MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clsss Structured version   Unicode version

Theorem clsss 18499
Description: Subset relationship for closure. (Contributed by NM, 10-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
clsss  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  T )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)

Proof of Theorem clsss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstr2 3351 . . . . . 6  |-  ( T 
C_  S  ->  ( S  C_  x  ->  T  C_  x ) )
21adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( T  C_  S  /\  x  e.  ( Clsd `  J ) )  -> 
( S  C_  x  ->  T  C_  x )
)
32ss2rabdv 3421 . . . 4  |-  ( T 
C_  S  ->  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x }  C_  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  T  C_  x } )
4 intss 4137 . . . 4  |-  ( { x  e.  ( Clsd `  J )  |  S  C_  x }  C_  { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  T  C_  x }  ->  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  T  C_  x }  C_  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( T 
C_  S  ->  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  T  C_  x }  C_  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
653ad2ant3 1004 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  T  C_  x }  C_  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
7 simp1 981 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  J  e.  Top )
8 sstr2 3351 . . . . 5  |-  ( T 
C_  S  ->  ( S  C_  X  ->  T  C_  X ) )
98impcom 430 . . . 4  |-  ( ( S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  T  C_  X )
1093adant1 999 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  T  C_  X )
11 clscld.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
1211clsval 18482 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  T  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  T )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  T  C_  x } )
137, 10, 12syl2anc 654 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  T )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  T  C_  x } )
1411clsval 18482 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X )  -> 
( ( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
15143adant3 1001 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  S )  =  |^| { x  e.  ( Clsd `  J
)  |  S  C_  x } )
166, 13, 153sstr4d 3387 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  X  /\  T  C_  S )  ->  (
( cls `  J
) `  T )  C_  ( ( cls `  J
) `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   {crab 2709    C_ wss 3316   U.cuni 4079   |^|cint 4116   ` cfv 5406   Topctop 18339   Clsdccld 18461   clsccl 18463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-top 18344  df-cld 18464  df-cls 18466
This theorem is referenced by:  ntrss  18500  clsss2  18517  lpsscls  18586  lpss3  18589  cnclsi  18717  cncls  18719  lpcls  18809  cnextcn  19480  clssubg  19520  clsnsg  19521  utopreg  19668  hauseqcn  26178  kur14lem6  26946  clsint2  28365  opnregcld  28366
  Copyright terms: Public domain W3C validator