MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkisclwwlklem2fv1 Structured version   Unicode version

Theorem clwlkisclwwlklem2fv1 24928
Description: Lemma 4a for clwlkisclwwlklem2a 24931. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2fv1  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )
Distinct variable groups:    x, E    x, I    x, P
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2fv1
StepHypRef Expression
1 clwlkisclwwlklem2.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )
3 breq1 4387 . . . 4  |-  ( x  =  I  ->  (
x  <  ( ( # `
 P )  - 
2 )  <->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
4 fveq2 5791 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  ( P `  x )  =  ( P `  I ) )
5 oveq1 6225 . . . . . . 7  |-  ( x  =  I  ->  (
x  +  1 )  =  ( I  + 
1 ) )
65fveq2d 5795 . . . . . 6  |-  ( x  =  I  ->  ( P `  ( x  +  1 ) )  =  ( P `  ( I  +  1
) ) )
74, 6preq12d 4048 . . . . 5  |-  ( x  =  I  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } )
87fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( x  =  I  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )
94preq1d 4046 . . . . 5  |-  ( x  =  I  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P `  I ) ,  ( P `  0 ) } )
109fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( x  =  I  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  0 ) } ) )
113, 8, 10ifbieq12d 3901 . . 3  |-  ( x  =  I  ->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  =  if ( I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
12 elfzolt2 11753 . . . . 5  |-  ( I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
1312adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  I  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
1413iftrued 3882 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  if ( I  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
1511, 14sylan9eqr 2459 . 2  |-  ( ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  /\  x  =  I )  ->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } ) )
16 nn0z 10826 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
17 2z 10835 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
1817a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
1916, 18zsubcld 10911 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
20 peano2zm 10846 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
2116, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
22 1red 9544 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
23 2re 10544 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
25 nn0re 10743 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
26 1le2 10688 . . . . . . 7  |-  1  <_  2
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  1  <_  2 )
2822, 24, 25, 27lesub2dd 10108 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  <_  (
( # `  P )  -  1 ) )
29 eluz2 11029 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  P )  -  2 ) )  <-> 
( ( ( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
( # `  P )  -  2 )  <_ 
( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
3019, 21, 28, 29syl3anbrc 1178 . . . 4  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
31 fzoss2 11770 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  (
( # `  P )  -  2 ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  C_  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )
3332sselda 3434 . 2  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  I  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
34 fvex 5801 . . 3  |-  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } )  e.  _V
3534a1i 11 . 2  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1
) ) } )  e.  _V )
362, 15, 33, 35fvmptd 5879 1  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  I  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )  ->  ( F `  I )  =  ( `' E `  { ( P `  I ) ,  ( P `  ( I  +  1 ) ) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   _Vcvv 3051    C_ wss 3406   ifcif 3874   {cpr 3963   class class class wbr 4384    |-> cmpt 4442   `'ccnv 4929   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   RRcr 9424   0cc0 9425   1c1 9426    + caddc 9428    < clt 9561    <_ cle 9562    - cmin 9740   2c2 10524   NN0cn0 10734   ZZcz 10803   ZZ>=cuz 11023  ..^cfzo 11739   #chash 12330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-fzo 11740
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a4  24930
  Copyright terms: Public domain W3C validator