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Theorem clwlkisclwwlklem2a1 25196
Description: Lemma 1 for clwlkisclwwlklem2a 25202. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Distinct variable groups:    i, E    P, i
Allowed substitution hint:    V( i)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a1
StepHypRef Expression
1 lencl 12614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
2 nn0cn 10846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
3 peano2cnm 9921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
43subid1d 9956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
54oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) )
6 sub1m1 10830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
75, 6eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
81, 2, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
983ad2ant2 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
109oveq2d 6294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
1110raleqdv 3010 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1211biimpcd 224 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1312adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1413adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
1514impcom 428 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
16 lsw 12638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
17 2m1e1 10691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  -  1 )  =  1
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  -  1 )  =  1 )
1918eqcomd 2410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
2019oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
211, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e.  CC )
22 2cnd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  2  e.  CC )
23 1cnd 9642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  e.  CC )
2421, 22, 23subsubd 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
2520, 24eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
2625fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
1 ) )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
2716, 26eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
28273ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
2928adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
30 eqeq1 2406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) )  <-> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
3332preq2d 4058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  0
) }  =  {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
3433eleq1d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
3534biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
3635ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
3736com13 80 . . . . . . 7  |-  ( { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
3837adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
3938impcom 428 . . . . 5  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4039impcom 428 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
41 ovex 6306 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  -  2 )  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  _V )
43 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  i )  =  ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) )
44 oveq1 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( i  +  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
4544fveq2d 5853 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) )
4643, 45preq12d 4059 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) } )
4746eleq1d 2471 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) ) ,  ( P `  (
( ( # `  P
)  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
4847ralunsn 4179 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  _V  ->  ( A. i  e.  (
( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <-> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
4942, 48syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
5015, 40, 49mpbir2and 923 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
51 1e2m1 10692 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  =  ( 2  -  1 )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  1  =  ( 2  -  1 ) )
5352oveq2d 6294 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 2  -  1 ) ) )
5453, 24eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( # `  P )  -  1 )  =  ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )
5554oveq2d 6294 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
5655adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) ) )
57 nn0re 10845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
58 2re 10646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
6057, 59subge0d 10182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  ( ( # `  P )  -  2 )  <->  2  <_  ( # `
 P ) ) )
6160biimprd 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
62 nn0z 10928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
63 2z 10937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
6562, 64zsubcld 11013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
6661, 65jctild 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
671, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
6867imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
69 elnn0z 10918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( (
# `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
7068, 69sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e. 
NN0 )
71 elnn0uz 11164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN0  <->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
7270, 71sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
73 fzosplitsn 11955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0..^ ( ( ( # `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7472, 73syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( (
# `  P )  -  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  2 ) )  u.  { ( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7556, 74eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( (
# `  P )  -  2 ) )  u.  { ( (
# `  P )  -  2 ) } ) )
76753adant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7776adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  =  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) )
7877raleqdv 3010 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  2 ) )  u.  {
( ( # `  P
)  -  2 ) } ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
7950, 78mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
8079ex 432 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    u. cun 3412   {csn 3972   {cpr 3974   class class class wbr 4395   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    <_ cle 9659    - cmin 9841   2c2 10626   NN0cn0 10836   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127  ..^cfzo 11854   #chash 12452  Word cword 12583   lastS clsw 12584   USGrph cusg 24747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-lsw 12592
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2a  25202
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