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Theorem clsun 30386
Description: A pairwise union of closures is the closure of the union. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
clsun.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsun  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem clsun
StepHypRef Expression
1 difundi 3747 . . . . . 6  |-  ( X 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B ) )
21fveq2i 5851 . . . . 5  |-  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( A  u.  B
) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )
3 difss 3617 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  A )  C_  X
4 difss 3617 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  B )  C_  X
5 clsun.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65ntrin 19729 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  A ) 
C_  X  /\  ( X  \  B )  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
73, 4, 6mp3an23 1314 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
873ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
92, 8syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
10 simp1 994 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  J  e.  Top )
11 unss 3664 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
1211biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
13123adant1 1012 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
145ntrdif 19720 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
165ntrdif 19720 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
17163adant3 1014 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
185ntrdif 19720 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
19183adant2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
2017, 19ineq12d 3687 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  A
) )  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  B
) ) ) )
21 difundi 3747 . . . . 5  |-  ( X 
\  ( ( ( cls `  J ) `
 A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
)  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
2220, 21syl6eqr 2513 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )
239, 15, 223eqtr3d 2503 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) )  =  ( X  \  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )
2423difeq2d 3608 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( X 
\  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) ) )
255clscld 19715 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2610, 13, 25syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
275cldss 19697 . . . 4  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B
) )  C_  X
)
2826, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X )
29 dfss4 3729 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X 
<->  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( A  u.  B ) ) )
315clsss3 19727 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
32313adant3 1014 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
335clsss3 19727 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  B )  C_  X )
34333adant2 1013 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  B )  C_  X )
3532, 34jca 530 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X ) )
36 unss 3664 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( (
( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X )
37 dfss4 3729 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3836, 37bitri 249 . . 3  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3935, 38sylib 196 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
4024, 30, 393eqtr3d 2503 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   U.cuni 4235   ` cfv 5570   Topctop 19561   Clsdccld 19684   intcnt 19685   clsccl 19686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-top 19566  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689
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