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Theorem clwlkisclwwlklem2a 24987
Description: Lemma 2 for clwlkisclwwlklem2 24988. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, E, x    i, F    P, i, x    i, V, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a
StepHypRef Expression
1 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )
2 usgraf1o 24560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
323ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
43adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
54ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
6 elfzo0 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  NN  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
7 lencl 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
8 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
98adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  e.  NN0 )
10 elnn0z 10873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  NN0  <->  ( x  e.  ZZ  /\  0  <_  x ) )
11 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
12 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
1312adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
14 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
15 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
1714, 16resubcld 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  RR )
1817adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR )
19 lelttr 9664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( # `  P )  -  2 )  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  x  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
2011, 13, 18, 19syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  x  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  ->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
21 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
22 2z 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  2  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
2421, 23zsubcld 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
2524anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
26 elnnz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  <->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
2725, 26sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  NN )
28 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
29 peano2cnm 9876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
3130subid1d 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
3231oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) )
33 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3428, 33, 33subsub4d 9953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
35 1p1e2 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
3736oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
3834, 37eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
3932, 38eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
4039eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  NN ) )
4140adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
4227, 41mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN )
4342ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) )
4443adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
4520, 44syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  x  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) )
4645exp4b 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  x  ->  (
x  <  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
4746com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
0  <_  x  ->  ( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
4847imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  0  <_  x )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) ) )
4910, 48sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) ) )
5049imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5150com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5251adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5352impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN )
54 df-2 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
5655oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
5731eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 ) )
5857oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )
5956, 34, 583eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )
6059adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) )
6160breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  <->  x  <  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) ) )
6261biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
6362adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
6463impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) )
65 elfzo0 11840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  NN0  /\  ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
669, 53, 64, 65syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) )
6766exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) )
6867a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
6968com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
7069ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  1 )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
7170com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( x  <  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
7271imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
73723adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
7473com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
757, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
7675imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  <  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
77763adant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
786, 77syl7bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
7978com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) )
8079imp31 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
81 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  x  ->  ( P `  i )  =  ( P `  x ) )
82 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  x  ->  (
i  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
8382fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  x  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
8481, 83preq12d 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  x  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
8584eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  x  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )
8685adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  /\  i  =  x )  ->  ( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8780, 86rspcdv 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8887ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
8988com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) ) )
9089ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) ) )
9190impcom 428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
9291expdimp 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9392impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
94 f1ocnvdm 6163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )
955, 93, 94syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E )
961, 95jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E ) )
9796orcd 390 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
98 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
994ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
100 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
101 peano2zm 10903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
10221, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
103100, 102anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ ) )
104 zltlem1 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
10638adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
107106breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
108107biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  ->  x  <_  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
109105, 108sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  ->  x  <_  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
110109impancom 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  x  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
111110imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )
112 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
113112adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  x  e.  RR )
114113, 17anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR ) )
115 lenlt 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR )  -> 
( x  <_  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x ) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x ) )
117111, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  -.  ( ( # `  P )  -  2 )  <  x )
118117anim1i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( -.  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
119114ancomd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( # `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
120119adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR ) )
121 lttri3 9657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x  <->  ( -.  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) )
122120, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  =  x  <->  ( -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
123118, 122mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  x )
124123exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) ) )
125124com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) ) )
1261253adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  =  x ) ) )
1276, 126sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  =  x ) ) )
128127impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  -  2 )  =  x ) )
129128com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  x ) )
1307, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) )
1311303ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  x ) )
132131imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x )
133132fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) )  =  ( P `  x ) )
134133preq1d 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) } )
135134eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
136135biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) )
137136exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
138137com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
139138com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) ) )
140139adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
141140adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
142141com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) ) ) )
143142imp31 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
144143impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )
145 f1ocnvdm 6163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  dom  E )
14699, 144, 145syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E )
14798, 146jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) )
148147olcd 391 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
14997, 148pm2.61ian 788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
150 ifel 3970 . . . . . . 7  |-  ( if ( x  <  (
( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  e.  dom  E  <->  ( ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
151149, 150sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  ->  if ( x  <  (
( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  e.  dom  E
)
152 clwlkisclwwlklem2.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
153151, 152fmptd 6031 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  F : ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) --> dom  E
)
154 iswrdi 12537 . . . . 5  |-  ( F : ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
155153, 154syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
156 wrdf 12538 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V )
157156adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V )
158152clwlkisclwwlklem2a2 24982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
159 fzoval 11805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
1607, 21, 1593syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
161 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
162161eqcoms 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 0 ... ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
163160, 162sylan9eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
164158, 163syldan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
165164feq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
166157, 165mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
1671663adant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
168167adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
169 clwlkisclwwlklem2a1 24981 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
170169imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
1711583adant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
172171adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
173152clwlkisclwwlklem2a4 24986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
174173impl 618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  -> 
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
175174ralimdva 2862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
176 oveq2 6278 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
177176raleqdv 3057 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
178177imbi2d 314 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
179175, 178syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
180172, 179mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
181180adantrr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
182170, 181mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )
183155, 168, 1823jca 1174 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
184152clwlkisclwwlklem2a3 24983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( lastS  `  P ) )
1851843adant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P `  ( # `  F ) )  =  ( lastS  `  P
) )
186185eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
187186eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( lastS  `  P )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
188187biimpcd 224 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  =  ( lastS  `  P
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
189188eqcoms 2466 . . . . 5  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ) )
190189adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
191190impcom 428 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
192183, 191jca 530 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
193192ex 432 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   ifcif 3929   {cpr 4018   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987   dom cdm 4988   ran crn 4989   -->wf 5566   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12387  Word cword 12518   lastS clsw 12519   USGrph cusg 24532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-lsw 12527  df-usgra 24535
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2  24988
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