Theorem clsval2 20065

Description: Express closure in terms of interior. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsval2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Proof of Theorem clsval2

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2746	. . . . . 6 |- { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) }
2		clscld.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
3	2	cldopn 20046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ z ) e. J )
4	3	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. J )
5		sscon 3567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ z -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
6	5	ad2antll 735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
7	2	topopn 19936	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> X e. J )
8		difexg 4551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. J -> ( X \ z ) e. _V )
9		elpwg 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X \ z ) e. _V -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
11	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
12	6, 11	mpbird 236	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) )
13	4, 12	elind 3618	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
14	2	cldss 20044	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> z C_ X )
15	14	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z C_ X )
16		dfss4 3677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
17	15, 16	sylib 200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
18	17	eqcomd 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z = ( X \ ( X \ z ) ) )
19		difeq2 3545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X \ z ) -> ( X \ x ) = ( X \ ( X \ z ) ) )
20	19	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( X \ z ) -> ( z = ( X \ x ) <-> z = ( X \ ( X \ z ) ) ) )
21	20	rspcev 3150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) /\ z = ( X \ ( X \ z ) ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
22	13, 18, 21	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
23	22	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
24		simpl 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> J e. Top )
25		elin 3617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P ( X \ S ) ) )
26	25	simplbi 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. J )
27	2	opncld 20048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
28	24, 26, 27	syl2an 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
29	25	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
30	29	adantl 468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
31	30	elpwid 3961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ ( X \ S ) )
32	31	difss2d 3563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ X )
33		simplr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ X )
34		ssconb 3566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ X /\ S C_ X ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
36	31, 35	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ ( X \ x ) )
37	28, 36	jca 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) )
38		eleq1 2517	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
39		sseq2 3454	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( S C_ z <-> S C_ ( X \ x ) ) )
40	38, 39	anbi12d 717	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( X \ x ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) ) )
41	37, 40	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
42	41	rexlimdva 2879	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
43	23, 42	impbid 194	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
44	43	abbidv 2569	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
45	1, 44	syl5eq 2497	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
46	45	inteqd 4239	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
47		difexg 4551	. . . . . . 7 |- ( X e. J -> ( X \ x ) e. _V )
48	47	ralrimivw 2803	. . . . . 6 |- ( X e. J -> A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V )
49		dfiin2g 4311	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
50	7, 48, 49	3syl 18	. . . . 5 |- ( J e. Top -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
51	50	adantr 467	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
52	46, 51	eqtr4d 2488	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
53	2	clsval 20052	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } )
54		uniiun 4331	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) = U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x
55	54	difeq2i 3548	. . . . 5 |- ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x )
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
57		0opn 19934	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
58	57	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. J )
59		0elpw 4572	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P ( X \ S )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ~P ( X \ S ) )
61	58, 60	elind 3618	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
62		ne0i 3737	. . . . 5 |- ( (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) )
63		iindif2 4347	. . . . 5 |- ( ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
65	56, 64	eqtr4d 2488	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
66	52, 53, 65	3eqtr4d 2495	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
67		difssd 3561	. . . 4 |- ( S C_ X -> ( X \ S ) C_ X )
68	2	ntrval 20051	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ S ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
69	67, 68	sylan2 477	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
70	69	difeq2d 3551	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2488	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   {cab 2437   =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045   \ cdif 3401   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   U.cuni 4198   |^|cint 4234   U_ciun 4278   |^|_ciin 4279   ` cfv 5582   Topctop 19917   Clsdccld 20031   intcnt 20032   clsccl 20033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-top 19921  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036

This theorem is referenced by:  ntrval2  20066  clsdif  20068  cmclsopn  20077  bcth3  22299