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Theorem clwlkisclwwlklem2fv2 30594
Description: Lemma 4b for clwlkisclwwlklem2a 30596. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2fv2  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, P
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2fv2
StepHypRef Expression
1 clwlkisclwwlklem2.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )
3 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
4 nn0z 10781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
5 2z 10790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
64, 5jctir 538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )
7 zsubcl 10799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
98adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ )
109adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ )
113, 10eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  x  e.  ZZ )
1211ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  =  ( (
# `  P )  -  2 )  ->  x  e.  ZZ )
)
13 zre 10762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
14 nn0re 10700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
15 2re 10503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
1714, 16resubcld 9888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  RR )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  RR )
19 lttri3 9570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR )  -> 
( x  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  <-> 
( -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  -.  ( (
# `  P )  -  2 )  < 
x ) ) )
2013, 18, 19syl2anr 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  =  ( (
# `  P )  -  2 )  <->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  /\  -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x ) ) )
21 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  -.  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  x )  ->  -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) )
2220, 21syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
x  =  ( (
# `  P )  -  2 )  ->  -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
2322ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ZZ  ->  ( x  =  ( (
# `  P )  -  2 )  ->  -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ) )
2412, 23syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  =  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( x  =  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
2524com13 80 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( x  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
( # `  P )  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) )
2625pm2.43i 47 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
( # `  P )  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
2726impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )
28 iffalse 3908 . . . 4  |-  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  ->  if ( x  <  (
( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  =  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
2927, 28syl 16 . . 3  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  =  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
30 fveq2 5800 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
3130adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  ( P `  x )  =  ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
3231preq1d 4069 . . . 4  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } )
3332fveq2d 5804 . . 3  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
3429, 33eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )
356adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )
3635, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ )
3714, 16subge0d 10041 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  2  <_  ( # `
 P ) ) )
3837biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
39 elnn0z 10771 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
4036, 38, 39sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e. 
NN0 )
41 peano2zm 10800 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
424, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
4342adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  1 )  e.  ZZ )
44 1re 9497 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4544a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  1  e.  RR )
4615a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  e.  RR )
4714adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 P )  e.  RR )
48 1lt2 10600 . . . . . . 7  |-  1  <  2
4948a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  1  <  2 )
50 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
5145, 46, 47, 49, 50ltletrd 9643 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  1  <  ( # `  P
) )
52 posdif 9944 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  P )  e.  RR )  -> 
( 1  <  ( # `
 P )  <->  0  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
5352bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  P )  e.  RR )  -> 
( 0  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  1  <  (
# `  P )
) )
5444, 14, 53sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( ( # `  P )  -  1 )  <->  1  <  ( # `
 P ) ) )
5554adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0  <  ( ( # `
 P )  - 
1 )  <->  1  <  (
# `  P )
) )
5651, 55mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  0  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
57 elnnz 10768 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( # `  P )  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
5843, 56, 57sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN )
5945, 46, 47, 49ltsub2dd 10064 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )
60 elfzo0 11705 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  NN  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
6140, 58, 59, 60syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
62 fvex 5810 . . 3  |-  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  _V
6362a1i 11 . 2  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( `' E `  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  _V )
642, 34, 61, 63fvmptd 5889 1  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( F `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( `' E `  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   ifcif 3900   {cpr 3988   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   `'ccnv 4948   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707   NNcn 10434   2c2 10483   NN0cn0 10691   ZZcz 10758  ..^cfzo 11666   #chash 12221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a4  30595
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