MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkisclwwlklem0 Structured version   Unicode version

Theorem clwlkisclwwlklem0 24993
Description: Lemma for clwlkisclwwlk 24994. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwlkisclwwlklem0  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( E. f
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, E, i    P, f, i    f, V, i

Proof of Theorem clwlkisclwwlklem0
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  V USGrph  E )
2 simp1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  f  e. Word  dom  E )
32adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  f  e. Word  dom  E )
41, 3anim12i 564 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  -> 
( V USGrph  E  /\  f  e. Word  dom  E ) )
5 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  2  <_  ( # `
 P ) )
6 simpl2 998 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V )
75, 6anim12ci 565 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  -> 
( P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  2  <_  ( # `
 P ) ) )
8 simp3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )
98anim1i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 f ) ) ) )
109adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )
11 clwlkisclwwlklem1 24992 . . . . . 6  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  f  e. Word  dom  E )  /\  ( P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  P ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( P `
 0 )  =  ( P `  ( # `
 f ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
124, 7, 10, 11syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  -> 
( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  f
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 ( ( # `  f )  -  1 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) )
13 lencl 12552 . . . . . . . 8  |-  ( P  e. Word  V  ->  ( # `
 P )  e. 
NN0 )
14 lencl 12552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e. Word  dom  E  ->  (
# `  f )  e.  NN0 )
15 hashfzdm 12485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V )  ->  ( # `  P
)  =  ( (
# `  f )  +  1 ) )
16 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 )  ->  ( ( # `
 P )  - 
1 )  =  ( ( ( # `  f
)  +  1 )  -  1 ) )
1716oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 )  ->  ( (
( # `  P )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( ( # `  f )  +  1 )  -  1 )  -  0 ) )
18 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( # `  f
)  e.  CC )
19 peano2cn 9741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  f )  e.  CC  ->  ( ( # `
 f )  +  1 )  e.  CC )
20 peano2cnm 9876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  f
)  +  1 )  e.  CC  ->  (
( ( # `  f
)  +  1 )  -  1 )  e.  CC )
2118, 19, 203syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  f )  +  1 )  - 
1 )  e.  CC )
2221subid1d 9911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  f
)  +  1 )  -  1 )  - 
0 )  =  ( ( ( # `  f
)  +  1 )  -  1 ) )
23 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
2418, 23pncand 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  f )  +  1 )  - 
1 )  =  (
# `  f )
)
2522, 24eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( (
( ( # `  f
)  +  1 )  -  1 )  - 
0 )  =  (
# `  f )
)
2625adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( (
# `  f )  +  1 )  - 
1 )  -  0 )  =  ( # `  f ) )
2717, 26sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  (
( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  =  ( # `  f
) )
2827oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  (
( ( ( # `  P )  -  1 )  -  0 )  -  1 )  =  ( ( # `  f
)  -  1 ) )
2928oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) )  =  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) )
3029raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
31 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 )  ->  ( ( # `
 P )  - 
2 )  =  ( ( ( # `  f
)  +  1 )  -  2 ) )
32 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
3318, 32, 23subsub3d 9952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 f )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( ( # `  f
)  +  1 )  -  2 ) )
34 2m1e1 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 2  -  1 )  =  1
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( 2  -  1 )  =  1 )
3635oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 f )  -  ( 2  -  1 ) )  =  ( ( # `  f
)  -  1 ) )
3733, 36eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( (
( # `  f )  +  1 )  - 
2 )  =  ( ( # `  f
)  -  1 ) )
3837adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( # `  f )  +  1 )  -  2 )  =  ( ( # `  f )  -  1 ) )
3931, 38sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  (
( # `  P )  -  2 )  =  ( ( # `  f
)  -  1 ) )
4039fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  ( P `  ( ( # `
 P )  - 
2 ) )  =  ( P `  (
( # `  f )  -  1 ) ) )
4140preq1d 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  =  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) } )
4241eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  ( { ( P `  ( ( # `  P
)  -  2 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( P `  ( ( # `
 f )  - 
1 ) ) ,  ( P `  0
) }  e.  ran  E ) )
4330, 42anbi12d 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  (
( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E )  <->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  f
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 ( ( # `  f )  -  1 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
) ) )
4443anbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  (
( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
45 3anass 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  f
)  -  1 ) ) { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `
 ( ( # `  f )  -  1 ) ) ,  ( P `  0 ) }  e.  ran  E
)  <->  ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  f )  -  1 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )
4644, 45syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  ( # `  P )  e.  NN0 )  /\  ( # `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 ) )  ->  (
( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
4746expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 )  ->  ( (
( # `  f )  e.  NN0  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  ->  (
( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
4847expd 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  P )  =  ( ( # `  f )  +  1 )  ->  ( ( # `
 f )  e. 
NN0  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
4915, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  f
)  e.  NN0  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V )  ->  ( ( # `  f )  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5049ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  -> 
( ( # `  f
)  e.  NN0  ->  ( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
5150com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  f )  e.  NN0  ->  ( ( # `
 f )  e. 
NN0  ->  ( P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) ) )
5214, 14, 51sylc 60 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e. Word  dom  E  ->  ( P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  -> 
( ( # `  P
)  e.  NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) ) )
5352imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V )  ->  ( ( # `  P )  e.  NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
54533adant3 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
5554adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P ` 
0 )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
5613, 55syl5com 30 . . . . . . 7  |-  ( P  e. Word  V  ->  (
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  (
( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
57563ad2ant2 1016 . . . . . 6  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  (
( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
5857imp 427 . . . . 5  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  -> 
( ( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  f )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( ( # `  f
)  -  1 ) ) ,  ( P `
 0 ) }  e.  ran  E ) ) )
5912, 58mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  (
( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) )  -> 
( ( lastS  `  P
)  =  ( P `
 0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) )
6059ex 432 . . 3  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
6160exlimdv 1729 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( E. f
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  ->  (
( lastS  `  P )  =  ( P `  0
)  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( (
# `  P )  -  1 )  - 
0 )  -  1 ) ) { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  ( (
# `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
62 clwlkisclwwlklem2 24991 . 2  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) )  ->  E. f ( ( f  e. Word  dom  E  /\  P : ( 0 ... ( # `  f
) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f
) ) ( E `
 ( f `  i ) )  =  { ( P `  i ) ,  ( P `  ( i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) ) ) )
6361, 62impbid 191 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  P  e. Word  V  /\  2  <_  ( # `
 P ) )  ->  ( E. f
( ( f  e. Word  dom  E  /\  P :
( 0 ... ( # `
 f ) ) --> V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( # `  f ) ) ( E `  ( f `
 i ) )  =  { ( P `
 i ) ,  ( P `  (
i  +  1 ) ) } )  /\  ( P `  0 )  =  ( P `  ( # `  f ) ) )  <->  ( ( lastS  `  P )  =  ( P `  0 )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( ( ( # `  P
)  -  1 )  -  0 )  - 
1 ) ) { ( P `  i
) ,  ( P `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( P `  (
( # `  P )  -  2 ) ) ,  ( P ` 
0 ) }  e.  ran  E ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   A.wral 2804   {cpr 4018   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ran crn 4989   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9796   2c2 10581   NN0cn0 10791   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   lastS clsw 12522   USGrph cusg 24535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-lsw 12530  df-usgra 24538
This theorem is referenced by:  clwlkisclwwlk  24994
  Copyright terms: Public domain W3C validator