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Theorem clwlkfclwwlk 24520
Description: There is a function between the set of closed walks (defined as words) of length n and the set of closed walks of length n (in an undirected simple graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkfclwwlk.1  |-  A  =  ( 1st `  c
)
clwlkfclwwlk.2  |-  B  =  ( 2nd `  c
)
clwlkfclwwlk.c  |-  C  =  { c  e.  ( V ClWalks  E )  |  (
# `  A )  =  N }
clwlkfclwwlk.f  |-  F  =  ( c  e.  C  |->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkfclwwlk  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  F : C
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    E, c    N, c    V, c    C, c
Allowed substitution hints:    A( c)    B( c)    F( c)

Proof of Theorem clwlkfclwwlk
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkfclwwlk.c . . . . . 6  |-  C  =  { c  e.  ( V ClWalks  E )  |  (
# `  A )  =  N }
21rabeq2i 3110 . . . . 5  |-  ( c  e.  C  <->  ( c  e.  ( V ClWalks  E )  /\  ( # `  A
)  =  N ) )
3 clwlkfclwwlk.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( 1st `  c
)
4 clwlkfclwwlk.2 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( 2nd `  c
)
53, 4clwlkcompim 24440 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( V ClWalks  E
)  ->  ( ( A  e. Word  dom  E  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) ) )
6 lencl 12524 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Word  dom  E  ->  (
# `  A )  e.  NN0 )
7 clwlkfclwwlk.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( c  e.  C  |->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )
83, 4, 1, 7clwlkfclwwlk2wrd 24516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  C  ->  B  e. Word  V )
98ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  B  e. Word  V )
10 swrdcl 12605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V )
12 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  A  e. Word  dom  E )
13 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  V USGrph  E )
1412, 13anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( V USGrph  E  /\  A  e. Word  dom  E ) )
15 simp-5r 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )
16 prmuz2 14090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
17 hashfzdm 12460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  ->  ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 ) )
1817adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  ->  ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 ) )
19 eluz2 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) ) )
20 2re 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  2  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
22 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
23 peano2re 9748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  A )  e.  RR  ->  ( ( # `
 A )  +  1 )  e.  RR )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 A )  +  1 )  e.  RR )
2521, 22, 243jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( 2  e.  RR  /\  ( # `
 A )  e.  RR  /\  ( (
# `  A )  +  1 )  e.  RR ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  (
2  e.  RR  /\  ( # `  A )  e.  RR  /\  (
( # `  A )  +  1 )  e.  RR ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  2  <_  ( # `  A
) )
2822lep1d 10473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  1 ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( ( # `  A
)  +  1 ) )
30 letr 9674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  A )  e.  RR  /\  (
( # `  A )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( 2  <_  ( # `
 A )  /\  ( # `  A )  <_  ( ( # `  A )  +  1 ) )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
3130imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( ( # `  A
)  +  1 )  e.  RR )  /\  ( 2  <_  ( # `
 A )  /\  ( # `  A )  <_  ( ( # `  A )  +  1 ) ) )  -> 
2  <_  ( ( # `
 A )  +  1 ) )
3226, 27, 29, 31syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
33323adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
3419, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  2  <_  ( ( # `
 A )  +  1 ) )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
36 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3736eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
3837adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
39 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  B )  =  ( ( # `  A )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  B
)  <->  2  <_  (
( # `  A )  +  1 ) ) )
4039adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( 2  <_  ( # `
 B )  <->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
4135, 38, 403imtr4d 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
2  <_  ( # `  B
) ) )
4241ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  B )  =  ( ( # `  A )  +  1 )  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) ) )
4318, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( # `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E
)  /\  B :
( 0 ... ( # `
 A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( # `  A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) ) )
4544imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
2  <_  ( # `  B
) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) )
4716, 46syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) )
48473ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( (
( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) )
4948impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  2  <_  ( # `  B
) )
50 simp-4r 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )
51 clwlkisclwwlklem1 24463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  ( B :
( 0 ... ( # `
 A ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  B )  =  ( B `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
5214, 15, 49, 50, 51syl121anc 1233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( lastS  `  B )  =  ( B `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
533, 4, 1, 7clwlkfclwwlk1hash 24518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  C  ->  ( # `
 A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )
54 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  B  e. Word  V )
55 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
56 elfzelz 11684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
57 peano2zm 10902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 A )  - 
1 )  e.  ZZ )
58 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
5922lem1d 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 A )  - 
1 )  <_  ( # `
 A ) )
60 eluz2 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  - 
1 ) )  <->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) ) )
6157, 58, 59, 60syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
62 fzoss2 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  - 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  A )
) )
6356, 61, 623syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
6463sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
65643adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
66 swrd0fv 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i )  =  ( B `  i ) )
6754, 55, 65, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  i )  =  ( B `  i ) )
6867eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) )
69 elfzom1elp1fzo 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )
7056, 69sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
71703adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
72 swrd0fv 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( B `
 ( i  +  1 ) ) )
7372eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )  ->  ( B `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) )
7454, 55, 71, 73syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( B `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) )
7568, 74preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) } )
76753exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( B  e. Word  V  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) )  ->  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
7753, 8, 76sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  C  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  ->  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) } ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  e.  C  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  ->  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) } )
7978eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c  e.  C  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8079ralbidva 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  C  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8180ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
823, 4, 1, 7clwlkfclwwlk2sswd 24519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  C  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) )
8382oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  C  ->  (
( # `  A )  -  1 )  =  ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) )
8483ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( # `  A )  -  1 )  =  ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) )
8584oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) )
8685raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8781, 86bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
88 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  Prime 
<->  ( # `  A
)  e.  Prime )
)
8988biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  A
)  e.  Prime )
)
9089eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  A )  e.  Prime ) )
91 prmnn 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  A )  e.  Prime  ->  ( # `  A
)  e.  NN )
92 elfz2nn0 11764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
93 1z 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  1  e.  ZZ
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
95 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
9695adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( # `  B )  e.  ZZ )
97 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( # `  A )  e.  ZZ )
9994, 96, 983jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ ) )
100993adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ ) )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( # `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A
)  e.  ZZ ) )
102 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )
103 nnge1 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  1  <_  (
# `  A )
)
104102, 103anim12ci 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( # `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  <_ 
( # `  A )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
105101, 104jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( # `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( # `  A )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) ) )
10692, 105sylanb 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  ( # `
 A )  e.  NN )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  ( # `
 A )  /\  ( # `  A )  <_  ( # `  B
) ) ) )
107 elfz2 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A
)  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( # `  A )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) ) )
108106, 107sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  ( # `
 A )  e.  NN )  ->  ( # `
 A )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
109 swrd0fvlsw 12629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  ( B `  (
( # `  A )  -  1 ) ) )
110109eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B `  (
( # `  A )  -  1 ) )  =  ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) )
111 swrd0fv0 12626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
112111eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B `  0
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) )
113110, 112preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } )
114113expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  ->  ( B  e. Word  V  ->  { ( B `
 ( ( # `  A )  -  1 ) ) ,  ( B `  0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) )
115108, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  ( # `
 A )  e.  NN )  ->  ( B  e. Word  V  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
116115ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  A )  e.  NN  ->  ( B  e. Word  V  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) ) )
117116com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( B  e. Word  V  ->  ( ( # `  A )  e.  NN  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) ) )
11853, 8, 117sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  e.  C  ->  (
( # `  A )  e.  NN  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
11991, 118syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  A )  e.  Prime  ->  ( c  e.  C  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
12090, 119syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( N  e.  Prime  ->  ( c  e.  C  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) ) )
121120com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( N  e.  Prime  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) ) )
122121adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( c  e.  C  ->  ( N  e.  Prime  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) ) )
123122imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  ( N  e.  Prime  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
124123com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
1251243ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( (
( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
126125impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } )
127126eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
12887, 1273anbi23d 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( ( lastS  `  B
)  =  ( B `
 0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( B `
 ( ( # `  A )  -  1 ) ) ,  ( B `  0 ) }  e.  ran  E
)  <->  ( ( lastS  `  B
)  =  ( B `
 0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
12952, 128mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( lastS  `  B )  =  ( B `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( B substr  <.
0 ,  ( # `  A ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
130 3simpc 995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( lastS  `  B )  =  ( B ` 
0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
131129, 130syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
132 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )  e. Word  V  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
13311, 131, 132sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
134 usgrav 24014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
1351343ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
137 isclwwlk 24444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
139133, 138mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( V ClWWalks  E ) )
14082eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  C  ->  (
( # `  A )  =  N  <->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  =  N ) )
141140biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) )
142141adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( c  e.  C  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  =  N ) )
143142imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N )
144143adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N )
145139, 144jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) )
146134simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  V  e.  _V )
147146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  V  e. 
_V )
148134simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  E  e.  _V )
149148adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  E  e. 
_V )
150 prmnn 14075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
151150nnnn0d 10848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e. 
NN0 )
152151adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  N  e. 
NN0 )
153147, 149, 1523jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e. 
NN0 ) )
1541533adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  N  e.  NN0 ) )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e. 
NN0 ) )
156 isclwwlkn 24445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) ) )
158145, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
159158exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( c  e.  C  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) )
160159exp41 610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  ->  ( B :
( 0 ... ( # `
 A ) ) --> V  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <.
0 ,  ( # `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) ) ) ) ) )
1616, 160mpancom 669 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Word  dom  E  ->  ( B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) )  ->  (
( # `  A )  =  N  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) ) ) ) )
162161imp31 432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. Word  dom  E  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( # `  A )  =  N  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) ) )
1635, 162syl 16 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( V ClWalks  E
)  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <.
0 ,  ( # `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) ) ) )
164163imp 429 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  ( V ClWalks  E )  /\  ( # `
 A )  =  N )  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) )
1652, 164sylbi 195 . . . 4  |-  ( c  e.  C  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) )
166165pm2.43i 47 . . 3  |-  ( c  e.  C  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) ) )
167166impcom 430 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  /\  c  e.  C )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
168167, 7fmptd 6043 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  F : C
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1stc1st 6779   2ndc2nd 6780   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   #chash 12369  Word cword 12496   lastS clsw 12497   substr csubstr 12500   Primecprime 14072   USGrph cusg 24006   ClWalks cclwlk 24423   ClWWalks cclwwlk 24424   ClWWalksN cclwwlkn 24425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12370  df-word 12504  df-lsw 12505  df-substr 12508  df-dvds 13844  df-prm 14073  df-usgra 24009  df-wlk 24184  df-clwlk 24426  df-clwwlk 24427  df-clwwlkn 24428
This theorem is referenced by:  clwlkfoclwwlk  24521  clwlkf1clwwlk  24526
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