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Theorem clwlkisclwwlklem2 30474
Description: Lemma for clwlkisclwwlk 30477. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  E. f ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, E, i    P, f, i    f, V, i

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6137 . . 3  |-  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  e.  _V
2 mptexg 5968 . . 3  |-  ( ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  e.  _V  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e.  _V )
31, 2mp1i 12 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e.  _V )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )
54clwlkisclwwlklem2a 30473 . . . 4  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) )
65adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )  -> 
( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) )
7 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
f  e. Word  dom  E  <->  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E ) )
8 fveq2 5712 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( # `
 f )  =  ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) )
98oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
0 ... ( # `  f
) )  =  ( 0 ... ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) )
109feq2d 5568 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  <->  P :
( 0 ... ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) --> V ) )
118oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
0..^ ( # `  f
) )  =  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) )
12 fveq1 5711 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
f `  i )  =  ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )
1312fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( E `  ( f `  i ) )  =  ( E `  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) `  i
) ) )
1413eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( E `  (
f `  i )
)  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  ( E `  ( ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) `  i
) )  =  {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) } ) )
1511, 14raleqbidv 2952 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) )
167, 10, 153anbi123d 1289 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  <->  ( (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } ) ) )
178fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  ( P `  ( # `  f
) )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) )
1817eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( P `  0
)  =  ( P `
 ( # `  f
) )  <->  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) ) )
1916, 18anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  <->  ( (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) ( E `  (
( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P )  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( (
# `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) `  i
) )  =  {
( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) ) ) ) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) )  ->  (
( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  <->  ( (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) ) )
2120adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )  -> 
( ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  <->  ( (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) )  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  (
x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ( E `
 ( ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  ( x  e.  ( 0..^ ( ( # `  P
)  -  1 ) )  |->  if ( x  <  ( ( # `  P )  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1
) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  0 ) } ) ) ) ) ) ) ) ) )
226, 21mpbird 232 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  f  =  ( x  e.  ( 0..^ ( (
# `  P )  -  1 ) ) 
|->  if ( x  < 
( ( # `  P
)  -  2 ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P `  ( x  +  1 ) ) } ) ,  ( `' E `  { ( P `  x ) ,  ( P ` 
0 ) } ) ) ) )  -> 
( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  -> 
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) ) )
233, 22spcimedv 3077 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  E. f ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993   ifcif 3812   {cpr 3900   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861   ran crn 4862   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616   2c2 10392   ...cfz 11458  ..^cfzo 11569   #chash 12124  Word cword 12242   lastS clsw 12243   USGrph cusg 23286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-hash 12125  df-word 12250  df-lsw 12251  df-usgra 23288
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlklem0  30476
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