MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss3 Structured version   Unicode version

Theorem clsss3 19727
Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 26-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )

Proof of Theorem clsss3
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
21clscld 19715 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
) )
31cldss 19697 . 2  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( ( cls `  J ) `  S )  C_  X
)
42, 3syl 16 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  C_  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    C_ wss 3461   U.cuni 4235   ` cfv 5570   Topctop 19561   Clsdccld 19684   clsccl 19686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-top 19566  df-cld 19687  df-cls 19689
This theorem is referenced by:  cmntrcld  19731  clsidm  19735  elcls2  19742  clsndisj  19743  ntrcls0  19744  neindisj  19785  lpval  19807  lpss  19810  clslp  19816  cnclsi  19940  cncls  19942  isnrm2  20026  lpcls  20032  perfcls  20033  regsep2  20044  clscon  20097  concompcld  20101  2ndcsep  20126  1stcelcls  20128  hausllycmp  20161  txcls  20271  ptclsg  20282  imasncls  20359  kqnrmlem1  20410  reghmph  20460  nrmhmph  20461  flimclslem  20651  flimsncls  20653  hauspwpwf1  20654  fclsopn  20681  fclscmpi  20696  cnextfun  20730  clssubg  20773  clsnsg  20774  snclseqg  20780  utop3cls  20920  qdensere  21443  clsocv  21856  relcmpcmet  21921  cncmet  21927  kur14lem3  28916  topbnd  30382  clsun  30386  opnregcld  30388  cldregopn  30389  heibor1lem  30545
  Copyright terms: Public domain W3C validator