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Theorem clwlkisclwwlklem2a 30596
Description: Lemma 2 for clwlkisclwwlklem2 30597. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, E, x    i, F    P, i, x    i, V, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )
2 usgraf1o 23434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
323ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
43adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
54ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
6 elfzo0 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  NN  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
7 lencl 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
8 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  e.  NN0 )
10 elnn0z 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  NN0  <->  ( x  e.  ZZ  /\  0  <_  x ) )
11 0re 9498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  0  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
13 zre 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
15 nn0re 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
16 2re 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  2  e.  RR
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
1815, 17resubcld 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  RR )
1918adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR )
20 lelttr 9577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( # `  P )  -  2 )  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  x  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
2112, 14, 19, 20syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  x  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  ->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
22 nn0z 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
23 2z 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  2  e.  ZZ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
2522, 24zsubcld 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
2625anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
27 elnnz 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  <->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
2826, 27sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  NN )
29 nn0cn 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
30 cnm1cn 30316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
3231subid1d 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
3332oveq1d 6216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) )
34 ax-1cn 9452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  1  e.  CC
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3629, 35, 35subsub4d 9862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
37 1p1e2 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
3938oveq2d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
4036, 39eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
4133, 40eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
4241eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  NN ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
4428, 43mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN )
4544ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) )
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
4721, 46syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  x  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) )
4847exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  x  ->  (
x  <  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
4948com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
0  <_  x  ->  ( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  0  <_  x )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) ) )
5110, 50sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5352com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5554impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN )
56 df-2 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
5857oveq2d 6217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
5932eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 ) )
6059oveq1d 6216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )
6158, 36, 603eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) )
6362breq2d 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  <->  x  <  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) ) )
6463biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
6665impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) )
67 elfzo0 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  NN0  /\  ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
689, 55, 66, 67syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) )
6968exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) )
7069a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
7170com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  1 )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
7372com25 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( x  <  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
7473imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
75743adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
7675com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
777, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  <  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
79783adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
806, 79syl7bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
8180com13 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) )
8281imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
83 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  x  ->  ( P `  i )  =  ( P `  x ) )
84 oveq1 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  x  ->  (
i  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
8584fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  x  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
8683, 85preq12d 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  x  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
8786eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  x  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )
8887adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  /\  i  =  x )  ->  ( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8982, 88rspcdv 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9089ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
9190com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) ) )
9291ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) ) )
9392impcom 430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
9493expdimp 437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9594impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
96 f1ocnvdm 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )
975, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E )
981, 97jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E ) )
9998orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
100 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
1014ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
102 nn0z 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
103 peano2zm 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
10422, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
105102, 104anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ ) )
106 zltlem1 10809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
10840adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
109108breq2d 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
110109biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  ->  x  <_  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
111107, 110sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  ->  x  <_  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
112111impancom 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  x  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
113112imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )
114 nn0re 10700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  x  e.  RR )
116115, 18anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR ) )
117 lenlt 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR )  -> 
( x  <_  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x ) )
119113, 118mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  -.  ( ( # `  P )  -  2 )  <  x )
120119anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( -.  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
121116ancomd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( # `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR ) )
123 lttri3 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x  <->  ( -.  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  =  x  <->  ( -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
125120, 124mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  x )
126125exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) ) )
127126com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) ) )
1281273adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  =  x ) ) )
1296, 128sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  =  x ) ) )
130129impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  -  2 )  =  x ) )
131130com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  x ) )
1327, 131syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) )
1331323ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  x ) )
134133imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x )
135134fveq2d 5804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) )  =  ( P `  x ) )
136135preq1d 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) } )
137136eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
138137biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) )
139138exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
140139com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
141140com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) ) )
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
143142adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
144143com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) ) ) )
145144imp31 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
146145impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )
147 f1ocnvdm 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  dom  E )
148101, 146, 147syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E )
149100, 148jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) )
150149olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
15199, 150pm2.61ian 788 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
152 ifel 3939 . . . . . . 7  |-  ( if ( x  <  (
( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  e.  dom  E  <->  ( ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
153151, 152sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  ->  if ( x  <  (
( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  e.  dom  E
)
154 clwlkisclwwlklem2.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
155153, 154fmptd 5977 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  F : ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) --> dom  E
)
156 iswrdi 12358 . . . . 5  |-  ( F : ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
157155, 156syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
158 wrdf 12359 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V )
159158adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V )
160154clwlkisclwwlklem2a2 30591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
161 fzoval 11672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
1627, 22, 1613syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
163 oveq2 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
164163eqcoms 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 0 ... ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
165162, 164sylan9eq 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
166160, 165syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
167166feq2d 5656 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
168159, 167mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
1691683adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
170169adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
171 clwlkisclwwlklem2a1 30590 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
172171imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
1731603adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
174173adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
175154clwlkisclwwlklem2a4 30595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
176175impl 620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  -> 
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
177176ralimdva 2832 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
178 oveq2 6209 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
179178raleqdv 3029 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
180179imbi2d 316 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
181177, 180syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
182174, 181mpcom 36 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
183182adantrr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
184172, 183mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )
185157, 170, 1843jca 1168 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
186154clwlkisclwwlklem2a3 30592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( lastS  `  P ) )
1871863adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P `  ( # `  F ) )  =  ( lastS  `  P
) )
188187eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
189188eqeq2d 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( lastS  `  P )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
190189biimpcd 224 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  =  ( lastS  `  P
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
191190eqcoms 2466 . . . . 5  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ) )
192191adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
193192impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
194185, 193jca 532 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
195194ex 434 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   ifcif 3900   {cpr 3988   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   `'ccnv 4948   dom cdm 4949   ran crn 4950   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707   NNcn 10434   2c2 10483   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ...cfz 11555  ..^cfzo 11666   #chash 12221  Word cword 12340   lastS clsw 12341   USGrph cusg 23417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-hash 12222  df-word 12348  df-lsw 12349  df-usgra 23419
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2  30597
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