Theorem clsun 15413

Description: A pairwise union of closures is the closure of the union.

Hypothesis

Ref	Expression
clsun.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
clsun	|- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((cls` J)` (A u. B)) = (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))

Proof of Theorem clsun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difss 2735	. . . . . . 7 |- (X \ A) C_ X
2		difss 2735	. . . . . . 7 |- (X \ B) C_ X
3		clsun.1	. . . . . . . 8 |- X = U.J
4	3	ntrin 15411	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ (X \ A) C_ X /\ (X \ B) C_ X) -> ((int` J)` ((X \ A) i^i (X \ B))) = (((int` J)` (X \ A)) i^i ((int` J)` (X \ B))))
5	1, 2, 4	mp3an23 1183	. . . . . 6 |- (J e. Top -> ((int` J)` ((X \ A) i^i (X \ B))) = (((int` J)` (X \ A)) i^i ((int` J)` (X \ B))))
6	5	3ad2ant1 897	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` ((X \ A) i^i (X \ B))) = (((int` J)` (X \ A)) i^i ((int` J)` (X \ B))))
7		difundi 2847	. . . . . 6 |- (X \ (A u. B)) = ((X \ A) i^i (X \ B))
8	7	fveq2i 4684	. . . . 5 |- ((int` J)` (X \ (A u. B))) = ((int` J)` ((X \ A) i^i (X \ B)))
9	6, 8	syl5eq 1940	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (X \ (A u. B))) = (((int` J)` (X \ A)) i^i ((int` J)` (X \ B))))
10		simp1 876	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> J e. Top)
11		unss 2780	. . . . . . 7 |- ((A C_ X /\ B C_ X) <-> (A u. B) C_ X)
12	11	biimpi 168	. . . . . 6 |- ((A C_ X /\ B C_ X) -> (A u. B) C_ X)
13	12	3adant1 894	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (A u. B) C_ X)
14	3	ntrcmp 15406	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (A u. B) C_ X) -> ((int` J)` (X \ (A u. B))) = (X \ ((cls` J)` (A u. B))))
15	10, 13, 14	syl11anc 524	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (X \ (A u. B))) = (X \ ((cls` J)` (A u. B))))
16	3	ntrcmp 15406	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> ((int` J)` (X \ A)) = (X \ ((cls` J)` A)))
17	16	3adant3 896	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (X \ A)) = (X \ ((cls` J)` A)))
18	3	ntrcmp 15406	. . . . . . 7 |- ((J e. Top /\ B C_ X) -> ((int` J)` (X \ B)) = (X \ ((cls` J)` B)))
19	18	3adant2 895	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((int` J)` (X \ B)) = (X \ ((cls` J)` B)))
20	17, 19	ineq12d 2797	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` (X \ A)) i^i ((int` J)` (X \ B))) = ((X \ ((cls` J)` A)) i^i (X \ ((cls` J)` B))))
21		difundi 2847	. . . . 5 |- (X \ (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B))) = ((X \ ((cls` J)` A)) i^i (X \ ((cls` J)` B)))
22	20, 21	syl6eqr 1946	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((int` J)` (X \ A)) i^i ((int` J)` (X \ B))) = (X \ (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B))))
23	9, 15, 22	3eqtr3d 1934	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (X \ ((cls` J)` (A u. B))) = (X \ (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B))))
24	23	difeq2d 2726	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (X \ (X \ ((cls` J)` (A u. B)))) = (X \ (X \ (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))))
25	3	clscld 8959	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (A u. B) C_ X) -> ((cls` J)` (A u. B)) e. (Clsd` J))
26	10, 13, 25	syl11anc 524	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((cls` J)` (A u. B)) e. (Clsd` J))
27	3	cldss 8947	. . . 4 |- ((J e. Top /\ ((cls` J)` (A u. B)) e. (Clsd` J)) -> ((cls` J)` (A u. B)) C_ X)
28	10, 26, 27	syl11anc 524	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((cls` J)` (A u. B)) C_ X)
29		dfss4 2827	. . 3 |- (((cls` J)` (A u. B)) C_ X <-> (X \ (X \ ((cls` J)` (A u. B)))) = ((cls` J)` (A u. B)))
30	28, 29	sylib 215	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (X \ (X \ ((cls` J)` (A u. B)))) = ((cls` J)` (A u. B)))
31	3	clsss3 8967	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ A C_ X) -> ((cls` J)` A) C_ X)
32	31	3adant3 896	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((cls` J)` A) C_ X)
33	3	clsss3 8967	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ B C_ X) -> ((cls` J)` B) C_ X)
34	33	3adant2 895	. . . 4 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((cls` J)` B) C_ X)
35	32, 34	jca 310	. . 3 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (((cls` J)` A) C_ X /\ ((cls` J)` B) C_ X))
36		unss 2780	. . . 4 |- ((((cls` J)` A) C_ X /\ ((cls` J)` B) C_ X) <-> (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)) C_ X)
37		dfss4 2827	. . . 4 |- ((((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)) C_ X <-> (X \ (X \ (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))) = (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))
38	36, 37	bitri 190	. . 3 |- ((((cls` J)` A) C_ X /\ ((cls` J)` B) C_ X) <-> (X \ (X \ (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))) = (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))
39	35, 38	sylib 215	. 2 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> (X \ (X \ (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))) = (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))
40	24, 30, 39	3eqtr3d 1934	1 |- ((J e. Top /\ A C_ X /\ B C_ X) -> ((cls` J)` (A u. B)) = (((cls` J)` A) u. ((cls` J)` B)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   \ cdif 2590   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177  ` cfv 3998  Topctop 8857  Clsdccld 8936  intcnt 8937  clsccl 8938

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-top 8861  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941

Copyright terms: Public domain