RR+ )
)
59 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L ) )
6059eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( A  +  B )  mod  L
)  =  ( L  -  1 ) )
61 modm1p1mod0 11992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  L  e.  RR+ )  -> 
( ( ( A  +  B )  mod 
L )  =  ( L  -  1 )  ->  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L )  =  0 ) )
6258, 60, 61sylc 59 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
)  =  0 )
6362eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
0  =  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) )
6463fveq2d 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( W `  0
)  =  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) )
6551, 64preq12d 4058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  ->  { ( W `  ( L  -  1
) ) ,  ( W `  0 ) }  =  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L
) ) } )
6665eleq1d 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  <->  { ( W `  (
( A  +  B
)  mod  L )
) ,  ( W `
 ( ( ( A  +  B )  +  1 )  mod 
L ) ) }  e.  R ) )
6766biimpd 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod 
L ) )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
6867ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( L  -  1 )  =  ( ( A  +  B )  mod  L )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) ) )
6949, 68syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  -> 
( { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) ) )
7069com23 78 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( { ( W `  ( L  -  1
) ) ,  ( W `  0 ) }  e.  R  -> 
( -.  ( ( A  +  B )  mod  L )  < 
( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) ) )
7170imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  {
( W `  ( L  -  1 ) ) ,  ( W `
 0 ) }  e.  R )  -> 
( -.  ( ( A  +  B )  mod  L )  < 
( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
) )
72713adant2 1016 . . 3  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
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)  ->  ( -.  ( ( A  +  B )  mod  L
)  <  ( L  -  1 )  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L
) ) ,  ( W `  ( ( ( A  +  B
)  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R ) )
7343, 72pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
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)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  +  B )  +  1 )  mod  L ) ) }  e.  R
)
7410, 73eqeltrd 2490 1  |-  ( ( ( L  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( L  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  R  /\  { ( W `
 ( L  - 
1 ) ) ,  ( W `  0
) }  e.  R
)  ->  { ( W `  ( ( A  +  B )  mod  L ) ) ,  ( W `  (
( ( A  + 
1 )  +  B
)  mod  L )
) }  e.  R
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   {cpr 3973   class class class wbr 4394   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   1c1 9443    + caddc 9445    < clt 9578    - cmin 9761   NNcn 10496   2c2 10546   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ZZ>=cuz 11045   RR+crp 11183  ..^cfzo 11767    mod cmo 11947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwlem  25104
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