Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwlkcompim Structured version   Unicode version

Theorem clwlkcompim 25328
 Description: Implications for the properties of the components of a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwlkcomp.1
clwlkcomp.2
Assertion
Ref Expression
clwlkcompim ClWalks Word ..^
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem clwlkcompim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-clwlk 25314 . . . 4 ClWalks Walks
2 vex 3090 . . . . 5
3 vex 3090 . . . . 5
4 clwlk 25317 . . . . . 6 ClWalks Walks
5 ovex 6333 . . . . . 6 ClWalks
64, 5syl6eqelr 2526 . . . . 5 Walks
72, 3, 6mp2an 676 . . . 4 Walks
8 oveq12 6314 . . . . . . 7 Walks Walks
98breqd 4437 . . . . . 6 Walks Walks
109anbi1d 709 . . . . 5 Walks Walks
1110opabbidv 4489 . . . 4 Walks Walks
121, 7, 11elovmpt2 6528 . . 3 ClWalks Walks
13 elopaelxp 4927 . . . 4 Walks
14 clwlkcomp.1 . . . . . 6
15 clwlkcomp.2 . . . . . 6
1614, 15clwlkcomp 25327 . . . . 5 ClWalks Word ..^
1716biimpd 210 . . . 4 ClWalks Word ..^
1813, 17syl3an3 1299 . . 3 Walks ClWalks Word ..^
1912, 18sylbi 198 . 2 ClWalks ClWalks Word ..^
2019pm2.43i 49 1 ClWalks Word ..^
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cvv 3087  cpr 4004   class class class wbr 4426  copab 4483   cxp 4852   cdm 4854  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  c1st 6805  c2nd 6806  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541  cfz 11782  ..^cfzo 11913  chash 12512  Word cword 12643   Walks cwalk 25062   ClWalks cclwlk 25311 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-hash 12513  df-word 12651  df-wlk 25072  df-clwlk 25314 This theorem is referenced by:  clwlkfclwwlk2wrd  25404  clwlkfclwwlk1hash  25406  clwlkfclwwlk  25408  clwlkf1clwwlklem1  25410  clwlkf1clwwlklem2  25411  clwlkf1clwwlklem3  25412
 Copyright terms: Public domain W3C validator