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Theorem clwwisshclww 24934
Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclww  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) )

Proof of Theorem clwwisshclww
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkprop 24897 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
) )
2 cshw0 12777 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  0 )  =  W )
323ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W cyclShift  0 )  =  W )
43eleq1d 2526 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  (
( W cyclShift  0 )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  W  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
54biimprd 223 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  0 )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
61, 5mpcom 36 . . . 4  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  0
)  e.  ( V ClWWalks  E ) )
7 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( W cyclShift  N )  =  ( W cyclShift  0 ) )
87eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( W cyclShift  0 )  e.  ( V ClWWalks  E )
) )
96, 8syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  =  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( N  =  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
11 fzo1fzo0n0 11863 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  <->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  N  =/=  0 ) )
12 isclwwlk 24895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
13123adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
14 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  W  e. Word  V )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
16 cshwcl 12781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  N )  e. Word  V
)
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e. Word  V )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e. Word  V )
1914anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) ) )
20 3simpc 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
21 clwwisshclwwlem 24933 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
2319, 20, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
24 elfzofz 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
25 lswcshw 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( W `
 ( N  - 
1 ) ) )
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( W `
 ( N  - 
1 ) ) )
27 fzo0ss1 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1..^ ( # `  W
) )  C_  (
0..^ ( # `  W
) )
2827sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
29 cshwidx0 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  N ) `
 0 )  =  ( W `  N
) )
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  N ) `
 0 )  =  ( W `  N
) )
3126, 30preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  =  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) } )
32313ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  =  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) } )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N )
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  0
) }  =  {
( W `  ( N  -  1 ) ) ,  ( W `
 N ) } )
34 elfzo1 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  <->  ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W ) ) )
35 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
36 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
3735, 36anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  ZZ ) )
38373adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  ZZ ) )
3934, 38sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ ) )
40 elfzom1b 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ )  -> 
( N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) )  <->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  <->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
4241ibi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
44 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  ( N  - 
1 )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( N  -  1
) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( N  -  1 ) ) )
46 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( N  - 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
4746fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  ( N  - 
1 )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )
48 elfzoelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ZZ )
4948zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  CC )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  ->  N  e.  CC )
51 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
1  e.  CC )
5250, 51npcand 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5352fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( W `
 N ) )
5447, 53sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  N ) )
5545, 54preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( W `  ( N  -  1 ) ) ,  ( W `
 N ) } )
5655eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  ( N  -  1
) ) ,  ( W `  N ) }  e.  ran  E
) )
5743, 56rspcdv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  ( N  -  1
) ) ,  ( W `  N ) }  e.  ran  E
) )
5857com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) }  e.  ran  E ) )
59583ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) }  e.  ran  E ) )
6059impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( W `  ( N  -  1 ) ) ,  ( W `  N ) }  e.  ran  E )
6133, 60eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N )
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  0
) }  e.  ran  E )
6218, 23, 613jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
6362an32s 804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
64 3simpa 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
67 isclwwlk 24895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )  <-> 
( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `
 j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  0 ) }  e.  ran  E ) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
6963, 68mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) )
7069exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) ) )
7113, 70sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) ) )
721, 71mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) )
7372com12 31 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) )
7411, 73sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  N  =/=  0 )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
7574expcom 435 . . . 4  |-  ( N  =/=  0  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) ) )
7675com13 80 . . 3  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
( N  =/=  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) ) )
7776imp 429 . 2  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( N  =/=  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
7810, 77pm2.61dne 2774 1  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   {cpr 4034   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    - cmin 9824   NNcn 10556   ZZcz 10885   ...cfz 11697  ..^cfzo 11821   #chash 12408  Word cword 12538   lastS clsw 12539   cyclShift ccsh 12771   ClWWalks cclwwlk 24875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-substr 12550  df-csh 12772  df-clwwlk 24878
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwn  24935
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