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Theorem clwlkisclwwlklem2a1 30581
Description: Lemma 1 for clwlkisclwwlklem2a 30587. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a1
StepHypRef Expression
1 lencl 12353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
2 nn0cn 10692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
3 cnm1cn 30307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
43subid1d 9811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
54oveq1d 6207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) )
6 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
7 ax-1cn 9443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  1  e.  CC )
96, 8, 8subsub4d 9853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
10 1p1e2 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
1211oveq2d 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
139, 12eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
145, 13eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
151, 2, 143syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
16153ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
1716oveq2d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
1817raleqdv 3021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1918biimpcd 224 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
2019adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
2221impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
23 lsw 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
24 2m1e1 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
2625eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
2726oveq2d 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
281, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e.  CC )
29 2cnd 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  2  e.  CC )
307a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  e.  CC )
3128, 29, 30subsubd 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
3227, 31eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
3332fveq2d 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
3423, 33eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
35343ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
3635adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
37 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  <-> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3936, 38mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
4039preq2d 4061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
4140eleq1d 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4241biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
4342ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4443com13 80 . . . . . . . 8  |-  ( { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
4645impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4746impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
4822, 47jca 532 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
49 ovex 6217 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  -  2 )  e. 
_V
5049a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  _V )
51 fveq2 5791 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
52 oveq1 6199 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
5352fveq2d 5795 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
5451, 53preq12d 4062 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
5554eleq1d 2520 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
5655ralunsn 4179 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  _V  ->  ( A. i  e.  (
( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5750, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5848, 57mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
59 1e2m1 10540 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 2  -  1 )
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
6160oveq2d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
6261, 31eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
6362oveq2d 6208 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
6463adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
65 nn0re 10691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
66 2re 10494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
6865, 67subge0d 10032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  2  <_  ( # `
 P ) ) )
6968biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
70 nn0z 10772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
71 2z 10781 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
7370, 72zsubcld 10855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
7469, 73jctild 543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
751, 74syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
7675imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
77 elnn0z 10762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
7876, 77sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e. 
NN0 )
79 elnn0uz 11001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
8078, 79sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
81 fzosplitsn 11736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0..^ ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8364, 82eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) )
84833adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8584adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
8685raleqdv 3021 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
8758, 86mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
8887ex 434 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070    u. cun 3426   {csn 3977   {cpr 3979   class class class wbr 4392   ran crn 4941   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    <_ cle 9522    - cmin 9698   2c2 10474   NN0cn0 10682   ZZcz 10749   ZZ>=cuz 10964  ..^cfzo 11651   #chash 12206  Word cword 12325   lastS clsw 12326   USGrph cusg 23401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-hash 12207  df-word 12333  df-lsw 12334
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a  30587
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