Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clssubg Unicode version

Theorem clssubg 18091
 Description: The closure of a subgroup in a topological group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgntr.h
Assertion
Ref Expression
clssubg SubGrp SubGrp

Proof of Theorem clssubg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgntr.h . . . . . . 7
2 eqid 2404 . . . . . . 7
31, 2tgptopon 18065 . . . . . 6 TopOn
43adantr 452 . . . . 5 SubGrp TopOn
5 topontop 16946 . . . . 5 TopOn
64, 5syl 16 . . . 4 SubGrp
72subgss 14900 . . . . . 6 SubGrp
87adantl 453 . . . . 5 SubGrp
9 toponuni 16947 . . . . . 6 TopOn
104, 9syl 16 . . . . 5 SubGrp
118, 10sseqtrd 3344 . . . 4 SubGrp
12 eqid 2404 . . . . 5
1312clsss3 17078 . . . 4
146, 11, 13syl2anc 643 . . 3 SubGrp
1514, 10sseqtr4d 3345 . 2 SubGrp
1612sscls 17075 . . . 4
176, 11, 16syl2anc 643 . . 3 SubGrp
18 eqid 2404 . . . . . 6
1918subg0cl 14907 . . . . 5 SubGrp
2019adantl 453 . . . 4 SubGrp
21 ne0i 3594 . . . 4
2220, 21syl 16 . . 3 SubGrp
23 ssn0 3620 . . 3
2417, 22, 23syl2anc 643 . 2 SubGrp
25 df-ov 6043 . . . 4
26 opelxpi 4869 . . . . . . 7
27 txcls 17589 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
284, 4, 8, 8, 27syl22anc 1185 . . . . . . . . 9 SubGrp
29 txtopon 17576 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn TopOn TopOn
304, 4, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp TopOn
31 topontop 16946 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
33 cnvimass 5183 . . . . . . . . . . . . 13
34 tgpgrp 18061 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3534adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . 16
372, 36grpsubf 14823 . . . . . . . . . . . . . . 15
3835, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
39 fdm 5554 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
4133, 40syl5sseq 3356 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
42 toponuni 16947 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
4330, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
4441, 43sseqtrd 3344 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
4536subgsubcl 14910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
46453expb 1154 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
4746ralrimivva 2758 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
48 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948, 25syl6eqr 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150ralxp 4975 . . . . . . . . . . . . . 14
5247, 51sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
54 ffun 5552 . . . . . . . . . . . . . 14
5538, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
56 xpss12 4940 . . . . . . . . . . . . . . 15
578, 8, 56syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
5857, 40sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
59 funimass5 5806 . . . . . . . . . . . . 13
6055, 58, 59syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
6153, 60mpbird 224 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
62 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12
6362clsss 17073 . . . . . . . . . . 11
6432, 44, 61, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10 SubGrp
651, 36tgpsubcn 18073 . . . . . . . . . . . 12
6665adantr 452 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
6712cncls2i 17288 . . . . . . . . . . 11
6866, 11, 67syl2anc 643 . . . . . . . . . 10 SubGrp
6964, 68sstrd 3318 . . . . . . . . 9 SubGrp
7028, 69eqsstr3d 3343 . . . . . . . 8 SubGrp
7170sselda 3308 . . . . . . 7 SubGrp
7226, 71sylan2 461 . . . . . 6 SubGrp
7334ad2antrr 707 . . . . . . . 8 SubGrp
7473, 37syl 16 . . . . . . 7 SubGrp
75 ffn 5550 . . . . . . 7
76 elpreima 5809 . . . . . . 7
7774, 75, 763syl 19 . . . . . 6 SubGrp
7872, 77mpbid 202 . . . . 5 SubGrp
7978simprd 450 . . . 4 SubGrp
8025, 79syl5eqel 2488 . . 3 SubGrp
8180ralrimivva 2758 . 2 SubGrp
822, 36issubg4 14916 . . 3 SubGrp
8335, 82syl 16 . 2 SubGrp SubGrp
8415, 24, 81, 83mpbir3and 1137 1 SubGrp SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666   wss 3280  c0 3588  cop 3777  cuni 3975   cxp 4835  ccnv 4836   cdm 4837  cima 4840   wfun 5407   wfn 5408  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  cbs 13424  ctopn 13604  c0g 13678  cgrp 14640  csg 14643  SubGrpcsubg 14893  ctop 16913  TopOnctopon 16914  ccl 17037   ccn 17242   ctx 17545  ctgp 18054 This theorem is referenced by:  clsnsg  18092  tgptsmscls  18132 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-topgen 13622  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-plusf 14646  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-cn 17245  df-tx 17547  df-tmd 18055  df-tgp 18056
 Copyright terms: Public domain W3C validator