MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Structured version   Unicode version

Theorem clsss3 18504
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clscld 18492 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
31cldss 18474 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  X
)
42, 3syl 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   U.cuni 4079   ` cfv 5406   Topctop 18339   Clsdccld 18461   clsccl 18463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-top 18344  df-cld 18464  df-cls 18466
This theorem is referenced by:  cmntrcld  18508  clsidm  18512  elcls2  18519  clsndisj  18520  ntrcls0  18521  neindisj  18562  lpval  18584  lpss  18587  clslp  18593  cnclsi  18717  cncls  18719  isnrm2  18803  lpcls  18809  perfcls  18810  regsep2  18821  clscon  18875  concompcld  18879  2ndcsep  18904  1stcelcls  18906  hausllycmp  18939  txcls  19018  ptclsg  19029  imasncls  19106  kqnrmlem1  19157  reghmph  19207  nrmhmph  19208  flimclslem  19398  flimsncls  19400  hauspwpwf1  19401  fclsopn  19428  fclscmpi  19443  cnextfun  19477  clssubg  19520  clsnsg  19521  snclseqg  19527  utop3cls  19667  qdensere  20190  clsocv  20603  relcmpcmet  20668  cncmet  20674  kur14lem3  26943  topbnd  28360  clsun  28364  opnregcld  28366  cldregopn  28367  heibor1lem  28549
  Copyright terms: Public domain W3C validator