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Theorem clwwisshclww 24580
Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclww  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) )

Proof of Theorem clwwisshclww
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkprop 24543 . . . . 5  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
) )
2 cshw0 12731 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  0 )  =  W )
323ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W cyclShift  0 )  =  W )
43eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  (
( W cyclShift  0 )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  W  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
54biimprd 223 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  0 )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
61, 5mpcom 36 . . . 4  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  0
)  e.  ( V ClWWalks  E ) )
7 oveq2 6293 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( W cyclShift  N )  =  ( W cyclShift  0 ) )
87eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( W cyclShift  0 )  e.  ( V ClWWalks  E )
) )
96, 8syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  =  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
109adantr 465 . 2  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( N  =  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
11 fzo1fzo0n0 11833 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  <->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  /\  N  =/=  0 ) )
12 isclwwlk 24541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
13123adant3 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
14 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  W  e. Word  V )
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  ->  W  e. Word  V )
16 cshwcl 12735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W cyclShift  N )  e. Word  V
)
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e. Word  V )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e. Word  V )
1914anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) ) )
20 3simpc 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
21 clwwisshclwwlem 24579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
2319, 20, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. j  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W cyclShift  N ) )  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
24 elfzofz 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ( 1 ... ( # `
 W ) ) )
25 lswcshw 12749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( W `
 ( N  - 
1 ) ) )
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( lastS  `  ( W cyclShift  N ) )  =  ( W `
 ( N  - 
1 ) ) )
27 fzo0ss1 11824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1..^ ( # `  W
) )  C_  (
0..^ ( # `  W
) )
2827sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
29 cshwidx0 12742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  N ) `
 0 )  =  ( W `  N
) )
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( W cyclShift  N ) `
 0 )  =  ( W `  N
) )
3126, 30preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  =  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) } )
32313ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  =  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) } )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N )
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  0
) }  =  {
( W `  ( N  -  1 ) ) ,  ( W `
 N ) } )
34 elfzo1 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  <->  ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W ) ) )
35 nnz 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
36 nnz 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  W )  e.  NN  ->  ( # `  W
)  e.  ZZ )
3735, 36anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN )  -> 
( N  e.  ZZ  /\  ( # `  W
)  e.  ZZ ) )
38373adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( # `  W )  e.  NN  /\  N  <  ( # `  W
) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `
 W )  e.  ZZ ) )
3934, 38sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ ) )
40 elfzom1b 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( # `  W )  e.  ZZ )  -> 
( N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) )  <->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  <->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) ) )
4241ibi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) )
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) )
44 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  ( N  - 
1 )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( N  -  1
) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  ( W `  i )  =  ( W `  ( N  -  1 ) ) )
46 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  ( N  - 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )
4746fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  ( N  - 
1 )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) ) )
48 elfzoelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  ZZ )
4948zcnd 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  N  e.  CC )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  ->  N  e.  CC )
51 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
1  e.  CC )
5350, 52npcand 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5453fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( W `
 N ) )
5547, 54sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  N ) )
5645, 55preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( W `  ( N  -  1 ) ) ,  ( W `
 N ) } )
5756eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  i  =  ( N  -  1 ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( W `  ( N  -  1
) ) ,  ( W `  N ) }  e.  ran  E
) )
5843, 57rspcdv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  (
1..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( W `  ( N  -  1
) ) ,  ( W `  N ) }  e.  ran  E
) )
5958com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) }  e.  ran  E ) )
60593ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E )  ->  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  { ( W `
 ( N  - 
1 ) ) ,  ( W `  N
) }  e.  ran  E ) )
6160impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( W `  ( N  -  1 ) ) ,  ( W `  N ) }  e.  ran  E )
6233, 61eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N )
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  0
) }  e.  ran  E )
6318, 23, 623jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W
) ) )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
6463an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
65 3simpa 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
68 isclwwlk 24541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )  <-> 
( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N ) )  - 
1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `
 j ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 ( j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  0 ) }  e.  ran  E ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
) ,  ( W `
 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( ( W cyclShift  N )  e. Word  V  /\  A. j  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W cyclShift  N )
)  -  1 ) ) { ( ( W cyclShift  N ) `  j
) ,  ( ( W cyclShift  N ) `  (
j  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( W cyclShift  N ) ) ,  ( ( W cyclShift  N ) `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
7064, 69mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V
)  /\  ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W
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 0 ) }  e.  ran  E ) )  /\  N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) )
7170exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  (
( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  W ) ,  ( W `  0 ) }  e.  ran  E
)  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) ) )
7213, 71sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  W  e. Word  V )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) ) )
731, 72mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  e.  ( 1..^ ( # `  W ) )  -> 
( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) )
7473com12 31 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1..^ (
# `  W )
)  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) )
7511, 74sylbir 213 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  /\  N  =/=  0 )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
7675expcom 435 . . . 4  |-  ( N  =/=  0  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W
) )  ->  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) ) )
7776com13 80 . . 3  |-  ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) )  -> 
( N  =/=  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E )
) ) )
7877imp 429 . 2  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( N  =/=  0  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) ) )
7910, 78pm2.61dne 2784 1  |-  ( ( W  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  N  e.  ( 0..^ ( # `  W ) ) )  ->  ( W cyclShift  N )  e.  ( V ClWWalks  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   {cpr 4029   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    < clt 9629    - cmin 9806   NNcn 10537   ZZcz 10865   ...cfz 11673  ..^cfzo 11793   #chash 12374  Word cword 12501   lastS clsw 12502   cyclShift ccsh 12725   ClWWalks cclwwlk 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-mod 11966  df-hash 12375  df-word 12509  df-lsw 12510  df-concat 12511  df-substr 12513  df-csh 12726  df-clwwlk 24524
This theorem is referenced by:  clwwisshclwwn  24581
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