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Theorem clwwisshclww 24934
 Description: Cyclically shifting a closed walk as word results in a closed walk as word (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 10-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwisshclww ClWWalks ..^ cyclShift ClWWalks

Proof of Theorem clwwisshclww
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkprop 24897 . . . . 5 ClWWalks Word
2 cshw0 12777 . . . . . . . 8 Word cyclShift
323ad2ant3 1019 . . . . . . 7 Word cyclShift
43eleq1d 2526 . . . . . 6 Word cyclShift ClWWalks ClWWalks
54biimprd 223 . . . . 5 Word ClWWalks cyclShift ClWWalks
61, 5mpcom 36 . . . 4 ClWWalks cyclShift ClWWalks
7 oveq2 6304 . . . . 5 cyclShift cyclShift
87eleq1d 2526 . . . 4 cyclShift ClWWalks cyclShift ClWWalks
96, 8syl5ibrcom 222 . . 3 ClWWalks cyclShift ClWWalks
109adantr 465 . 2 ClWWalks ..^ cyclShift ClWWalks
11 fzo1fzo0n0 11863 . . . . . 6 ..^ ..^
12 isclwwlk 24895 . . . . . . . . . 10 ClWWalks Word ..^ lastS
13123adant3 1016 . . . . . . . . 9 Word ClWWalks Word ..^ lastS
14 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
1514adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^ Word
16 cshwcl 12781 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word cyclShift Word
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^ cyclShift Word
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ Word ..^ lastS cyclShift Word
1914anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^ Word ..^
20 3simpc 995 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^ lastS ..^ lastS
21 clwwisshclwwlem 24933 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^ ..^ lastS ..^ cyclShift cyclShift cyclShift
2221imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^ ..^ lastS ..^ cyclShift cyclShift cyclShift
2319, 20, 22syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ Word ..^ lastS ..^ cyclShift cyclShift cyclShift
24 elfzofz 11841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
25 lswcshw 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word lastS cyclShift
2624, 25sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ lastS cyclShift
27 fzo0ss1 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
2827sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
29 cshwidx0 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ cyclShift
3028, 29sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ cyclShift
3126, 30preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word ..^ lastS cyclShift cyclShift
32313ad2antl3 1160 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^ lastS cyclShift cyclShift
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^ Word ..^ lastS lastS cyclShift cyclShift
34 elfzo1 11870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
35 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
36 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3735, 36anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38373adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3934, 38sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
40 elfzom1b 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^ ..^
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^ ..^
4241ibi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
4342adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^ ..^
44 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^
46 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4746fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
48 elfzoelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
4948zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word ..^
51 1cnd 9629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Word ..^
5250, 51npcand 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Word ..^
5352fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Word ..^
5447, 53sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Word ..^
5545, 54preq12d 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word ..^
5655eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word ..^
5743, 56rspcdv 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word ..^ ..^
5857com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ Word ..^
59583ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word ..^ lastS Word ..^
6059impcom 430 . . . . . . . . . . . . . 14 Word ..^ Word ..^ lastS
6133, 60eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . 13 Word ..^ Word ..^ lastS lastS cyclShift cyclShift
6218, 23, 613jca 1176 . . . . . . . . . . . 12 Word ..^ Word ..^ lastS cyclShift Word ..^ cyclShift cyclShift cyclShift lastS cyclShift cyclShift
6362an32s 804 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ lastS ..^ cyclShift Word ..^ cyclShift cyclShift cyclShift lastS cyclShift cyclShift
64 3simpa 993 . . . . . . . . . . . . . 14 Word
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ..^ lastS
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ lastS ..^
67 isclwwlk 24895 . . . . . . . . . . . 12 cyclShift ClWWalks cyclShift Word ..^ cyclShift cyclShift cyclShift lastS cyclShift cyclShift
6866, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^ lastS ..^ cyclShift ClWWalks cyclShift Word ..^ cyclShift cyclShift cyclShift lastS cyclShift cyclShift
6963, 68mpbird 232 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ lastS ..^ cyclShift ClWWalks
7069exp31 604 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ lastS ..^ cyclShift ClWWalks
7113, 70sylbid 215 . . . . . . . 8 Word ClWWalks ..^ cyclShift ClWWalks
721, 71mpcom 36 . . . . . . 7 ClWWalks ..^ cyclShift ClWWalks
7372com12 31 . . . . . 6 ..^ ClWWalks cyclShift ClWWalks
7411, 73sylbir 213 . . . . 5 ..^ ClWWalks cyclShift ClWWalks
7574expcom 435 . . . 4 ..^ ClWWalks cyclShift ClWWalks
7675com13 80 . . 3 ClWWalks ..^ cyclShift ClWWalks
7776imp 429 . 2 ClWWalks ..^ cyclShift ClWWalks
7810, 77pm2.61dne 2774 1 ClWWalks ..^ cyclShift ClWWalks
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  cvv 3109  cpr 4034   class class class wbr 4456   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   clt 9645   cmin 9824  cn 10556  cz 10885  cfz 11697  ..^cfzo 11821  chash 12408  Word cword 12538   lastS clsw 12539   cyclShift ccsh 12771   ClWWalks cclwwlk 24875 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-substr 12550  df-csh 12772  df-clwwlk 24878 This theorem is referenced by:  clwwisshclwwn  24935
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