Theorem clsval2 19345

Description: Express closure in terms of interior. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsval2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Proof of Theorem clsval2

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2823	. . . . . 6 |- { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) }
2		clscld.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
3	2	cldopn 19326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ z ) e. J )
4	3	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. J )
5		sscon 3638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ z -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
6	5	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
7	2	topopn 19210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> X e. J )
8		difexg 4595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. J -> ( X \ z ) e. _V )
9		elpwg 4018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X \ z ) e. _V -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
10	7, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
12	6, 11	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) )
13	4, 12	elind 3688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
14	2	cldss 19324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> z C_ X )
15	14	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z C_ X )
16		dfss4 3732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
17	15, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
18	17	eqcomd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z = ( X \ ( X \ z ) ) )
19		difeq2 3616	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X \ z ) -> ( X \ x ) = ( X \ ( X \ z ) ) )
20	19	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( X \ z ) -> ( z = ( X \ x ) <-> z = ( X \ ( X \ z ) ) ) )
21	20	rspcev 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) /\ z = ( X \ ( X \ z ) ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
22	13, 18, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
23	22	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
24		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> J e. Top )
25		elin 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P ( X \ S ) ) )
26	25	simplbi 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. J )
27	2	opncld 19328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
28	24, 26, 27	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
29	25	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
30	29	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
31	30	elpwid 4020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ ( X \ S ) )
32	31	difss2d 3634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ X )
33		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ X )
34		ssconb 3637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ X /\ S C_ X ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
36	31, 35	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ ( X \ x ) )
37	28, 36	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) )
38		eleq1 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
39		sseq2 3526	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( S C_ z <-> S C_ ( X \ x ) ) )
40	38, 39	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( X \ x ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) ) )
41	37, 40	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
42	41	rexlimdva 2955	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
43	23, 42	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
44	43	abbidv 2603	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
45	1, 44	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
46	45	inteqd 4287	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
47		difexg 4595	. . . . . . 7 |- ( X e. J -> ( X \ x ) e. _V )
48	47	ralrimivw 2879	. . . . . 6 |- ( X e. J -> A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V )
49		dfiin2g 4358	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
50	7, 48, 49	3syl 20	. . . . 5 |- ( J e. Top -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
51	50	adantr 465	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
52	46, 51	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
53	2	clsval 19332	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } )
54		uniiun 4378	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) = U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x
55	54	difeq2i 3619	. . . . 5 |- ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x )
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
57		0opn 19208	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
58	57	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. J )
59		0elpw 4616	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P ( X \ S )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ~P ( X \ S ) )
61	58, 60	elind 3688	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
62		ne0i 3791	. . . . 5 |- ( (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) )
63		iindif2 4394	. . . . 5 |- ( ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
64	61, 62, 63	3syl 20	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
65	56, 64	eqtr4d 2511	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
66	52, 53, 65	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
67		difssd 3632	. . . 4 |- ( S C_ X -> ( X \ S ) C_ X )
68	2	ntrval 19331	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ S ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
69	67, 68	sylan2 474	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
70	69	difeq2d 3622	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2511	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   |^|cint 4282   U_ciun 4325   |^|_ciin 4326   ` cfv 5588   Topctop 19189   Clsdccld 19311   intcnt 19312   clsccl 19313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-top 19194  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316

This theorem is referenced by:  ntrval2  19346  clsdif  19348  cmclsopn  19357  bcth3  21533