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Theorem clwlkisclwwlklem2 24609
Description: Lemma for clwlkisclwwlk 24612. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  E. f ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, E, i    P, f, i    f, V, i

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6320 . . 3  |-  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  e.  _V
2 mptexg 6141 . . 3  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e.  _V )
31, 2mp1i 12 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e.  _V )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
54clwlkisclwwlklem2a 24608 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )  -> 
( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) )
7 eleq1 2539 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
f  e. Word  dom  E  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E ) )
8 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( # `
 f )  =  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) )
98oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
0 ... ( # `  f
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) )
109feq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) --> V ) )
118oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  f
) )  =  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) )
12 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
f `  i )  =  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )
1312fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( E `  ( f `  i ) )  =  ( E `  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) `  i
) ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( E `  (
f `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) `  i
) )  =  {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) } ) )
1511, 14raleqbidv 3077 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
167, 10, 153anbi123d 1299 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
178fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( P `  ( # `  f
) )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) )
1817eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  f
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) ) )
1916, 18anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  <->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) ( E `  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) `  i
) )  =  {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  <->  ( (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) ) )
2120adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  <->  ( (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) ) )
226, 21mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )  -> 
( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) ) )
233, 22spcimedv 3202 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  E. f ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   ifcif 3945   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   ran crn 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   2c2 10597   ...cfz 11684  ..^cfzo 11804   #chash 12385  Word cword 12515   lastS clsw 12516   USGrph cusg 24153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-hash 12386  df-word 12523  df-lsw 12524  df-usgra 24156
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem0  24611
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