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Theorem clwlkisclwwlklem2a1 24651
Description: Lemma 1 for clwlkisclwwlklem2a 24657. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a1
StepHypRef Expression
1 lencl 12541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
2 nn0cn 10811 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
3 peano2cnm 9890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
43subid1d 9925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
54oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) )
6 sub1m1 10795 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
75, 6eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
81, 2, 73syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
983ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
109oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
1110raleqdv 3046 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1211biimpcd 224 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1413adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1514impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
16 lsw 12564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
17 2m1e1 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
1918eqcomd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
2019oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
211, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e.  CC )
22 2cnd 10614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  2  e.  CC )
23 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  e.  CC )
2421, 22, 23subsubd 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
2520, 24eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
2625fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
2716, 26eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
28273ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
30 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  <-> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
3332preq2d 4101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
3433eleq1d 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
3534biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
3635ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
3736com13 80 . . . . . . 7  |-  ( { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
3938impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4039impcom 430 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
41 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  -  2 )  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  _V )
43 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
44 oveq1 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
4544fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
4643, 45preq12d 4102 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
4746eleq1d 2512 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
4847ralunsn 4222 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  _V  ->  ( A. i  e.  (
( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4942, 48syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5015, 40, 49mpbir2and 922 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
51 1e2m1 10657 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 2  -  1 )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
5352oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
5453, 24eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
5554oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
5655adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
57 nn0re 10810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
58 2re 10611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
6057, 59subge0d 10148 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  2  <_  ( # `
 P ) ) )
6160biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
62 nn0z 10893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
63 2z 10902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
6562, 64zsubcld 10979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
6661, 65jctild 543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
671, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
6867imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
69 elnn0z 10883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e. 
NN0 )
71 elnn0uz 11127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
7270, 71sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
73 fzosplitsn 11897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0..^ ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7556, 74eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) )
76753adant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7776adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7877raleqdv 3046 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
7950, 78mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
8079ex 434 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095    u. cun 3459   {csn 4014   {cpr 4016   class class class wbr 4437   ran crn 4990   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    <_ cle 9632    - cmin 9810   2c2 10591   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090  ..^cfzo 11803   #chash 12384  Word cword 12513   lastS clsw 12514   USGrph cusg 24202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-hash 12385  df-word 12521  df-lsw 12522
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a  24657
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