Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clsun Structured version   Unicode version

Theorem clsun 30041
Description: A pairwise union of closures is the closure of the union. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
clsun.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsun  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem clsun
StepHypRef Expression
1 difundi 3755 . . . . . 6  |-  ( X 
\  ( A  u.  B ) )  =  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B ) )
21fveq2i 5874 . . . . 5  |-  ( ( int `  J ) `
 ( X  \ 
( A  u.  B
) ) )  =  ( ( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )
3 difss 3636 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  A )  C_  X
4 difss 3636 . . . . . . 7  |-  ( X 
\  B )  C_  X
5 clsun.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65ntrin 19407 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( X  \  A ) 
C_  X  /\  ( X  \  B )  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
73, 4, 6mp3an23 1316 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
873ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( ( X  \  A )  i^i  ( X  \  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
92, 8syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( ( ( int `  J ) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J ) `  ( X  \  B ) ) ) )
10 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  J  e.  Top )
11 unss 3683 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  <->  ( A  u.  B )  C_  X
)
1211biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  X  /\  B  C_  X )  -> 
( A  u.  B
)  C_  X )
13123adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( A  u.  B )  C_  X )
145ntrdif 19398 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
1510, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  ( A  u.  B
) ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )
165ntrdif 19398 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
17163adant3 1016 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
) )
185ntrdif 19398 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
19183adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( int `  J
) `  ( X  \  B ) )  =  ( X  \  (
( cls `  J
) `  B )
) )
2017, 19ineq12d 3706 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( ( X 
\  ( ( cls `  J ) `  A
) )  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  B
) ) ) )
21 difundi 3755 . . . . 5  |-  ( X 
\  ( ( ( cls `  J ) `
 A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )  =  ( ( X  \  (
( cls `  J
) `  A )
)  i^i  ( X  \  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
2220, 21syl6eqr 2526 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( int `  J
) `  ( X  \  A ) )  i^i  ( ( int `  J
) `  ( X  \  B ) ) )  =  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )
239, 15, 223eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) )  =  ( X  \  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )
2423difeq2d 3627 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( X 
\  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) ) )
255clscld 19393 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( A  u.  B
)  C_  X )  ->  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
2610, 13, 25syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
) )
275cldss 19375 . . . 4  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B
) )  C_  X
)
2826, 27syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X )
29 dfss4 3737 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  C_  X 
<->  ( X  \  ( X  \  ( ( cls `  J ) `  ( A  u.  B )
) ) )  =  ( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) )
3028, 29sylib 196 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) ) ) )  =  ( ( cls `  J ) `
 ( A  u.  B ) ) )
315clsss3 19405 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X )
32313adant3 1016 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  A )  C_  X )
335clsss3 19405 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  B )  C_  X )
34333adant2 1015 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  B )  C_  X )
3532, 34jca 532 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X ) )
36 unss 3683 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( (
( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X )
37 dfss4 3737 . . . 4  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
)  C_  X  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3836, 37bitri 249 . . 3  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  A )  C_  X  /\  ( ( cls `  J ) `
 B )  C_  X )  <->  ( X  \  ( X  \  (
( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
3935, 38sylib 196 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  ( X  \  ( X  \ 
( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) ) )  =  ( ( ( cls `  J
) `  A )  u.  ( ( cls `  J
) `  B )
) )
4024, 30, 393eqtr3d 2516 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X  /\  B  C_  X )  ->  (
( cls `  J
) `  ( A  u.  B ) )  =  ( ( ( cls `  J ) `  A
)  u.  ( ( cls `  J ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   U.cuni 4250   ` cfv 5593   Topctop 19240   Clsdccld 19362   intcnt 19363   clsccl 19364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-top 19245  df-cld 19365  df-ntr 19366  df-cls 19367
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator