Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkswlks Structured version   Unicode version

Theorem clwlkswlks 25478
 Description: Closed walks are walks (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkswlks ClWalks Walks

Proof of Theorem clwlkswlks
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-clwlk 25470 . . 3 ClWalks Walks
21elmpt2cl 6523 . 2 ClWalks
3 clwlk 25473 . . . 4 ClWalks Walks
43eleq2d 2493 . . 3 ClWalks Walks
5 simpl 459 . . . . . . 7 Walks Walks
65a1i 11 . . . . . 6 Walks Walks
76ssopab2dv 4747 . . . . 5 Walks Walks
87sseld 3464 . . . 4 Walks Walks
9 elopab 4726 . . . . 5 Walks Walks
10 df-br 4422 . . . . . . . . . 10 Walks Walks
1110biimpi 198 . . . . . . . . 9 Walks Walks
1211adantl 468 . . . . . . . 8 Walks Walks
13 eleq1 2495 . . . . . . . . 9 Walks Walks
1413adantr 467 . . . . . . . 8 Walks Walks Walks
1512, 14mpbird 236 . . . . . . 7 Walks Walks
1615a1i 11 . . . . . 6 Walks Walks
1716exlimdvv 1770 . . . . 5 Walks Walks
189, 17syl5bi 221 . . . 4 Walks Walks
198, 18syld 46 . . 3 Walks Walks
204, 19sylbid 219 . 2 ClWalks Walks
212, 20mpcom 38 1 ClWalks Walks
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1438  wex 1660   wcel 1869  cvv 3082  cop 4003   class class class wbr 4421  copab 4479  cfv 5599  (class class class)co 6303  cc0 9541  chash 12516   Walks cwalk 25218   ClWalks cclwlk 25467 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-wlk 25228  df-clwlk 25470 This theorem is referenced by:  clwlksarewlks  25479  clwlkfoclwwlk  25565  clwlkf1clwwlk  25570
 Copyright terms: Public domain W3C validator