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Theorem clwlkfclwwlk 25651
Description: There is a function between the set of closed walks (defined as words) of length n and the set of closed walks of length n (in an undirected simple graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkfclwwlk.1  |-  A  =  ( 1st `  c
)
clwlkfclwwlk.2  |-  B  =  ( 2nd `  c
)
clwlkfclwwlk.c  |-  C  =  { c  e.  ( V ClWalks  E )  |  (
# `  A )  =  N }
clwlkfclwwlk.f  |-  F  =  ( c  e.  C  |->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )
Assertion
Ref Expression
clwlkfclwwlk  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  F : C
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )
Distinct variable groups:    E, c    N, c    V, c    C, c
Allowed substitution hints:    A( c)    B( c)    F( c)

Proof of Theorem clwlkfclwwlk
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkfclwwlk.c . . . . . 6  |-  C  =  { c  e.  ( V ClWalks  E )  |  (
# `  A )  =  N }
21rabeq2i 3028 . . . . 5  |-  ( c  e.  C  <->  ( c  e.  ( V ClWalks  E )  /\  ( # `  A
)  =  N ) )
3 clwlkfclwwlk.1 . . . . . . . 8  |-  A  =  ( 1st `  c
)
4 clwlkfclwwlk.2 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( 2nd `  c
)
53, 4clwlkcompim 25571 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  ( V ClWalks  E
)  ->  ( ( A  e. Word  dom  E  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) ) )
6 lencl 12737 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e. Word  dom  E  ->  (
# `  A )  e.  NN0 )
7 clwlkfclwwlk.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( c  e.  C  |->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )
83, 4, 1, 7clwlkfclwwlk2wrd 25647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  C  ->  B  e. Word  V )
98ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  B  e. Word  V )
10 swrdcl 12829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e. Word  V  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V )
12 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  A  e. Word  dom  E )
13 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  V USGrph  E )
1412, 13anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( V USGrph  E  /\  A  e. Word  dom  E ) )
15 simp-5r 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )
16 prmuz2 14721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
17 hashfzdm 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  ->  ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 ) )
1817adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  ->  ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 ) )
19 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) ) )
20 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  2  e.  RR
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
22 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  e.  RR )
23 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
# `  A )  e.  RR  ->  ( ( # `
 A )  +  1 )  e.  RR )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 A )  +  1 )  e.  RR )
2521, 22, 243jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( 2  e.  RR  /\  ( # `
 A )  e.  RR  /\  ( (
# `  A )  +  1 )  e.  RR ) )
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  (
2  e.  RR  /\  ( # `  A )  e.  RR  /\  (
( # `  A )  +  1 )  e.  RR ) )
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  2  <_  ( # `  A
) )
2822lep1d 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  <_  ( ( # `
 A )  +  1 ) )
2928adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  ( # `
 A )  <_ 
( ( # `  A
)  +  1 ) )
30 letr 9745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  A )  e.  RR  /\  (
( # `  A )  +  1 )  e.  RR )  ->  (
( 2  <_  ( # `
 A )  /\  ( # `  A )  <_  ( ( # `  A )  +  1 ) )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
3130imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  A
)  e.  RR  /\  ( ( # `  A
)  +  1 )  e.  RR )  /\  ( 2  <_  ( # `
 A )  /\  ( # `  A )  <_  ( ( # `  A )  +  1 ) ) )  -> 
2  <_  ( ( # `
 A )  +  1 ) )
3226, 27, 29, 31syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
33323adant1 1048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  2  <_  ( # `  A
) )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) )
3419, 33sylbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  2  <_  ( ( # `
 A )  +  1 ) )
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
36 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
3736eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
3837adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  <->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
39 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  B )  =  ( ( # `  A )  +  1 )  ->  ( 2  <_  ( # `  B
)  <->  2  <_  (
( # `  A )  +  1 ) ) )
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( 2  <_  ( # `
 B )  <->  2  <_  ( ( # `  A
)  +  1 ) ) )
4135, 38, 403imtr4d 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  B
)  =  ( (
# `  A )  +  1 )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
2  <_  ( # `  B
) ) )
4241ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  B )  =  ( ( # `  A )  +  1 )  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) ) )
4318, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) ) )
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( # `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E
)  /\  B :
( 0 ... ( # `
 A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( # `  A )  =  N  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) ) )
4544imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
2  <_  ( # `  B
) ) )
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  ( N  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) )
4716, 46syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) )
48473ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( (
( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  2  <_  ( # `  B
) ) )
4948impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  2  <_  ( # `  B
) )
50 simp-4r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )
51 clwlkisclwwlklem1 25594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  ( B :
( 0 ... ( # `
 A ) ) --> V  /\  2  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( lastS  `  B )  =  ( B `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
5214, 15, 49, 50, 51syl121anc 1297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( lastS  `  B )  =  ( B `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  e.  ran  E ) )
533, 4, 1, 7clwlkfclwwlk1hash 25649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( c  e.  C  ->  ( # `
 A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) ) )
54 simp2 1031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  B  e. Word  V )
55 simp1 1030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) ) )
56 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
57 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 A )  - 
1 )  e.  ZZ )
58 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
5922lem1d 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 A )  - 
1 )  <_  ( # `
 A ) )
60 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  - 
1 ) )  <->  ( (
( # `  A )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ  /\  ( ( # `  A
)  -  1 )  <_  ( # `  A
) ) )
6157, 58, 59, 60syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( # `  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )
62 fzoss2 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( ( # `
 A )  - 
1 ) )  -> 
( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) 
C_  ( 0..^ (
# `  A )
) )
6356, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  C_  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
6463sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
65643adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) )
66 swrd0fv 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )  ->  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i )  =  ( B `  i ) )
6754, 55, 65, 66syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  i )  =  ( B `  i ) )
6867eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) )
69 elfzom1elp1fzo 12010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  ->  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )
7056, 69sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
71703adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) )
72 swrd0fv 12849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( B `
 ( i  +  1 ) ) )
7372eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  A )
) )  ->  ( B `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) )
7454, 55, 71, 73syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  ( B `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) )
7568, 74preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  B  e. Word  V  /\  i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) ) )  ->  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) } )
76753exp 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( B  e. Word  V  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( (
# `  A )  -  1 ) )  ->  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) } ) ) )
7753, 8, 76sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  C  ->  (
i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) )  ->  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) } ) )
7877imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( c  e.  C  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  ->  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  =  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  (
i  +  1 ) ) } )
7978eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( c  e.  C  /\  i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) )  ->  ( { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8079ralbidva 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  C  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8180ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
823, 4, 1, 7clwlkfclwwlk2sswd 25650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  C  ->  ( # `
 A )  =  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) )
8382oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( c  e.  C  ->  (
( # `  A )  -  1 )  =  ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) )
8483ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( # `  A )  -  1 )  =  ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) )
8584oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) )
8685raleqdv 2979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8781, 86bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  A )  -  1 ) ) { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
88 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  Prime 
<->  ( # `  A
)  e.  Prime )
)
8988biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  =  ( # `  A
)  ->  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  A
)  e.  Prime )
)
9089eqcoms 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  A )  e.  Prime ) )
91 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
# `  A )  e.  Prime  ->  ( # `  A
)  e.  NN )
92 elfz2nn0 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) ) )
93 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
1  e.  ZZ )
94 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  B )  e.  NN0  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( # `  B )  e.  ZZ )
96 nn0z 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  A )  e.  NN0  ->  ( # `  A
)  e.  ZZ )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( # `  A )  e.  ZZ )
9893, 95, 973jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0 )  -> 
( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ ) )
99983adant3 1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ ) )
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( # `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A
)  e.  ZZ ) )
101 simp3 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  ->  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) )
102 nnge1 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
# `  A )  e.  NN  ->  1  <_  (
# `  A )
)
103101, 102anim12ci 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( # `  A )  e.  NN )  ->  ( 1  <_ 
( # `  A )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) )
104100, 103jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  ( # `  B )  e.  NN0  /\  ( # `
 A )  <_ 
( # `  B ) )  /\  ( # `  A )  e.  NN )  ->  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `
 B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( # `  A )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) ) )
10592, 104sylanb 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  ( # `
 A )  e.  NN )  ->  (
( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B
)  e.  ZZ  /\  ( # `  A )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  ( # `
 A )  /\  ( # `  A )  <_  ( # `  B
) ) ) )
106 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  <-> 
( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ  /\  ( # `  A
)  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( # `  A )  /\  ( # `  A
)  <_  ( # `  B
) ) ) )
107105, 106sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  ( # `
 A )  e.  NN )  ->  ( # `
 A )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
108 swrd0fvlsw 12853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  ( B `  (
( # `  A )  -  1 ) ) )
109108eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B `  (
( # `  A )  -  1 ) )  =  ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) )
110 swrd0fv0 12850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
)  =  ( B `
 0 ) )
111110eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( B `  0
)  =  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) )
112109, 111preq12d 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( B  e. Word  V  /\  ( # `  A )  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } )
113112expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  ->  ( B  e. Word  V  ->  { ( B `
 ( ( # `  A )  -  1 ) ) ,  ( B `  0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) )
114107, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ( 0 ... ( # `  B
) )  /\  ( # `
 A )  e.  NN )  ->  ( B  e. Word  V  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
115114ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( ( # `  A )  e.  NN  ->  ( B  e. Word  V  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) ) )
116115com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
# `  A )  e.  ( 0 ... ( # `
 B ) )  ->  ( B  e. Word  V  ->  ( ( # `  A )  e.  NN  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) ) )
11753, 8, 116sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  e.  C  ->  (
( # `  A )  e.  NN  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
11891, 117syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
# `  A )  e.  Prime  ->  ( c  e.  C  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
11990, 118syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( N  e.  Prime  ->  ( c  e.  C  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) ) )
120119com23 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( N  e.  Prime  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) ) )
121120adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( c  e.  C  ->  ( N  e.  Prime  ->  { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) } ) ) )
122121imp 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  ( N  e.  Prime  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
123122com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
1241233ad2ant3 1053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( (
( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } ) )
125124impcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  { ( B `  ( (
# `  A )  -  1 ) ) ,  ( B ` 
0 ) }  =  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  0 ) } )
126125eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( { ( B `  ( ( # `  A
)  -  1 ) ) ,  ( B `
 0 ) }  e.  ran  E  <->  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
12787, 1263anbi23d 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( ( lastS  `  B
)  =  ( B `
 0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  A
)  -  1 ) ) { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( B `
 ( ( # `  A )  -  1 ) ) ,  ( B `  0 ) }  e.  ran  E
)  <->  ( ( lastS  `  B
)  =  ( B `
 0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
12852, 127mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( lastS  `  B )  =  ( B `  0
)  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( B substr  <.
0 ,  ( # `  A ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  i ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
129 3simpc 1029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( lastS  `  B )  =  ( B ` 
0 )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
131 3anass 1011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A ) >. )  e. Word  V  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
13211, 130, 131sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  - 
1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) )
133 usgrav 25144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V ) )
1341333ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V ) )
135134adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V ) )
136 isclwwlk 25575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  -  1 ) ) { ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  i
) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  /\  { ( lastS  `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) ) ,  ( ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) `  0
) }  e.  ran  E ) ) )
138132, 137mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( V ClWWalks  E ) )
13982eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  C  ->  (
( # `  A )  =  N  <->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  =  N ) )
140139biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) )
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( c  e.  C  ->  ( # `  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. ) )  =  N ) )
142141imp 436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  ->  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N )
143142adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N )
144138, 143jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) )
145133simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  V  e.  _V )
146145adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  V  e. 
_V )
147133simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( V USGrph  E  ->  E  e.  _V )
148147adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  E  e. 
_V )
149 prmnn 14704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
150149nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e. 
NN0 )
151150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  N  e. 
NN0 )
152146, 148, 1513jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V USGrph  E  /\  N  e. 
Prime )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e. 
NN0 ) )
1531523adant2 1049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  N  e.  NN0 ) )
154153adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e. 
NN0 ) )
155 isclwwlkn 25576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) ) )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  (
( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( V ClWWalks  E )  /\  ( # `
 ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. ) )  =  N ) ) )
157144, 156mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  /\  ( # `
 A )  =  N )  /\  c  e.  C )  /\  ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime ) )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
158157exp31 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
# `  A )  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  /\  B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) ) )  /\  ( # `  A )  =  N )  -> 
( c  e.  C  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) )
159158exp41 621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN0  /\  A  e. Word  dom  E )  ->  ( B :
( 0 ... ( # `
 A ) ) --> V  ->  ( ( A. i  e.  (
0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <.
0 ,  ( # `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) ) ) ) ) )
1606, 159mpancom 682 . . . . . . . 8  |-  ( A  e. Word  dom  E  ->  ( B : ( 0 ... ( # `  A
) ) --> V  -> 
( ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A ) ) ( E `  ( A `
 i ) )  =  { ( B `
 i ) ,  ( B `  (
i  +  1 ) ) }  /\  ( B `  0 )  =  ( B `  ( # `  A ) ) )  ->  (
( # `  A )  =  N  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) ) ) ) )
161160imp31 439 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e. Word  dom  E  /\  B : ( 0 ... ( # `  A ) ) --> V )  /\  ( A. i  e.  ( 0..^ ( # `  A
) ) ( E `
 ( A `  i ) )  =  { ( B `  i ) ,  ( B `  ( i  +  1 ) ) }  /\  ( B `
 0 )  =  ( B `  ( # `
 A ) ) ) )  ->  (
( # `  A )  =  N  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) ) )
1625, 161syl 17 . . . . . 6  |-  ( c  e.  ( V ClWalks  E
)  ->  ( ( # `
 A )  =  N  ->  ( c  e.  C  ->  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <.
0 ,  ( # `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) ) ) ) )
163162imp 436 . . . . 5  |-  ( ( c  e.  ( V ClWalks  E )  /\  ( # `
 A )  =  N )  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) )
1642, 163sylbi 200 . . . 4  |-  ( c  e.  C  ->  (
c  e.  C  -> 
( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  ( # `  A
) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N ) ) ) )
165164pm2.43i 48 . . 3  |-  ( c  e.  C  ->  (
( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) ) )
166165impcom 437 . 2  |-  ( ( ( V USGrph  E  /\  V  e.  Fin  /\  N  e.  Prime )  /\  c  e.  C )  ->  ( B substr  <. 0 ,  (
# `  A ) >. )  e.  ( ( V ClWWalksN  E ) `  N
) )
167166, 7fmptd 6061 1  |-  ( ( V USGrph  E  /\  V  e. 
Fin  /\  N  e.  Prime )  ->  F : C
--> ( ( V ClWWalksN  E ) `
 N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {cpr 3961   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   #chash 12553  Word cword 12703   lastS clsw 12704   substr csubstr 12707   Primecprime 14701   USGrph cusg 25136   ClWalks cclwlk 25554   ClWWalks cclwwlk 25555   ClWWalksN cclwwlkn 25556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-substr 12715  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-usgra 25139  df-wlk 25315  df-clwlk 25557  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559
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