Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkf1clwwlk Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem clwlkf1clwwlk 25657
 Description: There is a one-to-one function between the set of closed walks (defined as words) of length n and the set of closed walks of length n (in an undirected simple graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkfclwwlk.1
clwlkfclwwlk.2
clwlkfclwwlk.c ClWalks
clwlkfclwwlk.f substr
Assertion
Ref Expression
clwlkf1clwwlk USGrph ClWWalksN
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem clwlkf1clwwlk
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwlkfclwwlk.1 . . 3
2 clwlkfclwwlk.2 . . 3
3 clwlkfclwwlk.c . . 3 ClWalks
4 clwlkfclwwlk.f . . 3 substr
51, 2, 3, 4clwlkfclwwlk 25651 . 2 USGrph ClWWalksN
6 simprl 772 . . . . . 6 USGrph
7 ovex 6336 . . . . . 6 substr
8 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
92, 8syl5eq 2517 . . . . . . . 8
10 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
111, 10syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
1211fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
1312opeq2d 4165 . . . . . . . 8
149, 13oveq12d 6326 . . . . . . 7 substr substr
1514, 4fvmptg 5961 . . . . . 6 substr substr
166, 7, 15sylancl 675 . . . . 5 USGrph substr
17 simpr 468 . . . . . . . 8
18 ovex 6336 . . . . . . . 8 substr
1917, 18jctir 547 . . . . . . 7 substr
2019adantl 473 . . . . . 6 USGrph substr
21 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
222, 21syl5eq 2517 . . . . . . . 8
23 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
241, 23syl5eq 2517 . . . . . . . . . 10
2524fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
2625opeq2d 4165 . . . . . . . 8
2722, 26oveq12d 6326 . . . . . . 7 substr substr
2827, 4fvmptg 5961 . . . . . 6 substr substr
2920, 28syl 17 . . . . 5 USGrph substr
3016, 29eqeq12d 2486 . . . 4 USGrph substr substr
311, 2, 3, 4clwlkfclwwlk1hashn 25648 . . . . . . . . 9
3231eqcomd 2477 . . . . . . . 8
3332adantl 473 . . . . . . 7
3433ad2antlr 741 . . . . . 6 USGrph substr substr
35 prmnn 14704 . . . . . . . . . 10
36353ad2ant3 1053 . . . . . . . . 9 USGrph
3736adantr 472 . . . . . . . 8 USGrph
3817adantl 473 . . . . . . . 8 USGrph
391, 2, 3, 4clwlkf1clwwlklem 25656 . . . . . . . 8 substr substr
4037, 6, 38, 39syl3anc 1292 . . . . . . 7 USGrph substr substr
4140imp 436 . . . . . 6 USGrph substr substr
42 simpll1 1069 . . . . . . 7 USGrph substr substr USGrph
43 elrabi 3181 . . . . . . . . . . 11 ClWalks ClWalks
44 clwlkswlks 25565 . . . . . . . . . . 11 ClWalks Walks
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 ClWalks Walks
4645, 3eleq2s 2567 . . . . . . . . 9 Walks
47 elrabi 3181 . . . . . . . . . . 11 ClWalks ClWalks
48 clwlkswlks 25565 . . . . . . . . . . 11 ClWalks Walks
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 ClWalks Walks
5049, 3eleq2s 2567 . . . . . . . . 9 Walks
5146, 50anim12i 576 . . . . . . . 8 Walks Walks
5251ad2antlr 741 . . . . . . 7 USGrph substr substr Walks Walks
531, 2, 3, 4clwlkfclwwlk1hashn 25648 . . . . . . . . . 10
5453eqcomd 2477 . . . . . . . . 9
5554adantr 472 . . . . . . . 8
5655ad2antlr 741 . . . . . . 7 USGrph substr substr
57 usg2wlkeq 25515 . . . . . . 7 USGrph Walks Walks
5842, 52, 56, 57syl3anc 1292 . . . . . 6 USGrph substr substr
5934, 41, 58mpbir2and 936 . . . . 5 USGrph substr substr
6059ex 441 . . . 4 USGrph substr substr
6130, 60sylbid 223 . . 3 USGrph
6261ralrimivva 2814 . 2 USGrph
63 dff13 6177 . 2 ClWWalksN ClWWalksN
645, 62, 63sylanbrc 677 1 USGrph ClWWalksN
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  crab 2760  cvv 3031  cop 3965   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  wf1 5586  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1st 6810  c2nd 6811  cfn 7587  cc0 9557  cn 10631  cfz 11810  chash 12553   substr csubstr 12707  cprime 14701   USGrph cusg 25136   Walks cwalk 25305   ClWalks cclwlk 25554   ClWWalksN cclwwlkn 25556 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-lsw 12712  df-substr 12715  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-usgra 25139  df-wlk 25315  df-clwlk 25557  df-clwwlk 25558  df-clwwlkn 25559 This theorem is referenced by:  clwlkf1oclwwlk  25658
 Copyright terms: Public domain W3C validator