MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Structured version   Unicode version

Theorem clsss3 19426
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clscld 19414 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
31cldss 19396 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  X
)
42, 3syl 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802    C_ wss 3458   U.cuni 4230   ` cfv 5574   Topctop 19261   Clsdccld 19383   clsccl 19385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-top 19266  df-cld 19386  df-cls 19388
This theorem is referenced by:  cmntrcld  19430  clsidm  19434  elcls2  19441  clsndisj  19442  ntrcls0  19443  neindisj  19484  lpval  19506  lpss  19509  clslp  19515  cnclsi  19639  cncls  19641  isnrm2  19725  lpcls  19731  perfcls  19732  regsep2  19743  clscon  19797  concompcld  19801  2ndcsep  19826  1stcelcls  19828  hausllycmp  19861  txcls  19971  ptclsg  19982  imasncls  20059  kqnrmlem1  20110  reghmph  20160  nrmhmph  20161  flimclslem  20351  flimsncls  20353  hauspwpwf1  20354  fclsopn  20381  fclscmpi  20396  cnextfun  20430  clssubg  20473  clsnsg  20474  snclseqg  20480  utop3cls  20620  qdensere  21143  clsocv  21556  relcmpcmet  21621  cncmet  21627  kur14lem3  28518  topbnd  30110  clsun  30114  opnregcld  30116  cldregopn  30117  heibor1lem  30273
  Copyright terms: Public domain W3C validator