Theorem clsval2 18654

Description: Express closure in terms of interior. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsval2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Proof of Theorem clsval2

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2724	. . . . . 6 |- { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) }
2		clscld.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
3	2	cldopn 18635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ z ) e. J )
4	3	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. J )
5		sscon 3490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ z -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
6	5	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
7	2	topopn 18519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> X e. J )
8		difexg 4440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. J -> ( X \ z ) e. _V )
9		elpwg 3868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X \ z ) e. _V -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
10	7, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
11	10	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
12	6, 11	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) )
13	4, 12	elind 3540	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
14	2	cldss 18633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> z C_ X )
15	14	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z C_ X )
16		dfss4 3584	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
17	15, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
18	17	eqcomd 2448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z = ( X \ ( X \ z ) ) )
19		difeq2 3468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X \ z ) -> ( X \ x ) = ( X \ ( X \ z ) ) )
20	19	eqeq2d 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( X \ z ) -> ( z = ( X \ x ) <-> z = ( X \ ( X \ z ) ) ) )
21	20	rspcev 3073	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) /\ z = ( X \ ( X \ z ) ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
22	13, 18, 21	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
23	22	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
24		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> J e. Top )
25		elin 3539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P ( X \ S ) ) )
26	25	simplbi 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. J )
27	2	opncld 18637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
28	24, 26, 27	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
29	25	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
30	29	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
31	30	elpwid 3870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ ( X \ S ) )
32	31	difss2d 3486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ X )
33		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ X )
34		ssconb 3489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ X /\ S C_ X ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
36	31, 35	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ ( X \ x ) )
37	28, 36	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) )
38		eleq1 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
39		sseq2 3378	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( S C_ z <-> S C_ ( X \ x ) ) )
40	38, 39	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( X \ x ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) ) )
41	37, 40	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
42	41	rexlimdva 2841	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
43	23, 42	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
44	43	abbidv 2557	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
45	1, 44	syl5eq 2487	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
46	45	inteqd 4133	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
47		difexg 4440	. . . . . . 7 |- ( X e. J -> ( X \ x ) e. _V )
48	47	ralrimivw 2800	. . . . . 6 |- ( X e. J -> A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V )
49		dfiin2g 4203	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
50	7, 48, 49	3syl 20	. . . . 5 |- ( J e. Top -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
51	50	adantr 465	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
52	46, 51	eqtr4d 2478	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
53	2	clsval 18641	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } )
54		uniiun 4223	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) = U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x
55	54	difeq2i 3471	. . . . 5 |- ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x )
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
57		0opn 18517	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
58	57	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. J )
59		0elpw 4461	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P ( X \ S )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ~P ( X \ S ) )
61	58, 60	elind 3540	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
62		ne0i 3643	. . . . 5 |- ( (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) )
63		iindif2 4239	. . . . 5 |- ( ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
64	61, 62, 63	3syl 20	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
65	56, 64	eqtr4d 2478	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
66	52, 53, 65	3eqtr4d 2485	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
67		difssd 3484	. . . 4 |- ( S C_ X -> ( X \ S ) C_ X )
68	2	ntrval 18640	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ S ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
69	67, 68	sylan2 474	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
70	69	difeq2d 3474	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2478	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {cab 2429   =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972   \ cdif 3325   i^i cin 3327   C_ wss 3328   (/)c0 3637   ~Pcpw 3860   U.cuni 4091   |^|cint 4128   U_ciun 4171   |^|_ciin 4172   ` cfv 5418   Topctop 18498   Clsdccld 18620   intcnt 18621   clsccl 18622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-top 18503  df-cld 18623  df-ntr 18624  df-cls 18625

This theorem is referenced by:  ntrval2  18655  clsdif  18657  cmclsopn  18666  bcth3  20842