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Theorem clsval2 20142
Description: Express closure in terms of interior. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsval2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) )

Proof of Theorem clsval2
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2765 . . . . . 6  |-  { z  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  z }  =  {
z  |  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
) }
2 clscld.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
32cldopn 20123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( X  \  z )  e.  J
)
43ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  e.  J
)
5 sscon 3556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  z  ->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) )
65ad2antll 743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) )
72topopn 20013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
8 difexg 4545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  J  ->  ( X  \  z )  e. 
_V )
9 elpwg 3950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  \  z )  e.  _V  ->  (
( X  \  z
)  e.  ~P ( X  \  S )  <->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) ) )
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( X  \  z
)  e.  ~P ( X  \  S )  <->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) ) )
1110ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( ( X  \  z )  e. 
~P ( X  \  S )  <->  ( X  \  z )  C_  ( X  \  S ) ) )
126, 11mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  e.  ~P ( X  \  S ) )
134, 12elind 3609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  z )  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) )
142cldss 20121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  ->  z  C_  X )
1514ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  z  C_  X )
16 dfss4 3668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z 
C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  z )
1715, 16sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  ( X  \  ( X  \  z
) )  =  z )
1817eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  z  =  ( X  \  ( X  \  z ) ) )
19 difeq2 3534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X  \ 
z )  ->  ( X  \  x )  =  ( X  \  ( X  \  z ) ) )
2019eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X  \ 
z )  ->  (
z  =  ( X 
\  x )  <->  z  =  ( X  \  ( X  \  z ) ) ) )
2120rspcev 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  \  z
)  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) )  /\  z  =  ( X  \  ( X 
\  z ) ) )  ->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) )
2213, 18, 21syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  ( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) )  ->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) )
2322ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
)  ->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) ) )
24 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  J  e.  Top )
25 elin 3608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) )  <->  ( x  e.  J  /\  x  e.  ~P ( X  \  S ) ) )
2625simplbi 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) )  ->  x  e.  J )
272opncld 20125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  x  e.  J )  ->  ( X  \  x
)  e.  ( Clsd `  J ) )
2824, 26, 27syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
)
2925simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) )  ->  x  e.  ~P ( X  \  S ) )
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  x  e.  ~P ( X  \  S
) )
3130elpwid 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  x  C_  ( X  \  S ) )
3231difss2d 3552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  x  C_  X
)
33 simplr 770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  S  C_  X
)
34 ssconb 3555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  X  /\  S  C_  X )  -> 
( x  C_  ( X  \  S )  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
3532, 33, 34syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( x  C_  ( X  \  S
)  <->  S  C_  ( X 
\  x ) ) )
3631, 35mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  S  C_  ( X  \  x ) )
3728, 36jca 541 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( ( X  \  x )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  ( X  \  x ) ) )
38 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
z  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )
) )
39 sseq2 3440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  ( S  C_  z  <->  S  C_  ( X  \  x ) ) )
4038, 39anbi12d 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
( z  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  z )  <-> 
( ( X  \  x )  e.  (
Clsd `  J )  /\  S  C_  ( X 
\  x ) ) ) )
4137, 40syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  /\  x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) )  ->  ( z  =  ( X  \  x )  ->  (
z  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) ) )
4241rexlimdva 2871 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x )  ->  ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
) ) )
4323, 42impbid 195 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( z  e.  ( Clsd `  J
)  /\  S  C_  z
)  <->  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X 
\  x ) ) )
4443abbidv 2589 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  { z  |  ( z  e.  ( Clsd `  J )  /\  S  C_  z ) }  =  { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
451, 44syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  { z  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  z }  =  { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X 
\  x ) } )
4645inteqd 4231 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^| { z  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  z }  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
47 difexg 4545 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  J  ->  ( X  \  x )  e. 
_V )
4847ralrimivw 2810 . . . . . 6  |-  ( X  e.  J  ->  A. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  e.  _V )
49 dfiin2g 4302 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  e.  _V  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
507, 48, 493syl 18 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
5150adantr 472 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) ( X  \  x
)  =  |^| { z  |  E. x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) z  =  ( X  \  x ) } )
5246, 51eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^| { z  e.  (
Clsd `  J )  |  S  C_  z }  =  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x
) )
532clsval 20129 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { z  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  z } )
54 uniiun 4322 . . . . . 6  |-  U. ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) )  =  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x
5554difeq2i 3537 . . . . 5  |-  ( X 
\  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )  =  ( X  \  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x )
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) )  =  ( X 
\  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x ) )
57 0opn 20011 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
5857adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (/) 
e.  J )
59 0elpw 4570 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  ~P ( X  \  S )
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (/) 
e.  ~P ( X  \  S ) )
6158, 60elind 3609 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  (/) 
e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )
62 ne0i 3728 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) )  ->  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) )  =/=  (/) )
63 iindif2 4338 . . . . 5  |-  ( ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) )  =/=  (/)  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x )  =  ( X  \  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x ) )
6461, 62, 633syl 18 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  ->  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X 
\  S ) ) ( X  \  x
)  =  ( X 
\  U_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) x ) )
6556, 64eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) )  =  |^|_ x  e.  ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ( X  \  x ) )
6652, 53, 653eqtr4d 2515 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  ( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ) )
67 difssd 3550 . . . 4  |-  ( S 
C_  X  ->  ( X  \  S )  C_  X )
682ntrval 20128 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  S ) 
C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) )  = 
U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )
6967, 68sylan2 482 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) )  = 
U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S
) ) )
7069difeq2d 3540 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( X  \  (
( int `  J
) `  ( X  \  S ) ) )  =  ( X  \  U. ( J  i^i  ~P ( X  \  S ) ) ) )
7166, 70eqtr4d 2508 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  ( X  \ 
( ( int `  J
) `  ( X  \  S ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|cint 4226   U_ciun 4269   |^|_ciin 4270   ` cfv 5589   Topctop 19994   Clsdccld 20108   intcnt 20109   clsccl 20110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-top 19998  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113
This theorem is referenced by:  ntrval2  20143  clsdif  20145  cmclsopn  20154  bcth3  22377
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