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Theorem clwlkisclwwlklem2a 25569
Description: Lemma 2 for clwlkisclwwlklem2 25570. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2.f  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2a  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    i, E, x    i, F    P, i, x    i, V, x
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2a
StepHypRef Expression
1 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )
2 usgraf1o 25141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( V USGrph  E  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
323ad2ant1 1035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
43adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
54ad2antrl 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
6 elfzo0 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  NN  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
7 lencl 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
8 simpl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
98adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  e.  NN0 )
10 elnn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  NN0  <->  ( x  e.  ZZ  /\  0  <_  x ) )
11 0red 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
12 zre 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
1312adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  e.  RR )
14 nn0re 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  RR )
15 2re 10712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  2  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
1714, 16resubcld 10080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  RR )
1817adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR )
19 lelttr 9755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( # `  P )  -  2 )  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  x  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) )  ->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
2011, 13, 18, 19syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  x  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  ->  0  <  (
( # `  P )  -  2 ) ) )
21 nn0z 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
22 2z 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  2  e.  ZZ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
2421, 23zsubcld 11079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  ZZ )
2524anim1i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
26 elnnz 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  NN  <->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  ZZ  /\  0  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
2725, 26sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  e.  NN )
28 nn0cn 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  CC )
29 peano2cnm 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( (
# `  P )  e.  CC  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  CC )
3130subid1d 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
3231oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) )
33 1cnd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3428, 33, 33subsub4d 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
35 1p1e2 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
3736oveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  -  ( 1  +  1 ) )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
3834, 37eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
3932, 38eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  =  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
4039eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( # `  P )  -  2 )  e.  NN ) )
4140adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  e.  NN ) )
4227, 41mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( # `  P
)  e.  NN0  /\  0  <  ( ( # `  P )  -  2 ) )  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN )
4342ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) )
4443adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
4520, 44syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  x  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) )
4645exp4b 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( 0  <_  x  ->  (
x  <  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
4746com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  e.  ZZ  ->  (
0  <_  x  ->  ( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) ) ) )
4847imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  0  <_  x )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) ) )
4910, 48sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 )  e.  NN ) ) )
5049imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5251adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN ) )
5352impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  -> 
( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN )
54 df-2 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  2  =  ( 1  +  1 )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  2  =  ( 1  +  1 ) )
5655oveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  ( ( # `  P
)  -  ( 1  +  1 ) ) )
5731eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 ) )
5857oveq1d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
1 )  =  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )
5956, 34, 583eqtr2d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )
6059adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) )
6160breq2d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  <->  x  <  ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) ) )
6261biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( (
x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
6362adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
6463impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) )
65 elfzo0 11993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 ) )  <-> 
( x  e.  NN0  /\  ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
669, 53, 64, 65syl3anbrc 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  /\  ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) )
6766exp32 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) )
6867a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
6968com24 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( 2  <_  ( # `
 P )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
7069ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  1 )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) ) )
7170com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( x  <  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) ) )
7271imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
73723adant2 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) ) )
7473com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
757, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
2  <_  ( # `  P
)  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) ) )
7675imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  <  ( ( # `
 P )  - 
2 )  ->  (
( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
77763adant1 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( x  e.  NN0  /\  (
( # `  P )  -  1 )  e.  NN  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
786, 77syl7bi 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) ) ) )
7978com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) ) ) )
8079imp31 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) ) )  ->  x  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) )
81 fveq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  x  ->  ( P `  i )  =  ( P `  x ) )
82 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  x  ->  (
i  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
8382fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  x  ->  ( P `  ( i  +  1 ) )  =  ( P `  ( x  +  1
) ) )
8481, 83preq12d 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  x  ->  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )
8584eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  x  ->  ( { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x
) ,  ( P `
 ( x  + 
1 ) ) }  e.  ran  E ) )
8685adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  (
( # `  P )  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) ) )  /\  i  =  x )  ->  ( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8780, 86rspcdv 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  /\  ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8887ex 440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
8988com13 83 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) ) )
9089ad2antrl 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) ) )
9190impcom 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) }  e.  ran  E ) )
9291expdimp 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9392impcom 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
94 f1ocnvdm 6213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 x ) ,  ( P `  (
x  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )
955, 93, 94syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E )
961, 95jca 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E ) )
9796orcd 398 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
98 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) )
994ad2antrl 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  E : dom  E -1-1-onto-> ran 
E )
100 nn0z 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
101 peano2zm 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
10221, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  e.  ZZ )
103100, 102anim12i 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ ) )
104 zltlem1 11023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 ) ) )
10638adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  1 )  =  ( ( # `  P )  -  2 ) )
107106breq2d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  <->  x  <_  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
108107biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <_  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  1 )  ->  x  <_  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
109105, 108sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( x  <  (
( # `  P )  -  1 )  ->  x  <_  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
110109impancom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  x  <_ 
( ( # `  P
)  -  2 ) ) )
111110imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  x  <_  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )
112 nn0re 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  RR )
113112adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  x  e.  RR )
114113, 17anim12i 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( x  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR ) )
115 lenlt 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR )  -> 
( x  <_  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x ) )
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( x  <_  (
( # `  P )  -  2 )  <->  -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x ) )
117111, 116mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  -.  ( ( # `  P )  -  2 )  <  x )
118117anim1i 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( -.  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) )
119114ancomd 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( (
# `  P )  -  1 ) )  /\  ( # `  P
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( # `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )
)
120119adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR ) )
121 lttri3 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( # `  P
)  -  2 )  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x  <->  ( -.  ( ( # `  P
)  -  2 )  <  x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ) ) )
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( (
( # `  P )  -  2 )  =  x  <->  ( -.  (
( # `  P )  -  2 )  < 
x  /\  -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ) )
123118, 122mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( x  e. 
NN0  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  x )
124123exp31 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) ) )
125124com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  x  <  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) ) )
1261253adant2 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  ( ( # `  P
)  -  1 )  e.  NN  /\  x  <  ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  =  x ) ) )
1276, 126sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  P )  -  2 )  =  x ) ) )
128127impcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( (
# `  P )  -  2 )  =  x ) )
129128com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  x ) )
1307, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x ) )
1311303ad2ant2 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  x ) )
132131imp 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( ( # `  P
)  -  2 )  =  x )
133132fveq2d 5896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) )  =  ( P `  x ) )
134133preq1d 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  =  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) } )
135134eleq1d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  x
) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
136135biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) ) )  -> 
( { ( P `
 ( ( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) )
137136exp32 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
138137com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( {
( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
139138com14 91 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) ) ) )
140139adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  ->  (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
141140adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
142141com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  ->  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) ) ) )
143142imp31 438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( -.  x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
144143impcom 436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )
145 f1ocnvdm 6213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E : dom  E -1-1-onto-> ran  E  /\  { ( P `
 x ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  dom  E )
14699, 144, 145syl2anc 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E )
14798, 146jca 539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) )
148147olcd 399 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  /\  ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ) )  ->  ( ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
14997, 148pm2.61ian 804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( (
# `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
150 ifel 3934 . . . . . . 7  |-  ( if ( x  <  (
( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  e.  dom  E  <->  ( ( x  <  (
( # `  P )  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } )  e.  dom  E )  \/  ( -.  x  <  ( ( # `  P
)  -  2 )  /\  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } )  e.  dom  E ) ) )
151149, 150sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  /\  x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  ->  if ( x  <  (
( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) )  e.  dom  E
)
152 clwlkisclwwlklem2.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
153151, 152fmptd 6074 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  F : ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) --> dom  E
)
154 iswrdi 12714 . . . . 5  |-  ( F : ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) --> dom  E  ->  F  e. Word  dom  E )
155153, 154syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  F  e. Word  dom  E )
156 wrdf 12715 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V )
157156adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V )
158152clwlkisclwwlklem2a2 25564 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( # `
 F )  =  ( ( # `  P
)  -  1 ) )
159 fzoval 11958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  P )  e.  ZZ  ->  ( 0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
1607, 21, 1593syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( (
# `  P )  -  1 ) ) )
161 oveq2 6328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( # `  P
)  -  1 )  =  ( # `  F
)  ->  ( 0 ... ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
162161eqcoms 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 0 ... ( ( # `  P )  -  1 ) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
163160, 162sylan9eq 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  ( # `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 ) )  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
164158, 163syldan 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  (
0..^ ( # `  P
) )  =  ( 0 ... ( # `  F ) ) )
165164feq2d 5741 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P : ( 0..^ (
# `  P )
) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V ) )
166157, 165mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V )
1671663adant1 1032 . . . . 5  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
168167adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  F ) ) --> V )
169 clwlkisclwwlklem2a1 25563 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
170169imp 435 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
1711583adant1 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
172171adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( # `  F
)  =  ( (
# `  P )  -  1 ) )
173152clwlkisclwwlklem2a4 25568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )  -> 
( { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( E `  ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
174173impl 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) )  ->  ( {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  -> 
( E `  ( F `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
175174ralimdva 2808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
176 oveq2 6328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( 0..^ ( # `  F
) )  =  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) )
177176raleqdv 3005 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
178177imbi2d 322 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
179175, 178syl5ibr 229 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  F )  =  ( ( # `  P )  -  1 )  ->  ( (
( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
180172, 179mpcom 37 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
181180adantrr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } ) )
182170, 181mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )
183155, 168, 1823jca 1194 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
184152clwlkisclwwlklem2a3 25565 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P `  ( # `  F
) )  =  ( lastS  `  P ) )
1851843adant1 1032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P `  ( # `  F ) )  =  ( lastS  `  P
) )
186185eqcomd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( lastS  `  P )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
187186eqeq2d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( P `
 0 )  =  ( lastS  `  P )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
188187biimpcd 232 . . . . . 6  |-  ( ( P `  0 )  =  ( lastS  `  P
)  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
189188eqcoms 2470 . . . . 5  |-  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  ->  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P ) )  -> 
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  F
) ) ) )
190189adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  ->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
191190impcom 436 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( P ` 
0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) )
192183, 191jca 539 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )  ->  ( ( F  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  F
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ( E `
 ( F `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) )
193192ex 440 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( F  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 F ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ( E `  ( F `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  F ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   ifcif 3893   {cpr 3982   class class class wbr 4418    |-> cmpt 4477   `'ccnv 4855   dom cdm 4856   ran crn 4857   -->wf 5601   -1-1-onto->wf1o 5604   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   CCcc 9568   RRcr 9569   0cc0 9570   1c1 9571    + caddc 9573    < clt 9706    <_ cle 9707    - cmin 9891   NNcn 10642   2c2 10692   NN0cn0 10903   ZZcz 10971   ...cfz 11819  ..^cfzo 11952   #chash 12553  Word cword 12695   lastS clsw 12696   USGrph cusg 25113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-card 8404  df-cda 8629  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-2 10701  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-hash 12554  df-word 12703  df-lsw 12704  df-usgra 25116
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem2  25570
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