Theorem clsval2 19718

Description: Express closure in terms of interior. (Contributed by NM, 10-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsval2	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Proof of Theorem clsval2

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2813	. . . . . 6 |- { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) }
2		clscld.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
3	2	cldopn 19699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> ( X \ z ) e. J )
4	3	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. J )
5		sscon 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S C_ z -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
6	5	ad2antll 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) )
7	2	topopn 19582	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. Top -> X e. J )
8		difexg 4585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. J -> ( X \ z ) e. _V )
9		elpwg 4007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X \ z ) e. _V -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
10	7, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. Top -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
11	10	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) <-> ( X \ z ) C_ ( X \ S ) ) )
12	6, 11	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ~P ( X \ S ) )
13	4, 12	elind 3674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
14	2	cldss 19697	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( Clsd ` J ) -> z C_ X )
15	14	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z C_ X )
16		dfss4 3729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z C_ X <-> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
17	15, 16	sylib 196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> ( X \ ( X \ z ) ) = z )
18	17	eqcomd 2462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> z = ( X \ ( X \ z ) ) )
19		difeq2 3602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( X \ z ) -> ( X \ x ) = ( X \ ( X \ z ) ) )
20	19	eqeq2d 2468	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( X \ z ) -> ( z = ( X \ x ) <-> z = ( X \ ( X \ z ) ) ) )
21	20	rspcev 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X \ z ) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) /\ z = ( X \ ( X \ z ) ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
22	13, 18, 21	syl2anc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) )
23	22	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) -> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
24		simpl 455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> J e. Top )
25		elin 3673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) <-> ( x e. J /\ x e. ~P ( X \ S ) ) )
26	25	simplbi 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. J )
27	2	opncld 19701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
28	24, 26, 27	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
29	25	simprbi 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
30	29	adantl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x e. ~P ( X \ S ) )
31	30	elpwid 4009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ ( X \ S ) )
32	31	difss2d 3620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> x C_ X )
33		simplr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ X )
34		ssconb 3623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x C_ X /\ S C_ X ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
35	32, 33, 34	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( x C_ ( X \ S ) <-> S C_ ( X \ x ) ) )
36	31, 35	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> S C_ ( X \ x ) )
37	28, 36	jca 530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) )
38		eleq1 2526	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) <-> ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) )
39		sseq2 3511	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( X \ x ) -> ( S C_ z <-> S C_ ( X \ x ) ) )
40	38, 39	anbi12d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( X \ x ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> ( ( X \ x ) e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ ( X \ x ) ) ) )
41	37, 40	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) -> ( z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
42	41	rexlimdva 2946	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) -> ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) ) )
43	23, 42	impbid 191	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) <-> E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) ) )
44	43	abbidv 2590	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z | ( z e. ( Clsd ` J ) /\ S C_ z ) } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
45	1, 44	syl5eq 2507	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
46	45	inteqd 4276	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
47		difexg 4585	. . . . . . 7 |- ( X e. J -> ( X \ x ) e. _V )
48	47	ralrimivw 2869	. . . . . 6 |- ( X e. J -> A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V )
49		dfiin2g 4348	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) e. _V -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
50	7, 48, 49	3syl 20	. . . . 5 |- ( J e. Top -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
51	50	adantr 463	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = |^| { z | E. x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) z = ( X \ x ) } )
52	46, 51	eqtr4d 2498	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
53	2	clsval 19705	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { z e. ( Clsd ` J ) | S C_ z } )
54		uniiun 4368	. . . . . 6 |- U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) = U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x
55	54	difeq2i 3605	. . . . 5 |- ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x )
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
57		0opn 19580	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
58	57	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. J )
59		0elpw 4606	. . . . . . 7 |- (/) e. ~P ( X \ S )
60	59	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ~P ( X \ S ) )
61	58, 60	elind 3674	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
62		ne0i 3789	. . . . 5 |- ( (/) e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) -> ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) )
63		iindif2 4384	. . . . 5 |- ( ( J i^i ~P ( X \ S ) ) =/= (/) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
64	61, 62, 63	3syl 20	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) = ( X \ U_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) x ) )
65	56, 64	eqtr4d 2498	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) = |^|_ x e. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ( X \ x ) )
66	52, 53, 65	3eqtr4d 2505	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
67		difssd 3618	. . . 4 |- ( S C_ X -> ( X \ S ) C_ X )
68	2	ntrval 19704	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ ( X \ S ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
69	67, 68	sylan2 472	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) = U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) )
70	69	difeq2d 3608	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) = ( X \ U. ( J i^i ~P ( X \ S ) ) ) )
71	66, 70	eqtr4d 2498	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = ( X \ ( ( int ` J ) ` ( X \ S ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   {cab 2439   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   U.cuni 4235   |^|cint 4271   U_ciun 4315   |^|_ciin 4316   ` cfv 5570   Topctop 19561   Clsdccld 19684   intcnt 19685   clsccl 19686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-top 19566  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689

This theorem is referenced by:  ntrval2  19719  clsdif  19721  cmclsopn  19730  bcth3  21936