MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clstop Structured version   Unicode version

Theorem clstop 18672
Description: The closure of a topology's underlying set is entire set. (Contributed by NM, 5-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clstop  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  X )  =  X )

Proof of Theorem clstop
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21topcld 18638 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
3 ssid 3374 . . 3  |-  X  C_  X
41iscld3 18667 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  X )  -> 
( X  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J
) `  X )  =  X ) )
53, 4mpan2 671 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  <->  ( ( cls `  J ) `  X )  =  X ) )
62, 5mpbid 210 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( cls `  J
) `  X )  =  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3327   U.cuni 4090   ` cfv 5417   Topctop 18497   Clsdccld 18619   clsccl 18621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-top 18502  df-cld 18622  df-cls 18624
This theorem is referenced by:  hauscmplem  19008
  Copyright terms: Public domain W3C validator