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Theorem clwlkisclwwlklem2a1 24441
Description: Lemma 1 for clwlkisclwwlklem2a 24447. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a1
StepHypRef Expression
1 lencl 12515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
2 nn0cn 10794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
3 peano2cnm 9874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
43subid1d 9908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
54oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) )
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
7 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  1  e.  CC )
96, 8, 8subsub4d 9950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
10 1p1e2 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
1211oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
139, 12eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
145, 13eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
151, 2, 143syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
16153ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
1716oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
1817raleqdv 3057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1918biimpcd 224 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2221impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
23 lsw 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
24 2m1e1 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
2625eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
2726oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
281, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e.  CC )
29 2cnd 10597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  2  e.  CC )
307a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  e.  CC )
3128, 29, 30subsubd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
3227, 31eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
3332fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
3423, 33eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
35343ad2ant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
37 eqeq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  <-> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3936, 38mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
4039preq2d 4106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
4140eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
4342ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4443com13 80 . . . . . . . 8  |-  ( { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
4645impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4746impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
4822, 47jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
49 ovex 6300 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  -  2 )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  _V )
51 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
52 oveq1 6282 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
5352fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
5451, 53preq12d 4107 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
5554eleq1d 2529 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5655ralunsn 4226 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  _V  ->  ( A. i  e.  (
( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5750, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5848, 57mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
59 1e2m1 10640 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 2  -  1 )
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
6160oveq2d 6291 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
6261, 31eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6362oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
6463adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
65 nn0re 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
66 2re 10594 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
6865, 67subge0d 10131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  2  <_  ( # `
 P ) ) )
6968biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
70 nn0z 10876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
71 2z 10885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
7370, 72zsubcld 10960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
7469, 73jctild 543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
751, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
7675imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
77 elnn0z 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
7876, 77sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e. 
NN0 )
79 elnn0uz 11108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
8078, 79sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
81 fzosplitsn 11875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0..^ ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8364, 82eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) )
84833adant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8584adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8685raleqdv 3057 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
8758, 86mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
8887ex 434 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    u. cun 3467   {csn 4020   {cpr 4022   class class class wbr 4440   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9794   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071  ..^cfzo 11781   #chash 12360  Word cword 12487   lastS clsw 12488   USGrph cusg 23993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-lsw 12496
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a  24447
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