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Theorem clsun 28528
Description: A pairwise union of closures is the closure of the union. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
clsun.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsun  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem clsun
StepHypRef Expression
1 difundi 3607 . . . . . 6  |-  ( X 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B ) )
21fveq2i 5699 . . . . 5  |-  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( A  u.  B
) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )
3 difss 3488 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  A )  C_  X
4 difss 3488 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  B )  C_  X
5 clsun.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65ntrin 18670 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  A ) 
C_  X  /\  ( X  \  B )  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
73, 4, 6mp3an23 1306 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
873ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
92, 8syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
10 simp1 988 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  J  e.  Top )
11 unss 3535 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
1211biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
13123adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
145ntrdif 18661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
165ntrdif 18661 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
17163adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
185ntrdif 18661 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
19183adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
2017, 19ineq12d 3558 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  A
) )  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  B
) ) ) )
21 difundi 3607 . . . . 5  |-  ( X 
\  ( ( ( cls `  J ) `
 A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
)  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
2220, 21syl6eqr 2493 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )
239, 15, 223eqtr3d 2483 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) )  =  ( X  \  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )
2423difeq2d 3479 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( X 
\  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) ) )
255clscld 18656 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2610, 13, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
275cldss 18638 . . . 4  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B
) )  C_  X
)
2826, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X )
29 dfss4 3589 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X 
<->  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( A  u.  B ) ) )
315clsss3 18668 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
32313adant3 1008 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
335clsss3 18668 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  B )  C_  X )
34333adant2 1007 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  B )  C_  X )
3532, 34jca 532 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X ) )
36 unss 3535 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( (
( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X )
37 dfss4 3589 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3836, 37bitri 249 . . 3  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3935, 38sylib 196 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
4024, 30, 393eqtr3d 2483 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3330    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   U.cuni 4096   ` cfv 5423   Topctop 18503   Clsdccld 18625   intcnt 18626   clsccl 18627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-top 18508  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630
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